雷偉軍，程筱勝，戴 寧，郭保蘇

（南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016）

0 引言

在模具、醫(yī)學修復體等各種表面形態(tài)復雜的零件中，型腔是一種常見的加工形狀，常采用數(shù)控銑削的方式進行加工。對于型腔加工，生成合理的加工軌跡是保證加工質量和提高加工效率的一個重要途徑。目前，常見的加工軌跡可分為線性走刀和非線性走刀。線性走刀主要包含單向行切和雙向行切，單向行切在加工過程中存在大量的跳刀，其中50%以上的路徑為非切削刀軌［1］，加工效率低；雙向行切雖然減少了來回跳刀的路徑長度，但是在加工過程中采用往復的順逆銑，降低了模型的加工質量和刀具壽命，不利于型腔的實際加工。在非線性走刀中，常見的有環(huán)切、螺旋線和擺線加工。螺旋線具有很好的光順軌跡，加工過程平穩(wěn)，適合高速銑削，但是螺旋線加工對加工輪廓形狀有一定要求，最好是近似圓形和單連通的區(qū)域，并不適合復雜型腔的銑削加工。而擺線加工雖能保證刀軌G1階連續(xù)，但是在加工過程中，刀具切削量少和刀軌路徑過長，將影響整體的切削效率。環(huán)切加工由于加工軌跡連續(xù)，在加工過程中能夠一直保持順逆銑，切削效率和加工質量高，對解決復雜型腔的加工不失為一種很好的策略。但是，由于型腔輪廓本身形狀和刀軌環(huán)在偏置中存在容易自交等因素，在生成的環(huán)切刀軌中普遍會產(chǎn)生一系列拐角，這些拐角在加工過程中會引起切削力大小和方向的突變，并帶來機床頻繁加減速等問題，若不能有效處理這些環(huán)切拐角，將影響整體加工質量和加工效率。為了在環(huán)切拐角處保證加工質量并實現(xiàn)平穩(wěn)銑削，需要滿足［2-3］：①切削力在切削過程中均勻變化，且低于刀具的最大許可切削力；②在拐角處的刀具軌跡要保持光順連接，至少達到C1階連續(xù)；③拐角處無殘留量剩余；④加工過程中無多余空刀。若能在加工過程中滿足這些要求，則將極大地提高型腔拐角的加工質量和加工效率，縮短整體加工時間，對型腔拐角加工具有很大的現(xiàn)實意義。

目前，對于環(huán)切拐角優(yōu)化的研究主要集中在以下兩個方面：

（1）從機床和運動學特性方面進行優(yōu)化 張得禮［4］和何波［5］等考慮了機床的特性，為防止在拐角處發(fā)生過載，利用超前分析法和插入微小圓弧段的方法，提出多程序段的平滑算法，但是該方法難免會引起機床的頻繁加減速，對數(shù)控系統(tǒng)的穩(wěn)定性提出了較高的要求；PATELOUP 等［3］研究了拐角處進給速度和加速度的變化特性，通過修訂拐角半徑來增加實際銑削速度，并利用Bspline進行拐角過渡連接，能夠達到在某些特定情況下的加速度連續(xù)，但是并沒有考慮對環(huán)切殘留量的去除問題。

（2）從刀具軌跡光順方面進行優(yōu)化 張鳴等［6］考慮環(huán)切拐角處產(chǎn)生的殘留量問題，在原有環(huán)切刀軌上增加了清角加工軌跡，有效去除了拐角處產(chǎn)生的殘留量，但是由于清角刀軌只能保證C0階連續(xù)，在實際加工中會增加機床振動的頻率，不利于實際加工；CHOY 等［7］采用弓狀（bow-like）曲線進行拐角優(yōu)化，其實質是對殘留區(qū)域進行多次來回銑削，該方式無疑會增加拐角處的刀軌長度，并且需要大量的偏置操作來完成，從而導致效率低下；安魯陵［1，8］和ZHAO［2］等采用單雙圓弧方式進行拐角過渡連接，將直線和圓弧以及圓弧和圓弧連接的方式進行過渡連接，但是這種優(yōu)化方式至多能達到刀軌的C1階連續(xù)，不能保證加速度連續(xù)；WALTON 等［9］提出采用螺旋曲線連接的方式過渡拐角，根據(jù)角度不同分為C-shaped和S-shaped進行拐角插補，能有效地保證拐角的光滑過渡，但是沒有考慮殘留量對數(shù)控加工的影響。

