姜垚

摘 要：文章中提出了降階的Spectral Volume 方法 （SV方法） 的概念，對(duì)方法的公式進(jìn)行推導(dǎo)，并成功將其應(yīng)用與一維線性傳遞方程。對(duì)降階的SV方法的穩(wěn)定性進(jìn)行了Fourier分析，并與傳統(tǒng)的SV方法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)證明，降階的SV方法在初值連續(xù)情況下，在線性傳遞方程上可以達(dá)到所期望的數(shù)值精度，并且在數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性上較傳統(tǒng)SV方法有顯著提高。

關(guān)鍵詞：SV方法 一維守恒律 降階

中途分類號(hào)：R445 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）10（b）-0211-04

1 研究背景

計(jì)算流體力學(xué)（CFD）從創(chuàng)立至今得到了飛速發(fā)展，在工業(yè)界起著不可替代的作用。然而目前工業(yè)界所用到的CFD計(jì)算通常只能達(dá)到二階精度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到人們的需要，并且對(duì)網(wǎng)格以及內(nèi)存和CPU的要求超出了當(dāng)今計(jì)算機(jī)所能承受的范圍。另外，運(yùn)算區(qū)域通常包含復(fù)雜單光滑的流體結(jié)構(gòu)，比如渦旋與剪切流層的相互作用區(qū)，以及同時(shí)包含激波與其他復(fù)雜流動(dòng)的區(qū)域等。因此，高精度高分辨率格式的研究一直是CFD領(lǐng)域中非?；钴S的一個(gè)課題，發(fā)展高精度高分辨率的計(jì)算格式成為CFD工作者的一大研究方向。為采用高精度格式不但可以降低對(duì)網(wǎng)格規(guī)模的苛刻要求，而且能夠正確分辨其中復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目的要求低，具有減少計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求和CPU時(shí)間消耗的優(yōu)勢(shì)。其中比較著名的是Harten提出的高階精度的ENO（essentially non-oscillatory） 格式，隨后Liu，Osher和Chen發(fā)展了原有的ENO格式，提出了有顯著改進(jìn)的WENO（weightedessentially non-oscillatory）格式，并獲得了迅速的發(fā)展，并得到了一系列的研究。ENO/WENO格式善于捕捉物理間斷，其應(yīng)用迅速發(fā)展到多相流領(lǐng)域。

新型格式發(fā)展的目標(biāo)之一是發(fā)展可以應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的可靠的高階格式。理論和實(shí)踐都表明，大多數(shù)高精度、高分辨率格式的性能都嚴(yán)重地依賴于網(wǎng)格的光滑性，而工業(yè)界所需要模擬的物體通常具有復(fù)雜的幾何外形（圖1），CFD應(yīng)用最多的航空領(lǐng)域所需要的幾何外形更是相當(dāng)復(fù)雜，而這給結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成帶來很大困難，一種直接有效的解決辦法是采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。然而由于穩(wěn)定性等因素的影響，對(duì)于三維有限體積法，非結(jié)構(gòu)算法模板所需單元往往較多，而過多的模板單元會(huì)帶來邊界處理、內(nèi)存占用、編程復(fù)雜等多方面的困難。因此實(shí)際應(yīng)用中大都只使用二階精度的非結(jié)構(gòu)算法，而這遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了一些工業(yè)領(lǐng)域?qū)τ?jì)算精度的要求?？梢詰?yīng)用與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高精度、高分辨率、低耗散的實(shí)用數(shù)值格式的發(fā)展成為當(dāng)今CFD的重要任務(wù)之一。以此為目標(biāo)的一些高階格式已經(jīng)發(fā)明出來，其中比較著名的是Cockburn發(fā)展的間斷Galerkin有限元方法（DG），間斷 Galerkin有限元方法的插值模板小，各單元之間僅通過界面通量計(jì)算相聯(lián)系，因而比較適合在復(fù)雜外形。而另一種成功的格式是Wang在自2002年發(fā)展的應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的算法SV方法。SV方法是一種高精度高分辨率低耗散的數(shù)值格式。同間斷Galerkin有限元方法一樣，SV方法可以達(dá)到相同的精度。然而相比之下，SV方法比間斷Galerkin有限元方法有著更好的穩(wěn)定性（可以允許更大的CFL數(shù)）。與傳統(tǒng)的有限體積法相比，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存和CPU的要求更低。所以SV方法有著非常大的能在將來被應(yīng)用于工業(yè)界的潛力。同時(shí)，SV方法的穩(wěn)定性和可行性還需要進(jìn)一步驗(yàn)證和改進(jìn)。

