謝娟英，王艷娥

(陜西師范大學計算機科學學院，西安 710062)

1 概述

聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘研究的一項重要技術(shù)［1］，屬于無監(jiān)督機器學習方法，它基于物以類聚原理，分析和探索事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)。在聚類分析過程中，以相似度為基礎，使得同一類簇中的模式具有較高的相似度，而不同類簇的模式具有很低的相似度。聚類分析廣泛應用于模式識別、數(shù)據(jù)分析、圖像處理等領域［2］。常用的聚類分析方法包括基于劃分的方法、基于層次的方法、基于密度的方法、基于網(wǎng)格的方法、基于模型的方法和基于變換的聚類算法［1-2］。

K-means 算法是一種典型的基于劃分的聚類算法，該算法將一個含有n 個樣本的集合劃分為K 個子集合，其中每個子集合代表一個類簇，同一類簇中的樣本具有高度的相似性，不同類簇中的樣本相似度較低。K-means 算法以其思路簡潔、收斂速度快成為應用最廣泛的聚類算法。但傳統(tǒng)K-means 算法需要預先提供確定的類簇數(shù)K，在K 值給定的前提下，隨機產(chǎn)生初始聚類中心進行聚類，聚類結(jié)果的隨機性很大，嚴重依賴于初始聚類中心，經(jīng)常收斂于局部最優(yōu)解。關于K-means 算法的研究形成2 個分支，一是如何確定好的初始聚類中心;二是如何確定合適的K 值。

本文在分析關于K-means 優(yōu)化初始聚類中心研究的基礎上，提出一種基于樣本空間分布的最小方差優(yōu)化K-means 初始聚類中心的聚類算法，以克服現(xiàn)有優(yōu)化K-means 初始聚類中心的算法需要人為選擇一定參數(shù)，聚類結(jié)果嚴重依賴于參數(shù)選擇的缺點。根據(jù)樣本的分布特征，計算樣本的相似度、平均距離及方差;選擇方差最小，且相距較遠(不小于樣本間平均距離)的K 個樣本作為K-means 算法的初始聚類中心，避免傳統(tǒng)K-means 算法隨機選取初始聚類中心所導致的聚類結(jié)果不穩(wěn)定和不可靠現(xiàn)象，以及現(xiàn)有優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法過多依賴于參數(shù)選擇的問題。

2 K-means 算法介紹及研究現(xiàn)狀

K-means 算法以類簇數(shù)K 為參數(shù)，將n 個樣本劃分為互不相交的K 個類簇，同一類簇中的樣本相似度較高，而不同類簇的樣本相似度較低。常用的相似度判斷是計算樣本間的歐氏距離。K-means算法的基本思想是:首先從n 個樣本集中隨機選擇K 個樣本作為初始聚類中心，根據(jù)每個樣本與各個聚類中心的相似度，將其分配給最相似的聚類中心，得到K 個互不相交的類簇集合;然后重新計算每個類簇的新中心，再將每個樣本根據(jù)相似性原理分配給最近的簇中心重新計算每個類簇的新中心，分配每個樣本到距離最近的類簇。這個過程不斷重復，直到各個類簇的中心不再變化，得到原始樣本集合的K 個互不相交的穩(wěn)定的類簇。

然而，K-means 算法是一個局部搜索過程，其聚類結(jié)果依賴于初始聚類中心以及初始劃分［3］，并且K-means 算法的最終結(jié)果只是相對于初始劃分更好，未必是全局最優(yōu)的劃分［4］。但是，如果初始聚類中心選擇得好，初始劃分按照Forgy 方法產(chǎn)生，即按照最近鄰方法將樣本分配到各個初始聚類中心產(chǎn)生初始聚類，聚類結(jié)果將會達到全局最優(yōu)［5］。為此，諸多學者致力于K-means 算法的最佳初始聚類中心選擇研究。文獻［6］提出確定性的初始聚類中心選擇方法，根據(jù)樣本的局部密度選擇Kmeans 算法的K 個初始聚類中心;為提高聚類性能，文獻［7］在K-means 算法的迭代過程中對每個類簇的新中心重新進行計算;文獻［8-9］研究了Kmeans 算法的初始化問題;文獻［10］等利用譜方法估計特征中心得到K-means 算法的初始聚類中心;文獻［11-14］分別采用不同的樣本密度計算方法估計樣本點的密度，選擇相互距離最遠的K 個處于高密度區(qū)域的樣本作為K-means 算法的初始聚類中心;文獻［15］采用密度敏感度量樣本的相似性，計算樣本密度，啟發(fā)式地生成K-means 算法的初始聚類中心;文獻［16-17］根據(jù)樣本的空間分布信息以及密度RPCL 算法確定K-means 的初始聚類中心;文獻［18］利用密度網(wǎng)格優(yōu)化K-means 聚類。以上這些優(yōu)化K-mean 算法一定程度上改善了K-mean的聚類性能，但因需要主觀選擇一些參數(shù)，在一定程度上缺少了客觀性。因此，本文基于每個類簇中心的樣本方差最小原理，提出基于樣本分布緊密度的最小方差優(yōu)化初始聚類中心的K-means 聚類算法。