由上述分析可知，目前對拐角刀軌優(yōu)化的結果大多是達到過渡連接的C0～C1階連續(xù)，只有少數(shù)文獻能夠實現(xiàn)在某些特定情況下的C2階連續(xù)。在數(shù)控加工中，C0階連續(xù)只能保證曲線在連接點的位置連續(xù)，不能確保速度和加速度的連續(xù)過渡，C1階雖能保證曲線在連接點的速度連續(xù)變化，但其加速度在連接點處會產(chǎn)生突變，因此若在C0～C1階連續(xù)的情況下進行拐角銑削加工，則因其加速度不連續(xù)，在實際加工過程中會引起機床的振動，而降低模型加工質量和加工效率。在加工過程中，C2階連續(xù)不但保證了曲線過渡的速度連續(xù)，而且確保了其加速度的連續(xù)，從而大大減少由于機床頻繁加減速帶來的機床振動，能夠有效提高型腔的加工質量和效率。

為了實現(xiàn)在環(huán)切拐角處的刀軌C2階連續(xù)，本文在確保有效去除拐角殘留量的情況下，提出采用三段式Clothoid曲線對拐角進行過渡連接，進而實現(xiàn)拐角的平穩(wěn)銑削加工。首先采用基于骨架線提取的原理計算清角加工所需步長，然后在清角加工軌跡的基礎上選取一系列點控制三段Clothoid曲線，從而實現(xiàn)拐角的光順過渡，最后通過實例對比分析，證明該方法可以提高加工質量和效率。

1 拐角殘區(qū)的識別與提取

在環(huán)切刀軌偏置過程中，若兩線段的重疊率χ＜50%，則會出現(xiàn)如圖1所示的殘留區(qū)域，其中Lpi和Lpo為外環(huán)進出線段，Lsi和Lso為內環(huán)進出線段。由于殘留區(qū)域的存在，導致刀具在整個銑削過程中受力不均勻，影響刀具使用壽命，若殘區(qū)存在于精加工過程中，則會影響最終的加工質量。對于殘區(qū)的處理，以前常將殘區(qū)作為一個單獨的加工階段進行加工，由于這些殘區(qū)分布不均勻且零散，導致來回跳刀和下刀，影響加工效率。因此，這種方式已經(jīng)逐漸被拋棄，而更加關注于如何在原有刀軌上增加切削刀軌來去除殘區(qū)。

為有效切除這些殘留區(qū)域，首先需要抽取殘留區(qū)域的清角加工軌跡。傳統(tǒng)的拐角殘區(qū)計算方法是將尖角對之間的區(qū)域簡化為一個直線相交的菱形處理［2］，或者通過對拐角進行偏置和求交來計算殘留區(qū)域。然而，這兩種方法通過近似運算和大量求交運算后，結果的準確性和運算效率不容樂觀。為了高效和準確地計算出殘留區(qū)域所需的加工步長，本文借鑒骨架線提?。?0-11］原理來計算殘留區(qū)域的清角加工軌跡。

1.1 拐角骨架線與相伴曲線的映射關系

根據(jù)骨架線的定義，為便于描述，本文將拐角骨架線定義為從子環(huán)拐角到相鄰外環(huán)對應拐角的所有相切于外環(huán)的最大圓盤的圓心集合，如圖2中的子父環(huán)之間的虛線段所示。假設子環(huán)拐角進入段Lsi和輸出段Lso之間的拐角點為p，則p稱為拐角骨架線的起始點，Lpi和Lpo為拐角骨架線的相伴曲線。如圖2所示，在p點和相伴曲線上垂足點q1和q2上建立對應的Frenet標 架，則相伴曲線與拐角骨架線上的Frenet標架具有如下映射關系：

式中θ為e1和pq1的夾角。

由于相伴曲線Lpi和Lpo是到拐角骨架線距離相等的曲線，根據(jù)骨架線的對稱性質，用r1和r2表述q1和q2的矢徑，r表述p點的矢徑，則Lpi和Lpo可以表述為

為建立拐角和相伴曲線的參數(shù)微分映射關系，對式（3）兩端同時進行微分，用Frenet公式簡化，可得

式中：k1和k2分別表示q1和q2在相伴曲線Lpi和Lpo上的曲率；s1，s2和s分別表示q1，q2和p處的自然參數(shù)。分別將與式（4）進行點乘，可得拐角骨架線和相伴曲線的參數(shù)映射關系式：