2 SV方法介紹

SV方法，是比較新提出的另一種可以應(yīng)用于完全非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高精度、高分辨率、低耗散的守恒型格式。Wang于2002年提出一維SV方法的概念并隨后將其發(fā)展到二維和三維。SV方法是經(jīng)典有限體積法的延伸。它提出了控制體積（Control Volume）的概念，從而避免的復(fù)雜模板（stencil）的使用，從而使格式可以輕松應(yīng)用與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上。經(jīng)典的有限體積法中，變量在每個(gè)網(wǎng)格中的值被用來進(jìn)行多項(xiàng)式插值。為了達(dá)到相應(yīng)的精度，由相鄰多個(gè)單元格組成的模板被用來進(jìn)行插值。而非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格使得模板中相鄰網(wǎng)格的選取成為一大難題。不同于經(jīng)典的有限體積法，SV方法把網(wǎng)格中的每一個(gè)單元格進(jìn)一步分成若干控制體積（CV），對(duì)每個(gè)控制體積中變量的平均值加以利用來實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式插值從而達(dá)到所要求的精度。SV方法的優(yōu)勢(shì)在于其在保證相同精度的同時(shí)免除了對(duì)周圍網(wǎng)格的依賴，從而降低了對(duì)網(wǎng)格的要求。此外，由于不同單元格之間的信息交流少，SV方法非常適宜并行運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)。

有限體積法（包括ENO和WENO方法）利用相鄰多個(gè)自由度（模板）內(nèi)狀態(tài)變量的值進(jìn)行多項(xiàng)式構(gòu)建。而在SV方法中，我們把這個(gè)單個(gè)的單元格叫做Spectral Volume（SV）。我們只利用此SV中的信息進(jìn)行高階多項(xiàng)式的構(gòu)建，為了得到所需要的自由度，每個(gè)SV被劃分為更小的體積單元 Control Volume（CV）。而方法的精度取決于每個(gè)SV劃分為CV的數(shù)量。

對(duì)于二階的SV方法，流量的計(jì)算是線性的，所以并不復(fù)雜。對(duì)于高階的情況 （k>2），重構(gòu)過程如下。在下一個(gè)時(shí)間步上，每個(gè)CV中狀態(tài)變量的平均值各自更新，在SV內(nèi)部，狀態(tài)變量在床CV邊界時(shí)時(shí)連續(xù)的，所以我們并不需要Riemann求解器，流量的值我們可以通過插值多項(xiàng)式直接到的解析值。當(dāng)兩個(gè)相鄰CV的邊界也是 SV邊界時(shí)，我們需要通過插值得到邊界上Gauss求積點(diǎn)處狀態(tài)變量的值，然后通過 Riemann求解器來計(jì)算流量的值。這樣方法保證了計(jì)算的簡(jiǎn)潔以及高階特性。

總的來說，假設(shè)我們重構(gòu)出至多k-1 階多項(xiàng)式，k階SV方法計(jì)算的一般過程是通過插值計(jì)算每個(gè)Gauss積分點(diǎn)處狀態(tài)量的值；利用k階高斯求積形式和Riemann 求解器計(jì)算單元邊界上面通量的積分。在單元格內(nèi)部CV邊界上，由于我們假定狀態(tài)變量在單元格內(nèi)是連續(xù)的，通量的值我們直接應(yīng)用重構(gòu)多項(xiàng)式的解析值；利用TVD的Runge-Kutta格式進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)。endprint

如同有限體積方法一樣，在計(jì)算過程中SV方法利用狀態(tài)變量的平均值。然而SV方法并不像有限體積法那樣利用在整個(gè)單元格內(nèi)平均，它利用的是狀態(tài)變量在每個(gè)控制體積內(nèi)的平均值，通過CV的劃分來增加自由度，從而達(dá)到所需要的高階。關(guān)于SV方法的具體操作以及一維和多維的各種算例可以在文章中找到。