3 本文算法

傳統(tǒng)K-means 算法隨機選取的初始聚類中心有可能是一些孤立點或噪聲點，或者不同類簇的初始聚類中心位于同一個類簇，導致聚類結(jié)果可能偏離數(shù)據(jù)集樣本的真實分布，得到錯誤的聚類結(jié)果，或者使聚類的收斂速度緩慢甚至很難收斂。選取相互距離較遠的樣本作為初始聚類中心，可避免初始聚類中心可能位于同一類簇的缺陷，但對噪聲點非常敏感，可能導致聚類結(jié)果的偏差。文獻［6，11-17］分別研究了基于密度優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法，以解決K-means 算法選擇相互距離較遠的樣本為初始聚類中心時，可能選擇到噪音點的問題。然而，盡管這些研究使得這一問題得到一定程度的改善，提高了聚類結(jié)果的準確性，但是這些文獻中涉及到了密度調(diào)節(jié)系數(shù)或噪聲調(diào)節(jié)系數(shù)，聚類結(jié)果直接依賴于這些參數(shù)的選擇，參數(shù)選擇不好，聚類結(jié)果會變得非常差。因此，這些研究帶有很大程度上的主觀性，需要對原始數(shù)據(jù)集有一定的先驗知識和經(jīng)驗值，且有些算法的執(zhí)行時間過長，不能處理較大數(shù)據(jù)集。

本文以樣本的方差作為選取K-means 初始聚類中心的啟發(fā)信息，以樣本間的平均距離為半徑，選擇K 個位于不同區(qū)域且在該區(qū)域方差最小的樣本作為初始聚類中心，不需要其他參數(shù)選擇，提出基于樣本分布緊密度的最小方差優(yōu)化初始聚類中心的Kmeans 聚類算法。根據(jù)方差的定義可知，本文的優(yōu)化K-means 算法選擇的初始聚類中心為緊密度較高，即周圍樣本分布比較密集的樣本，從而保證K-means算法快速地收斂到全局最優(yōu)解或近似全局最優(yōu)解，而且初始聚類中心的選擇無需人工干預，不需要輸入任何參數(shù)，保證了K-means 算法聚類結(jié)果的客觀性和穩(wěn)定性。

3.1 算法原理

方差是數(shù)據(jù)集中各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)之差的平方和的期望，樣本方差的算術(shù)平方根為樣本標準差［19］。樣本方差與樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，方差用來度量隨機變量與其數(shù)學期望(即均值)之間的偏離程度。方差和標準差是測算樣本離散趨勢最重要和最常用的指標。方差是測算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要方法。

K-means 算法的初始聚類中心如果選擇到每一個類簇的中心，其方差將最小?；诖嗽?，本文通過計算數(shù)據(jù)集所有樣本的方差，以及所有樣本間的距離均值R，啟發(fā)式地選擇位于樣本分布密集區(qū)域，且相距較遠的樣本為K-means 的初始聚類中心。啟發(fā)式選擇過程為:首先選擇方差最小的那個樣本為第一個類簇的初始中心，以R 為半徑做圓;然后，在圓之外的樣本中，尋找方差最小的樣本作為第二個類簇的初始中心，以R 為半徑做圓;重復在剩余樣本中選擇下一個類簇的初始聚類中心，直到第K 個類簇的初始中心選擇到。此時，便得到了K-means 算法的初始聚類中心向量。

