胡偉端，黃筱調(diào)，2，張 虎，郭二廓

（1.南京工業(yè)大學 機械與動力工程學院，江蘇 南京 210009；2.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 210009）

0 引言

齒輪是機械裝備中主要的傳動部件，精度是其性能的重要指標，齒輪修形技術(shù)［1］是高精度齒輪傳動設計和制造的關(guān)鍵技術(shù)，基于目標的修形理論需要確定齒面修形的部位和修形量，建立拓撲修形的數(shù)字化齒面，通過實際修形齒形與目標修形齒形之間的誤差對機床運動軸進行控制。對實際齒面進行測量可以獲得齒面上大量離散的點云數(shù)據(jù)，對處理后的點云數(shù)據(jù)進行曲面重建可以建立數(shù)字化齒面模型。文獻［2］由離散點云數(shù)據(jù)，經(jīng)過處理后導入三維造型軟件，生成錐齒輪三維實體模型，但采用該方法得到的齒面精度有限。Geetika Tewari等3采用雙周期全局參量法對5 044個齒輪點數(shù)據(jù)進行重建，該方法不需要對數(shù)據(jù)進行分塊，但由于采用全局變量，需要大量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)且屬于粗重建；Wang Yutao等［4］采用自動估計局部自適應參數(shù)的方法對掃描后的齒輪點數(shù)據(jù)進行重建，該方法不需要原始點云法向量信息且具有一定的健壯性，但在估計每個點的特征系數(shù)時需要大量的計算時間，且并沒有對齒輪重建后的精度進行分析。

細分是對初始網(wǎng)格重復運用新頂點生成規(guī)則和頂點間的連接關(guān)系，細化出可收斂于光滑連續(xù)曲面的曲面重建技術(shù)。Loop［5］的方法是一種經(jīng)典的細分方法，在此基礎(chǔ)上，李桂清等［6］實現(xiàn)了一個基于帶尖銳特征的Loop細分曲面的三角網(wǎng)格擬合系統(tǒng)；白杰等［7］用帶折痕的不同層次的Loop細分網(wǎng)格等距面作為不同加工工序的加工模型，讓細分技術(shù)更貼近應用。但細分技術(shù)應用于齒面重建的研究較少，邢元［8］運用細分技術(shù)重建出螺旋錐齒輪齒面，通過造型軟件對齒面的幾何特征進行提取，并沒有對齒面局部的尖銳特征，如折痕、尖刺和角等進行相應研究。本文就上述研究中對齒面重建時的缺陷和漏洞作了進一步研究，提出重建齒面的新方法，并通過實驗分析重建齒面的質(zhì)量。

1 帶特征的Loop齒面

1.1 特征的分類

文獻［9-10］中給出了刺點、角點和折痕等尖銳特征的定義，定義如下：

（1）折痕（crease）曲面上一階光滑曲線，曲面沿該曲線為C0連續(xù)的，而在其附近至少是C1連續(xù)的。

（2）角點（corner）兩條或兩條以上邊界邊交匯點、邊界與折痕的交匯點、三條或更多的折痕的公共交匯點。

（3）刺點（dart）曲面內(nèi)部頂點，折痕在此處終止，曲面在頂點至少是C1連續(xù)的。

（4）尖點（cusp）與錐點類似，其極限切矢量為一維的，曲面在該點是C0連續(xù)的。

此外，特征還應包括網(wǎng)格的邊界邊和邊界上的邊界點。

1.2 細分規(guī)則

（1）內(nèi)部光滑邊點（點）的細分規(guī)則

1）V-頂點 內(nèi)部光滑點V的1-領(lǐng)域相連的頂點為V1，V2，…，Vk，其中n為光滑點的價，經(jīng)過一次細分后，相應的V-頂點為

2）E-邊點 內(nèi)部光滑邊的兩個頂點為V0和V1，該邊兩鄰接三角形面為（V0，V1，V2），（V0，V1，V3），則E-邊點為

（2）刺點的細分規(guī)則

刺點是折痕的端點，與曲面光滑過渡，而且與刺點相連的邊有且只有一條是折痕邊，其余為曲面內(nèi)部光滑邊，刺點的細分規(guī)則與內(nèi)部光滑點的細分規(guī)則相同。