通過式（5）可以得到拐角骨架線的微分表達式，且可通過相伴曲線的曲率ρ1=1／k1，ρ2=1／k2得到拐角骨架線的曲率

1.2 清角加工軌跡段的生成

根據(jù)泰勒公式，將高階小量（大于等于三階）省去，可得拐角骨架線的表達式為

式中：Δs表示沿e1方向的弧微分；p＊表示骨架拐角線的一點；δ表示Δs所在圓對應的角度，δ=kΔs。

將1.1節(jié)中所求的相應參數(shù)代入式（7），能夠求得下一點的位置，依次循環(huán)迭代，可以算出拐角骨架線上的所有點。然而，并不是所有的拐角骨架線都需要進行清角加工。事實上，當拐角骨架線所在的圓的半徑r等于加工刀具的半徑時，清角加工軌跡終止，所得的線段即清角所需加工步長，如圖3b中的ppe段。

2 Clothoid曲線拐角過渡方法

若將1.2節(jié)中提取出的清角加工路徑ppe直接添加到原有的刀軌中進行數(shù)控加工，則由于清角路徑僅為一條延伸曲線，在加工過程中會進行來回折返運動，當加工至pe時，先降速為0然后迅速加速到降速前的速度，會引起機床的強烈振動，從而降低加工質量。因此，要想在拐角進行光滑過渡并保證較高的加工質量，應該在提取出的清角加工軌跡段的基礎上進一步過渡優(yōu)化，本文采用三段式Clothoid曲線進行拐角過渡連接優(yōu)化。

2.1 Clothoid的定義與性質

Clothoid曲線常用于高速公路、橋梁的線形設計，以提高行車的速度和平穩(wěn)性。最近幾年，逐漸被應用于數(shù)控加工領域［9，11-12］，生成螺旋刀軌和進行高速加工等。Clothoid曲線［13］是在Fresnel積分的基礎上提出的，曲線的曲率變化與曲線的弧長呈正比關系，并且包含直線和圓的特殊情況。如圖4所示，以弧長s為參變量，單位回旋曲線的表達式為：

將單位回旋曲線進行回轉、比例和平移變換，可以得到回旋曲線的通用表達式：

式中：a表示比例因子，φ0 為直線在參考坐標系中的傾斜角。由該式可以推導出切線角φ、曲率k與弧長s之間的關系：

從式（11）可以得出，隨著弧長的增大，曲線的曲率也隨之增大。當s=0 時曲率k=0，即曲線在原點處時，曲線的曲率為零，這是Clothoid曲線的特性。利用這一特性連接Clothoid曲線和直線，能保證連接點的曲率連續(xù)，從而在連接拐角處的直線時能達到拐角的光滑過渡。

2.2 拐角過渡處理方法

獲得了拐角殘區(qū)步長線后，為了能夠設計出光滑的曲線過渡，需要解決拐角的特征點、過渡范圍以及曲線的連接順序等問題，其拐角過渡曲線設計流程如圖5所示。首先需要計算出拐角控制點來得到曲線過渡的范圍，然后在控制點所構成的過渡區(qū)間內選擇合適的初始插入點，最后以初始插入點作為直線和曲線的連接點，進行Clothoid 曲線過渡設計。

2.3 拐角過渡特征點的選取

拐角過渡特征點包括Clothoid曲線控制點和曲線初始插入點。為保證設計的Clothoid曲線不產(chǎn)生過切，需要在清角加工軌跡及父子環(huán)之間選取一系列點作為Clothoid曲線控制點（如圖6）。由式（11）可知，曲線的曲率與弧長呈正比關系，與縮放因子呈反比關系，當弧長過大或縮放因子過小時都會嚴重影響曲線曲率的變化幅值。因此，在保證控制點處于父子環(huán)的尖角對之間的前提下，為了使曲線曲率的變化幅值均勻化，控制點所構成的多邊形應盡可能對稱，且所選的控制點便于Clothoid曲線連接。拐角控制點的選取步驟如下：

步驟1 做拐角p處兩相鄰線段（圓弧）Lsi，Lso的延長線（切線）Lsi＿e，Lso＿e。

步驟2 過pe點分別做Lsi＿e，Lso＿e的兩條平行線，并與Lsi＿e，Lso＿e求交，記交點為pin＿e，pout＿e。

步驟3 若pin＿e，pout＿e在 父子環(huán)LsiLsoLpiLpo之間，則將pin＿e，pout＿e分別賦值給pin，pout；否則，計算延長線Lsi＿e，Lso＿e與父環(huán)Lpo，Lpi的交點，并將交點分別賦值給pin，pout。