3.2 基本概念

假設待聚類的數(shù)據(jù)集為:

K 個初始聚類中心分別為C1，C2，…，Ck，用W1，W2，…，Wk表示K 個類簇所包含的樣本集合，所有樣本的集合為W。

定義1 樣本xi，xj之間的歐氏距離:

定義2 樣本xi到所有樣本距離的平均值:

定義3 樣本xi的方差:

定義4 數(shù)據(jù)集樣本的平均距離:

定義5 聚類誤差平方和:

3.3 算法步驟

算法步驟描述如下:

(1)確定初始聚類中心

1)根據(jù)定義1～定義3 計算數(shù)據(jù)集中每一個樣本的方差，在數(shù)據(jù)集W 中尋找方差最小的樣本將其作為第一個類簇的初始聚類中心C1;根據(jù)定義4計算數(shù)據(jù)集樣本的平均距離cmean，令:

2)如果c?K，則令c=c +1，在數(shù)據(jù)集W 中尋找方差最小的樣本將其作為第c 個類簇的初始聚類中心Cc，并令:

否則，找到K 個初始聚類中心C1，C2，…，Ck，轉(zhuǎn)步驟(2)。

3)轉(zhuǎn)步驟2)。

(2)構(gòu)造初始劃分

1)根據(jù)定義1 計算數(shù)據(jù)集中每個樣本到各個初始聚類中心的距離，根據(jù)相似性原理將樣本分配到距離最近，即最相似的類簇中，得到初始劃分。

2)計算每一個類簇中所有樣本的均值，作為該類簇的新中心。

3)根據(jù)定義5 計算當前聚類結(jié)果的聚類誤差平方和E。

(3)重新分配樣本并更新聚類中心

1)根據(jù)定義1 計算數(shù)據(jù)集中每個樣本到各個類簇中心的距離，根據(jù)相似性原理將樣本分配到距離最近的類簇中。

2)計算每一個類簇中所有樣本的均值，作為該類簇的新中心。

3)根據(jù)定義5 計算當前聚類結(jié)果的聚類誤差平方和E'。

4)如果E' -E?10-10，即聚類中心不再變化，則算法結(jié)束，輸出聚類結(jié)果;否則，令E=E'，轉(zhuǎn)向步驟3)。

4 仿真實驗

為驗證本文算法的聚類效果及其穩(wěn)定性，分別在UCI 數(shù)據(jù)集和隨機生成的人工模擬數(shù)據(jù)集兩大類數(shù)據(jù)集上進行測試，并與文獻［11，13，15，16］以及傳統(tǒng)K-means 算法的聚類結(jié)果進行比較，其中傳統(tǒng)Kmeans 算法的聚類結(jié)果是執(zhí)行100 次的平均值，文獻［11，13，15］的實驗結(jié)果是調(diào)整參數(shù)所取得的最好結(jié)果。各算法聚類結(jié)果的評價除采用聚類誤差平方和、聚類時間、聚類準確率這些常用評價方法外，還采用了外部評價法的Rand 指數(shù)、Jaccard 系數(shù)和Adjusted Rand Index 參數(shù)。其中外部評價方法是一種基于預先給定的分布結(jié)構(gòu)，即在數(shù)據(jù)集樣本類標已知情況下對待測試的聚類算法的聚類性能進行評價的有效指標［16，20-23］，Adjusted Rand Index 參數(shù)是其中最好的聚類有效性評價準則［24］。

4.1 實驗數(shù)據(jù)集

實驗使用的UCI 機器學習數(shù)據(jù)庫［25］的10 個測試聚類算法的常用數(shù)據(jù)集的描述如表1 所示。

表1 實驗所用的UCI 數(shù)據(jù)集描述

測試本文算法聚類效果的人工模擬數(shù)據(jù)集包含11 組，其中1 組不含噪音，其他10 組分別含有5%，10%，15%，20%，25%，30%，35%，40%，45% 和50%不同比例的噪音。這些人工模擬數(shù)據(jù)集每組都含有3 類分別符合不同正態(tài)分布的600 個樣本，每類200 個。第i 類的橫坐標x 的均值為縱坐標y的均值為，第i類的標準差為σi。噪音樣本分布在第3 類，其標準差為σl。隨機生成的人工模擬數(shù)據(jù)集的生成參數(shù)如表2 所示。