之前提到的間斷Galerkin有限元方法和SV方法在特性上有許多相似之處，同樣是緊致類方法，從而適于并行運(yùn)算，能達(dá)到高階精度，由于在單元格邊Riemann求解器的應(yīng)用，它們是完全守恒型的數(shù)值計(jì)算格式，并且伴隨著TVD或者TVB限制器的應(yīng)用，兩種方法都非常適于應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和復(fù)雜的幾何外形。自然而然，兩種方法的研究比較出現(xiàn)在很多文章中。由于考慮局部的細(xì)致信息，SV方法被認(rèn)為相對(duì)應(yīng)間斷Galerkin有限元方法可以更加細(xì)致的捕捉間斷。此外間斷Galerkin有限元方法會(huì)隨著計(jì)算階數(shù)的升高而導(dǎo)致相應(yīng)的CFL數(shù)減小，穩(wěn)定性會(huì)隨之下。而Zhang和Shu通過理論以及算例指出兩種方法可以達(dá)到相同的精度，SV方法可以允許更大的CFL數(shù)，然而在相同的網(wǎng)格上SV方法的誤差大于間斷Galerkin有限元方法。

3 降階SV方法

SV方法的穩(wěn)定性受很多因素影響，我們提出的一種對(duì)其可能的改進(jìn)是降階的SV 方法。由于SV方法是緊致型格式，所有信息的處理幾乎都在單元格自身內(nèi)部進(jìn)行，這使得其格式的改造變得相對(duì)容易。一種可能的構(gòu)想是減小SV方法基底的維度。以基本的一維情況為例，理論上k階的SV方法需要將SV劃分成k個(gè)CV并以k-1階多項(xiàng)式進(jìn)行近似

（1）

在傳統(tǒng)的SV方法中，基底的階數(shù)與 CV的個(gè)數(shù)是相等的，從而保證方法的精度。在這里我們提出，可以嘗試以降低多項(xiàng)式基底的維度來改善SV方法在穩(wěn)定性方面的表現(xiàn)。

假如SV被分為k個(gè)CV并以k-1-n階多項(xiàng)式（n≤k-1）近似，其理論精度值為 k-n。

（2）

如圖2給出了一維情況下以二階多項(xiàng)式描繪三個(gè)CV中狀態(tài)變量值的示意圖。它的實(shí)際精度以及在具體算例中的表現(xiàn)需要進(jìn)行驗(yàn)證。

另外可以期待的一點(diǎn)是此方法對(duì)格式穩(wěn)定性的影響，可以通過Fourier分析法研究格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性，k個(gè)CV并以k-1-n階多項(xiàng)式近似的降階的SV方法被期待比傳統(tǒng)的k-n階SV方法有更好的穩(wěn)定性，即在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面有更好的表現(xiàn)。

SV方法插值邊界處Gauss積分點(diǎn)上狀態(tài)變量的值的關(guān)系式是：

（3）

其中向量指的是SV中每個(gè)CV上狀態(tài)變量的平均值，其維度是此單元格內(nèi)CV的數(shù)量，向量q表示邊界上每個(gè)的Gauss求積點(diǎn)處狀態(tài)變量的值，其維度是此單元格內(nèi) Gauss 求積點(diǎn)的數(shù)量。

相應(yīng)的構(gòu)建方法是：

（4）

其中為的維度，為SV內(nèi)部近似狀態(tài)變量的重構(gòu)多項(xiàng)式，它是基底多項(xiàng)式的線性組合

（5）

其中在某一固定的時(shí)間步上，為常數(shù)，代表基底線性組合的系數(shù)。是多項(xiàng)式基底的維度。而q的每個(gè)元素則就是重構(gòu)多項(xiàng)式在CV邊界處對(duì)應(yīng)Gauss積分點(diǎn)上的取值。