步驟4 依次輸出拐角p對應的三個控制頂點pin，pe，pout。

通過上述控制點的選取，保證了拐角殘余線段ppe包含在控制點ppinpepout范圍內，并且控制點沒有超出父子環(huán)的區(qū)間。在控制點ppinpepout所構成的四邊形范圍內，刀具的實際切削路徑為ppinpepout p，因此只需將四邊形新派生出來的三個拐角∠pin，∠pe和∠pout進行合理過渡連接，就能完成對拐角∠LsipLso的光滑過渡。為實現(xiàn)過渡設計，首先需要選擇Clothoid曲線的過渡初始點。

由于四邊形四條邊ppin，pinpe，pepout，poutp的長度并不完全相等，并且兩條線段pinpe和pepout不能隨意延長和改變，為了保證Clothoid曲線在拐角處的對稱性，取pinpe和pepout中較短線段的中點作為其中一個插入點，將該點關于對應角的分線依次進行對稱計算，得到相鄰線段的插入點。如圖7所示，由于pinpe的長度小于pepout，取pinpe的中點作為線段pinpe的過渡起始點pie，將pie對稱到線段pepout上，得到pepout段的初始點peo，依次類推，可以得到pos，psi。

2.4 拐角過渡連接的設計

由于單位Clothoid曲線在原點的曲率為零，若將Clothoid曲線與直線進行合理連接，則會得到一條“直線-Clothoid曲線”光滑過渡的曲線，從直線到Clothoid曲線的曲率是連續(xù)變化的，保證了刀具在加工過程中的加速度連續(xù)變化。由于在2.3節(jié)特征點選取時考慮了過渡初始點的對稱性，在用Clothoid曲線進行過渡連接時，應考慮曲線關于角分線的對稱性，從而保證曲率的連續(xù)變化。

以圖7中psipinpie段的拐角過渡連接為例進行拐角過渡連接設計說明，剩余兩個拐角piepepeo與peopoutpos的過渡連接原理與此類似，不再贅述。圖8a所示為psipinpie段的拐角過渡示意圖，其中psi與pie為曲線過渡初始點，關于兩直線的角分線對稱，γ為兩向量與的夾角。由于直線的曲率為0，要想光順連接，必須使的兩個端點psi，pie的曲率與兩條連接線段的曲率相等，而Clothoid曲線只有在原點處的曲率為零，因此解決這一問題的辦法是利用曲線關于角分線進行對偶。Clothoid曲線對偶是從psi與pie開始的回旋曲線的尾部按連續(xù)條件對接起來。由幾何關系可知，兩曲線在對接點處的切線角φm與兩向量夾角γ的關系為

結合式（9），可以推導出對接點的最大參變數(shù)

為了將對偶曲線合理地拼接起來，由式（9）可知，還需要求解對偶曲線的縮放因子a。由于psipin與pinpie的長度相等，且設為l，曲線通過縮放以后與長度l存在如式（14）的關系式，則縮放因子a可以通過式（9）與式（14）聯(lián)立求解得到?？s放因子a的大小決定了Clothoid曲線的形態(tài)，圖8b 所示為三段不同Clothoid曲線對應不同縮放因子的形態(tài)。

通過上述設計，能夠很好地完成拐角的過渡，圖8b所示為∠LsipLso的過渡連接示意圖，經(jīng)過渡后刀具的加工路徑為其中：在直線過渡連接段ppsi和posp的曲率為0，在Clothoid曲線過渡段的曲率由0逐漸增大然后再縮小，保證了拐角過渡的曲率連續(xù)變化和刀具在加工過程中的平穩(wěn)性。

3 實例及分析

本算法已經(jīng)在仿真測試中得到了很好的應用，實驗平臺為配備有Core2E8400 3.00GHz處理器，2.00GB內存的Lenovo PC，開發(fā)環(huán)境為VC2008，并采用Hoops庫進行刀軌顯示和精雕V5.5刀軌仿真。

3.1 仿真測試實例

以不規(guī)則多邊形和醫(yī)學修復體加工為例，采用本文算法生成了環(huán)切刀軌的殘區(qū)識別和拐角優(yōu)化，用精雕V5.5 進行仿真，仿真機床參照德國imesicore340i機床的各參數(shù)進行了相關配置。其中，圖9與圖10分別表示不規(guī)則多邊形不帶島嶼和醫(yī)學修復體帶島嶼的拐角優(yōu)化實例。圖9a和圖10a所示為傳統(tǒng)的環(huán)切刀軌圖，由圖中可知，刀軌環(huán)進行等距的過程中產(chǎn)生了大量的環(huán)切拐角，不利于實際銑削加工。圖9b和圖10b所示為利用骨架線原理提取的拐角殘區(qū)步長，雖然在加工過程中沿著該路徑能很好地加工殘留區(qū)域，但是在每個殘區(qū)加工完成后都需要進行折返加工，這會嚴重影響加工的平穩(wěn)性。圖9c和圖10c為加工殘區(qū)Clothoid曲線過渡刀軌圖，通過分析，采用Clothoid拐角過渡能很好地切除殘留區(qū)域，并能保證加工過程的平穩(wěn)性。圖9d和圖10d給出了采用本文方法優(yōu)化后的刀軌仿真結果，從圖中可見，運用該方法能很好地去除殘留量。圖9和圖10兩個仿真測試實例的參數(shù)和加工時間如表1所示。