表2 隨機生成的人工模擬數(shù)據(jù)集的各項參數(shù)

4.2 實驗結(jié)果與分析

下面分別是本文算法在UCI 數(shù)據(jù)集和人工模擬數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果與分析。需要說明的是用于實驗對比的優(yōu)化初始聚類中心K-means 算法是在最佳參數(shù)設置下的運行結(jié)果。對比算法嚴重依賴于參數(shù)調(diào)整，本文采用其他算法的最好實驗結(jié)果與本文算法的實驗結(jié)果進行對比，以說明本文算法的優(yōu)越性。

4.2.1 UCI 數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果與分析

表3 為各算法在10 組UCI 數(shù)據(jù)集上的聚類誤差平方和比較;表4 是各算法在這10 組UCI 數(shù)據(jù)集的聚類時間比較。表3～表4 中加粗的數(shù)據(jù)表示最佳的聚類結(jié)果，下同。

表3 各算法在UCI 數(shù)據(jù)集的聚類誤差平方和比較

表4 各算法在UCI 數(shù)據(jù)集的聚類時間比較 s

由表3 聚類誤差平方和比較可見，傳統(tǒng)K-means算法運行100 次的平均聚類誤差平方和在Ionosphere 數(shù)據(jù)集最優(yōu)，本文算法在不需要任何初始參數(shù)調(diào)整條件下在該數(shù)據(jù)集上的聚類誤差平方和明顯優(yōu)于文獻［16］的結(jié)果，且不差于文獻［11，13，15］的聚類誤差平方和。表3 的實驗結(jié)果還顯示，本文算法在Iris，Haberman，Balance-scale 3 個數(shù)據(jù)集上的聚類誤差平方和略高于在文獻［16］的算法，但在其他數(shù)據(jù)集上都取得了很好的聚類效果，特別是在Soybean-small 和new-thyroid 數(shù)據(jù)集上，本文算法的聚類誤差平方和絕對地優(yōu)于其他優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法的最好聚類誤差平方和，以及傳統(tǒng)K-means 算法的平均實驗結(jié)果。以上聚類誤差平方和的分析可見，本文算法在不需要任何參數(shù)調(diào)整的條件下，得到了很好的初始聚類中心，是一種不依賴任何參數(shù)調(diào)整的優(yōu)化初始聚類中心的K-means 聚類算法。

表4 關于各算法聚類時間的比較揭示，傳統(tǒng)Kmeans 聚類算法的運行時間最快;本文算法的運行時間優(yōu)于文獻［11，13，15］優(yōu)化初始聚類中心的Kmeans 算法;與本文在文獻［16］的優(yōu)化初始聚類中心的K-means 聚類算法相比，本文算法只在Pima Indians Diabetes 和Haberman 這2 個數(shù)據(jù)集上的運行時間較快，但是本文算法不需要選擇任何參數(shù)?？傮w時間分析顯示，本文算法和文獻［16］算法的時間性能差別不大，不如傳統(tǒng)K-means 快速，但優(yōu)于文獻［11，13，15］的算法。

圖1(a)～圖1(d)分別是各算法的聚類準確率、聚類結(jié)果的Rand Index 參數(shù)、Jaccard 系數(shù)以及Adjusted Rand Index 參數(shù)的比較。

圖1 UCI 數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果

由圖1(a)關于聚類準確率的比較可見，本文算法的聚類準確率在各個數(shù)據(jù)集上都最優(yōu)，特別是Iris和Soybean-small 2 個數(shù)據(jù)集上，本文算法的聚類準確率接近90%。圖1(b)關于各算法在10 個UCI 機器學習數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)集上的Rand 指數(shù)可見，本文采用樣本空間分布緊密度啟發(fā)的優(yōu)初始聚類中心Kmeans 算法在9 個數(shù)據(jù)上取得了最好的實驗結(jié)果;在Iris 數(shù)據(jù)集上，本文算法的性能位居第二，不如文獻［16］優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法的Rand指數(shù)，但優(yōu)于其他優(yōu)化初始聚類中心K-means 算法。圖1(c)關于各算法聚類結(jié)果的Jaccard 系數(shù)比較可見，本文算法在各個數(shù)據(jù)集上都最優(yōu)。圖1(d)關于最有效的聚類結(jié)果評價指標Adjusted Rand Index 的比較顯示，本文算法具有最好的聚類效果。