（6）

指的是Gauss積分點(diǎn)的數(shù)目，其中指第k個(gè)Gauss積分點(diǎn)的坐標(biāo)。從而矩陣運(yùn)算可以從中提取出。我們得到多項(xiàng)式取值的矩陣P和基底在每個(gè)CV上的平均值矩陣L。

（7）

（8）

分析一下維度我們得到

（9）

對(duì)于不同的劃分方式，我們只需要根據(jù)基底和CV的幾何分布得到矩陣P和L便可以進(jìn)行運(yùn)算。但這里我們假設(shè)，L是可逆方陣。如果我們縮減基底的維數(shù)，L便不再可逆，q的表達(dá)式會(huì)有相應(yīng)變化，這也將是新的自適應(yīng)階數(shù)SV方法的創(chuàng)新之處。

（10）

此時(shí)我們?cè)谟?jì)算公式中以L的假逆矩陣代替其逆矩陣。而我們定義其假逆矩陣：

（11）

這里M是一個(gè)正定矩陣，它的階數(shù)等于每個(gè)SV中CV的數(shù)量。在這種定義之下，我們重新定義了一種基于矩陣M的數(shù)量積： 對(duì)于任意向量a和b，我們有

（12）

與此同時(shí)，利用幾何中投影的定義，我們也定義了一種基于矩陣 M 的投影：

（13）

在具體操作中我們發(fā)現(xiàn)，M矩陣的選取要滿足許多要求。當(dāng)我們利用降階的SV方法時(shí)其中非常重要的一點(diǎn)是如下守恒定律必須要滿足：

（14）

其中是保存狀態(tài)變量平均值的向量，其中的每個(gè)元素保存了同一個(gè)SV中指定CV上狀態(tài)變量的平均值，是所研究 SV中CV的數(shù)量。這個(gè)條件的物理意義是，對(duì)一個(gè)SV中每個(gè)CV上的狀態(tài)變量平均值投影到矩陣L的像空間，投影前后保證整個(gè)SV中狀態(tài)變量的積分總量不變。事實(shí)上，如果這一關(guān)系沒有滿足，則原方程的守恒形式將被打破。之后的數(shù)值測(cè)試結(jié)果表明，如果以上提到的守恒定律沒有被滿足，計(jì)算的結(jié)果是完全錯(cuò)誤的。滿足這一條件的矩陣M也不是唯一的，利用簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算，我們得到一個(gè)符合守恒定律條件的如下矩陣M：

（15）

數(shù)值測(cè)試

在測(cè)試的初期，我們通過編寫如下基本的一維線性輸運(yùn)方程 Matlab 程序驗(yàn)證 SV 方法精度：

（16）

方程的輸運(yùn)速度設(shè)為a=1。

為了方便驗(yàn)證且不失一般性，我們提出T=60s以保證。

我們首先驗(yàn)證初始條件連續(xù)

的情況下SV方法的精度。我們采用初始條件：

（17）

測(cè)試結(jié)果顯示在表1中。其中自由度指的是區(qū)間[0，3]被劃分成的CV的數(shù)量。在命名方法上，我們采用：SV+每個(gè)SV中CV數(shù)+模擬多項(xiàng)式的階數(shù)。如SV43表示每個(gè)SV劃分為四個(gè)CV，但降一階，采用三階精度的多項(xiàng)式近似。若每個(gè)SV中CV數(shù)=模擬多項(xiàng)式的階數(shù)，則格式為傳統(tǒng)的SV方法。在測(cè)試中我們采用三階Runge-Kutta時(shí)間積分方法。endprint

我們可以從表1中看出，理論上達(dá)到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達(dá)到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計(jì)算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達(dá)到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對(duì)格式的穩(wěn)定性進(jìn)行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢(shì)。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時(shí)間推進(jìn)格式。所以這里我們研究計(jì)算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對(duì)方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對(duì)，如圖3所示。λ的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對(duì)應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對(duì)應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計(jì)算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個(gè)SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對(duì)于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時(shí)誤差甚至小兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上。而對(duì)于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對(duì)于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計(jì)算中為得到Gauss積分點(diǎn)處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們?cè)谖恼轮序?yàn)證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實(shí)了其可以達(dá)到所期望的計(jì)算精度。隨后我們對(duì)其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢(shì)。我們?nèi)匀粫?huì)在今后對(duì)新格式特性的進(jìn)一步更深入的研究。