（3）折痕邊點（點）、邊界邊點（點）的細分規(guī)則

1）V-頂點 設V0為折痕點、邊界點，V1和Vk是與V0直接相連的兩特征點，則相應的V-頂點為

2）E-邊點 假設特征邊的兩端點為V0和Vk，不同情況下的折痕點計算公式如下：

當頂點V0和Vk都是正則折痕點或者都是奇異折痕點時，E-邊點為

當頂點Vk是正則頂點，V0是奇異頂點時，

當頂點V0是正則頂點，Vk是奇異頂點時，

（4）角點、尖點的細分規(guī)則

角點和尖點在細分過程中的位置不變，即

1.3 特征點的極限位置

1.3.1 內(nèi)部光滑點的極限位置

將式（1）和式（2）寫為矩陣形式：

式（8）中（n+1）×（n+1）方陣稱作為Vk局部細分矩陣Mn+1，化簡矩陣Mn+1得

該式的特征多項式為

式中：a=8-8nβn，b=8βn；Cn是n維數(shù)組｛3，1，0，…，0，1｝的循環(huán)矩陣，對循環(huán)矩陣Cn進行傅里葉分析，可以求出Cn的特征值為

通過對式（9）和式（10）的特征值進行分析，可得Mn+1的最大特征值為λ0=1，對應的左特征向量l0=，其中w=3／（8β）。又因為矩陣Mn+1不是虧損的，且具有仿射不變性，可以得到頂點V的極限位置：

1.3.2 折痕、邊界點、角點、尖點的極限位置

由式（3）～式（7）細分規(guī)則，根據(jù)上述求光滑點的方法同理可以求出其他頂點的極限位置，表1列出了折痕點、邊界點、角點和尖點的極限位置。

表1 特征點的極限位置

2 大量散亂點數(shù)據(jù)齒面細分重建原理

本文算法是以齒面上大量散亂點的原始數(shù)據(jù)｛pi｝為輸入量，通過如圖1所示的大量散亂點數(shù)據(jù)齒面細分重建算法原理說明圖重建流程，最終生成細分齒面。

2.1 建立初始網(wǎng)格

原有的相關(guān)文獻通過建立形狀簡單的初始網(wǎng)格，不斷對網(wǎng)格控制頂點進行循環(huán)逼近修正，每次在修正控制頂點后又采用拉普拉斯算子對修正后的網(wǎng)格進行網(wǎng)格優(yōu)化，直到總體平均誤差小于給定的擬合精度，結(jié)束循環(huán)修正。為了避免上述建立初始網(wǎng)格的復雜過程，本文提出一種空間三角網(wǎng)格螺旋增長重建出齒面粗模型的算法。

螺旋增長算法流程如下：

（1）輸入齒面大量散亂點的原始數(shù)據(jù)｛pi｝，通過設定具有上下限的閾值PDIST去除冗余點，計算法矢保留特征點，噪聲點的剔除，對原始數(shù)據(jù)｛pi｝進行預處理，得到簡化后的數(shù)據(jù)｛p′i｝。

（2）采用極坐標法選取初始頂點p′1，通過距離盡量最短的原則找出p′2和p′3，構(gòu)造出初始三角形Δp′1p′2p′3。

（3）以初始三角形Δp′1p′2p′3為基礎(chǔ)，根據(jù)最長邊限定原則（最長邊不超過kPDIST，k為限制系數(shù)）、最小內(nèi)角MIA限定原則（不得小于30°，主要避免狹長三角形的產(chǎn)生）、二面角DA最小原則（避免三角形重疊和保證生成的三角網(wǎng)格中具有公共邊的三角形不超過2個，即生成的三角網(wǎng)格是二流形網(wǎng)格），不斷從簡化后的數(shù)據(jù)｛p′i｝中找出擴展點。其中擴展點分為鄰接邊的端點和首次成為擴展點的點（外點），算法參數(shù)取值如表2所示。

表2 算法參數(shù)的取值

（4）在每次尋找擴展點時，要對當前網(wǎng)格在點鏈表中對應的點進行加鎖和解鎖操作，先對網(wǎng)格在點鏈表對應的點進行加鎖，再對當前邊的上一邊的起點和下一邊的終點進行解鎖，并對已成為擴展點的點進行標記。