以上結(jié)果表明，相比于其他優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法的聚類結(jié)果嚴重依賴參數(shù)選擇的缺陷，本文算法在不依賴于任何參數(shù)調(diào)整的條件下，可取得較好的聚類效果，并且聚類結(jié)果比較穩(wěn)定。

4.2.2 人工模擬數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果分析

在人工模擬數(shù)據(jù)集上分別運行傳統(tǒng)K-means 算法、文獻［11，13，15，16］算法和本文算法，所得聚類誤差平方和如表5 所示;各算法的聚類時間如表6所示。表5 的聚類誤差平方和比較可見，文獻［13］算法的聚類誤差平方和最小(優(yōu))，本文算法與文獻［15，16］的聚類誤差平方和相同，優(yōu)于傳統(tǒng)Kmeans 算法的聚類誤差平方和，以及文獻［11］的聚類誤差平方和。表6 各算法聚類時間的比較顯示，K-means 算法運行速度最快，文獻［15］算法需要的聚類時間最長，本文算法的聚類時間和文獻［13，16］的聚類時間基本持平，都優(yōu)于文獻［11］的優(yōu)化Kmeans 聚類算法。從聚類時間比較可見，本文算法是一種快速的K-means 聚類算法。

表5 人工模擬數(shù)據(jù)集的聚類誤差平方和比較

表6 人工模擬數(shù)據(jù)集的聚類時間比較 s

圖2(a)～圖2(d)分別展示了各聚類算法的聚類準確率、聚類結(jié)果的Rand Index 參數(shù)、Jaccard 系數(shù)以及Adjusted Rand Index 參數(shù)。

圖2(a)關于各算法聚類準確率的比較顯示，本文算法和文獻［15-16］算法的聚類準確率相同，都高于文獻［11，13］的優(yōu)化K-means 聚類算法，以及傳統(tǒng)K-means 算法;另外，圖2(a)的實驗結(jié)果顯示Kmeans 算法的聚類準確率最差。圖2(b)～圖2(d)關于聚類結(jié)果的外部評價參數(shù)Rand 參數(shù)、Jaccard 系數(shù)、Adjusted Rand Index 參數(shù)的比較顯示，本文算法和文獻［15-16］達到了同樣好的聚類效果，都優(yōu)于文獻［11，13］的算法和傳統(tǒng)K-means 算法;另外，圖2的結(jié)果比較還揭示傳統(tǒng)K-means 算法的聚類效果最差。

圖2 人工模擬數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果

以上關于人工模擬數(shù)據(jù)集的實驗結(jié)果分析表明，本文基于樣本分布緊密度的最小方差優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法在含有不同比例噪聲的人工模擬數(shù)據(jù)集上都取得了很好的聚類效果，聚類準確率高且聚類結(jié)果穩(wěn)定。另外，本文算法的聚類結(jié)果不依賴于任何參數(shù)調(diào)整，而文獻［11，13，15］的聚類算法如果參數(shù)選擇不合適，聚類結(jié)果會變得非常差。

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)K-means 算法初始聚類中心隨機選取帶來的聚類結(jié)果不穩(wěn)定，以及現(xiàn)有優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法的參數(shù)選取較多，聚類結(jié)果嚴重依賴于參數(shù)選擇的問題，本文利用類簇中心的樣本方差最小、具有最高緊密度原理，提出了最小方差優(yōu)化初始聚類中心的K-means 聚類算法。UCI 機器學習數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)集以及帶有同比例噪音的人工模擬數(shù)據(jù)集的仿真實驗表明，本文算法與傳統(tǒng)K-means 算法以及現(xiàn)有優(yōu)化初始聚類中心的K-means 算法相比，不僅提高了聚類準確率、聚類結(jié)果穩(wěn)定，而且對噪音數(shù)據(jù)有較好的免疫性，能客觀地呈現(xiàn)出原始樣本的分布狀況。

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