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我們可以從表1中看出，理論上達(dá)到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達(dá)到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計(jì)算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達(dá)到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對(duì)格式的穩(wěn)定性進(jìn)行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢(shì)。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時(shí)間推進(jìn)格式。所以這里我們研究計(jì)算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對(duì)方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對(duì)，如圖3所示。λ的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對(duì)應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對(duì)應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計(jì)算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個(gè)SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對(duì)于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時(shí)誤差甚至小兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上。而對(duì)于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對(duì)于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計(jì)算中為得到Gauss積分點(diǎn)處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們?cè)谖恼轮序?yàn)證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實(shí)了其可以達(dá)到所期望的計(jì)算精度。隨后我們對(duì)其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢(shì)。我們?nèi)匀粫?huì)在今后對(duì)新格式特性的進(jìn)一步更深入的研究。

參考文獻(xiàn)

[1] 閻超，于劍，徐晶磊，等.CFD模擬方法的發(fā)展成就與展望[J].力學(xué)進(jìn)展，2011（5）：562-589.

[2] Z.J.Wang.Spectral（Finite）Volume Method for Conservation Laws on Unstructured Grids： Basic Formulation.J.Comput[J].Phys，2001，178：210-251.

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[4] Y.Liu，M.Vinokur，Z.J.Wang.Spectral（Finite）Volume Method for Conservation Laws on Unstructured Grids V：Extension to three-dimensional systems. J.Comput[J].Phys，2006，212：454-472.

[5] K.Van den Abeele.Development of high-order accurate schemes for unstructured grids[J].Phd thesis in Vrije Universiteit Brussel，2009（3）.

[6] K.Van den Abeele，C.Lacor.An accuracy and stability study of the 2D spectral volume method.J.Comput[J].Phys.，2007，226（1）：1007-1026.

[7] M.Zhang，C.-W.Shu.An analysis of and a comparison between the discontinuous Galerkin and the spectral finite volume methods.Comput[J].Fluids，2005（34）：581-592.

[8] Z.J.Wang，Y.Liu：Extension of the spectral volume method to high-order boundary representation.J.Comput[J].Phys，2006（211）：154-178.

[9] H.T.Huynh：A flux reconstruction approach to high-order schemes including discontinuous Galerkin methods[J].AIAA Paper，2007，10（105）：219.

[10] 閆超.計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006.

[11] A.Harten.High resolution schemes for hyperbolic conservation laws，J.Comput[J]. Phys，1983，49（3）：339-357.

[12] A.Harten，B.Engquist，S.Osher， et al Uniformly high order essentially non-oscillatory schemes III，J. Comput[J].Phys，1987，71（2）：231-303.

[13] M.Zhang，C.-W.Shu：An analysis of and a comparison between the discontinuous Galerkin and the spectral finite volume methods.Comput[J].Fluids，2005，34（4-5）：581-592.

[14] J.A.Ekaterinaris.High-order accurate，low numerical diffusion methods for aerodynamics， Progress in Aerospace Science，2005，41（3）：192-300.endprint

我們可以從表1中看出，理論上達(dá)到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達(dá)到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計(jì)算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達(dá)到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對(duì)格式的穩(wěn)定性進(jìn)行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢(shì)。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時(shí)間推進(jìn)格式。所以這里我們研究計(jì)算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對(duì)方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對(duì)，如圖3所示。λ的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對(duì)應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對(duì)應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計(jì)算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個(gè)SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對(duì)于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時(shí)誤差甚至小兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上。而對(duì)于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對(duì)于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計(jì)算中為得到Gauss積分點(diǎn)處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們?cè)谖恼轮序?yàn)證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實(shí)了其可以達(dá)到所期望的計(jì)算精度。隨后我們對(duì)其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢(shì)。我們?nèi)匀粫?huì)在今后對(duì)新格式特性的進(jìn)一步更深入的研究。

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[14] J.A.Ekaterinaris.High-order accurate，low numerical diffusion methods for aerodynamics， Progress in Aerospace Science，2005，41（3）：192-300.endprint