表1給出了圖9和圖10中的兩個仿真測試實例采用拐角未優(yōu)化、三段圓弧過渡和本文算法的對比數(shù)據(jù)。由表1可見：①采用三段圓弧過渡的走刀路徑長度最長，本文算法次之，沒有優(yōu)化的走刀最短。這是因為在具有相同控制點和初始插入點的情況下，Clothoid曲線的弧長小于圓弧的過渡弧長，因此Clothoid曲線的過渡走刀路徑明顯短于圓弧過渡路徑。②采用Clothoid曲線過渡的測試加工時間明顯短于三段圓弧過渡和未優(yōu)化的加工時間，相比于圓弧過渡，Clothoid曲線能達到C2階連續(xù)，因此在加工過程中能更好地提高切削速度，縮短加工時間。

表1 仿真測試加工主要參數(shù)對比

3.2 拐角過渡的曲率分析

為更好地說明拐角處Clothoid過渡的光順性，以圖9c中局部放大的圖形為例分析過渡刀軌的曲率和運動變化規(guī)律。圖9c中局部放大的拐角為36.4°，相鄰環(huán)間的拐角殘區(qū)步長為19.2 mm，兩相鄰控制頂點的長度為10.1mm，縮放因子a1=a3=10.736，a2=2.757。則在拐角處的過渡曲率如圖11實線段所示，對應的虛線段為采用圓弧過渡的曲率變化，表2所示為本文算法對應的拐角過渡曲率變化值。在控制頂點內的過渡曲線是由三段Clothiod曲線光滑拼接起來的，曲率變化分為三段，分別對應圖8中的進入段、拐角段和出去段的曲率變化。

表2 拐角過渡曲率變化值

分析圖11和表2可知：①采用Clothoid曲線過渡能夠保證過渡的曲率連續(xù)性，不會出現(xiàn)圓弧過渡曲率突變的情況，從而保證了過渡的C2階連續(xù)。②拐角段的曲率比進出段的曲率變化幅值要大，這是因為在控制點構成的四邊形中，中間段的角度變化幅值最大。③在實際加工過程中，機床運動的加速度與過渡曲線的曲率呈正比，相對于圓弧過渡，當采用Clothoid曲線過渡時，在角度幅值變化較小的情況下（進出段），能夠自動增加曲率（加速度）變化的幅值，增加過渡的速度；而在角度幅值變化較大的情況下（拐角段，能夠縮小曲率（加速度）變化的幅值，降低過渡的速度。這樣，加工過程中在保證加工質量的同時，能夠提高拐角過渡的速度，縮短加工時間。

4 結束語

本文針對復雜型腔拐角存在加工殘留區(qū)域的問題，采用基于骨架線生成原理的方式進行拐角殘區(qū)的識別及其步長的提取。該方法通過Frenet標架迭代的方式計算拐角骨架線，通過判斷拐角骨架線到父環(huán)的距離，能夠很好地計算出拐角殘區(qū)的步長，避免過加工現(xiàn)象的發(fā)生。

本文針對環(huán)切中拐角所引起的機床振動和加工質量降低等問題，在拐角殘區(qū)步長的基礎上，提出采用三段Clothoid曲線光滑拼接的方式進行拐角過渡，這種過渡方式相對于圓弧等過渡方式，能夠達到曲線的C2階連續(xù)，并且能自動調節(jié)曲率變化幅值，提高加工效率。在實際加工過程中能夠保證加速度的連續(xù)，從而保證加工過程中拐角的平穩(wěn)過渡。

本文算法仍有不足之處，例如為保證最終的加工精度，對孤立和自交產(chǎn)生的刀軌環(huán)沒有進行拐角過渡優(yōu)化。事實上，在刀軌環(huán)自交分離出的子環(huán)仍可以進行拐角過渡，但是這種環(huán)的拐角過渡會對相鄰環(huán)造成干涉等，具有更為復雜的情況，因此下一步的研究重點將是如何優(yōu)化孤立的環(huán)和自交分離出的子環(huán)。

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