（5）直到｛p′i｝中無可用的點，結(jié)束算法。

2.2 識別網(wǎng)格特征

2.2.1 邊的特征識別

對邊鏈表進行查找，由于根據(jù)上述算法構(gòu)造出的網(wǎng)格為二維流形網(wǎng)格，當邊只屬于一個三角面時，可判斷此邊為邊界邊；對折痕邊的判斷可采用二面角是否超過給定的閾值（閾值由實驗測得）進行判斷，并對邊界邊和折痕邊分別進行標記。

2.2.2 點的特征識別

對點鏈表進行循環(huán)，通過點的價數(shù)判斷與該點直接相連的邊是否已作標記，設標記的個數(shù)為n，根據(jù)1.1節(jié)特征的分類：n=0時，該點為內(nèi)部正常點；n=1時，該點為刺點；n=2時，該點為折痕點或邊界點；兩條邊界邊交點或邊界邊與折痕交點為角點；1-領(lǐng)域三角面與2-領(lǐng)域鄰接三角面的二面角均超過給定閾值的為尖點。

2.3 調(diào)整細分點

細分曲面是網(wǎng)格序列的極限，經(jīng)細分得到的極限細分齒面往往與實際齒面存在偏差，尤其是特征點和特征附近的點，如圖2所示，M表示初始網(wǎng)格，Mr表示實際齒面網(wǎng)格，M∞表示極限網(wǎng)格，V0和V1的極限位置分別為和，與實際網(wǎng)格點V′0和V′1存在距離誤差L0和L1。上文給出了各種點的極限位置，因為Loop細分網(wǎng)格上的任意一點Vi在極限細分曲面上的位置可以用=Li·Vk表示，其中Li是細分矩陣對應特征值為1的左特征向量，在上文求各種點的極限位置時已求出；Vk表示極限位置只與該點的1-領(lǐng)域點有關(guān)。因此，可以通過對每次細分出的點搜索其1-領(lǐng)域點，再根據(jù)上文推導出的曲面上幾種點的極限位置公式，計算其極限細分點，再與實際齒面對應的點的距離補償相應的頂點的誤差。如圖3所示，粗線表示的折痕經(jīng)過一次細分后，折痕頂點調(diào)整為V′2，V′0和V′1，通過折痕上細分出的奇點和偶點調(diào)整折痕附近的點（1-領(lǐng)域的點）V′13，V′30，V′05，V′52，V′24，V′40，V′60和V′16，再通過折痕附近的點調(diào)整折痕上的點，每次細分后都進行上述反復交叉調(diào)整。通過上文推出的不同情況下網(wǎng)格上任意一點在極限細分曲面上位置，可以得出通式

式中βi，j為：

從數(shù)據(jù)點集｛pi｝中找到與最近的點，設該點的極限細分曲面上與數(shù)據(jù)點集中pi的距離誤差為Li，則。如果距離誤差Li大于給定的閾值，則可采用文獻［11］中以搜索的最近頂點位置和法向建立參數(shù)直線方程，通過讓精度評價系數(shù)λ足夠小、參數(shù)T正負的判斷對方程進行求解，計算出空間點到極限細分曲面的最短距離，作為調(diào)整距離的誤差。設由文獻［11］方法計算出空間點pi到極限細分曲面的最短距離為Dplmin，空間點pi到極限細分曲面的最近點的方向量為Ni，則優(yōu)化后細分網(wǎng)格上的點Vi的位置V′i為

對于距離誤差Li大于給定閾值的控制頂點，按照式（12）優(yōu)化調(diào)整后，極限細分齒面將更加逼近原始點數(shù)據(jù)，與實際齒面的偏差會更小。

2.4 細分齒面的深度估計

齒面經(jīng)過k次細分后控制網(wǎng)格上的頂點與其在極限網(wǎng)格上的位置之間的最大距離定義為

由于Loop細分是一種靜態(tài)細分模式，不同層次的細分矩陣都是一致的，可以得出下面的規(guī)律：Mk=CMk-1=C2Mk-2=…=CkM0。

處在第k層上的頂點V在細分網(wǎng)格上的位置，可以用該頂點在初始控制網(wǎng)格上的位置和1-領(lǐng)域上的頂點表示為，其中

由式（11）、式（13）和式（14）可得

同理，經(jīng)過k+1次細分后，

又由于細分曲面的凸包性質(zhì)，同一層網(wǎng)格上的偶點比奇點到對應的極限曲面的距離小得多，將Loop細分模式中奇點產(chǎn)生的計算式（2）代入式（16）中的，經(jīng)化簡可得

表3所示為根據(jù)給定的精度，利用上述推導的公式對上述兩種重建齒面滿足精度需要的最少細分次數(shù)進行細分深度估計的結(jié)果。

表3 滿足精度需要最少的細分次數(shù)

2.5 生成細分齒面

本算法是在Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU 2.10GHz、內(nèi)存2G 的硬件平臺上，應用Borland C++Builder6.0 軟件實現(xiàn)。分別對齒輪模數(shù)m=10、齒數(shù)z=85、壓力角a=20°、螺旋角β=15°、變位系數(shù)xn=0、齒頂高系數(shù)han=1、頂隙系數(shù)cn=0.25、齒寬B=160 進行重建，其重建效果如圖4a所示；對齒輪的模數(shù)m=8、齒數(shù)z=45、壓力角a=20°、螺旋角β=20°、變位系數(shù)xn=0、齒頂高系數(shù)han=1、頂隙系數(shù)cn=0.25、齒寬B=180進行了重建，重建效果如圖4b和圖4c所示。圖4a是粗加工后的齒面重建效果圖，從圖中可以看出齒面特征帶較寬，圖4b是精加工后細分4次后的效果圖，圖4c是細分5次后的效果圖，從圖中明顯可以看出圖4c比圖4b的網(wǎng)格更細。因此，隨著細分次數(shù)的增加，重建齒面的精度也相應提高。圖4d是采用文獻［6］中算法重建出的齒面，通過局部特征放大圖可以看出，本文算法對齒面尖銳特征的重建具有明顯優(yōu)勢。表4所示為對本文算法與文獻［6］中算法細分過程的比較，從中可以看出，無論網(wǎng)格規(guī)模還是系統(tǒng)耗時都優(yōu)于文獻［6］的算法。

表4 本文算法和文獻［6］算法細分過程的比較

3 齒面重建誤差分析

為了對本文所提算法重建后的齒面精度進行驗證，在江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點實驗室對上述加工后模數(shù)m=8 的齒輪用WENZEL（LH1512）三坐標測量機進行采樣測量，如圖5所示。

為了能直觀比較采用本文算法細分5次重建模數(shù)m=8的齒輪齒面與實際齒面的偏差，在MATLAB環(huán)境下對實際齒面采樣點與對應的重建點進行比較，并與理論齒面對應的點也進行相應的比較，圖6中的縱坐標軸（法向偏差／μm）表示與理論齒面對應點比較的結(jié)果；虛線表示真實測得的齒面數(shù)據(jù)采樣點數(shù)據(jù)；實線表示重建后齒面的數(shù)據(jù)點。經(jīng)比較后可知，重建后的齒面與實際齒面貼合得很好，尤其是齒面局部特征處，偏差不超過2μm，此結(jié)果說明齒面重建的效果較好。表5列舉了部分測量點與重建點（細分了5次）的法向偏差數(shù)據(jù)。

表5 測量點與重建點（細分5次）的法向偏差

4 結(jié)束語

本文在經(jīng)典Loop細分方法的基礎(chǔ)上，提出帶有特征的齒面重建方法，并實現(xiàn)了帶有特征的齒面重建。該方法首先對齒面上大量散亂的數(shù)據(jù)采用螺旋增長算法構(gòu)造初始網(wǎng)格，然后對初始網(wǎng)格進行帶有特征的Loop 細分，每次細分后都對細分點進行調(diào)整，詳細論述了調(diào)整細分點的方法，對Loop細分進行了深度估計，最后通過重建誤差分析，得出重建齒面與實際齒面偏差不超過2μm 的結(jié)論，證明了本文方法的可行性與準確性。

未來將對細分齒面與實際齒面距離算法進行深入探討，從而進一步提高齒面擬合精度；包含齒面特征處的細分次數(shù)深度估計，也將進一步提高齒面重建的效率。

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