王玉紅，包俊東

1.內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070

2.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010022

0 引言

利用數(shù)學(xué)上的理想模型為許多實(shí)際系統(tǒng)建模已成為當(dāng)今解決問題的方法之一。而中立型Lurie 控制系統(tǒng)就是一類非常重要的數(shù)學(xué)模型。本文探索了幾類時(shí)滯中立型Lurie 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性問題，尋找使得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，這些系統(tǒng)來源于現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的問題，很有研究?jī)r(jià)值。

1 發(fā)展概況

首先，在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)狀態(tài)的變化速度可能會(huì)含有時(shí)滯，即系統(tǒng)變化速度不僅依賴于當(dāng)前信息，而且還會(huì)依賴于過去的信息。2005 年，徐炳吉、沈軼、廖曉昕巧妙構(gòu)造Lyapunov 泛函，研究了一般中立型Lurie 控制系統(tǒng)

得到系統(tǒng)(1)絕對(duì)穩(wěn)定性的時(shí)滯相關(guān)、時(shí)滯無關(guān)的若干充分條件；2006 年，董曉梅、趙崢嶸引用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式，對(duì)一類中立型Lurie 系統(tǒng)

進(jìn)行討論，得到系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的又一新的時(shí)滯相關(guān)準(zhǔn)則；2005年，徐炳吉、劉新芝又利用Lyapunov 泛函方法，對(duì)中立型Lurie 控制系統(tǒng)

進(jìn)行了絕對(duì)穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)條件和時(shí)滯無關(guān)條件，結(jié)果均是用線性矩陣不等式形式表示的。

其次，實(shí)際系統(tǒng)的滯后和結(jié)構(gòu)擾動(dòng)也是系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素，尤其是不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制問題倍受關(guān)注。目前，在系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析、魯棒控制器設(shè)計(jì)、魯棒性能分析等方面都獲得了大量的研究成果[1 -3]。Lurie 控制系統(tǒng)是一類非常重要的控制系統(tǒng)，其相關(guān)魯棒穩(wěn)定性研究已有大量的研究成果。

2003 年，彭達(dá)洲、胥布工針對(duì)一類具有范數(shù)不確定參數(shù)和未知常數(shù)時(shí)滯的Lurie 型不確定系統(tǒng)

其中 0 ≤τ,τ1≤Γ 為未知常時(shí)滯，建立了系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性判據(jù)，并且所得結(jié)果用LMI 形式表示，應(yīng)用Matlab LMI 工具箱迭代求解可以得到時(shí)滯的上界，從而可對(duì)系統(tǒng)的允許時(shí)滯做出較高的估計(jì)。

2004 年，李宏飛、羅學(xué)波考慮了系統(tǒng)矩陣具有可加式擾動(dòng)的不確定中立型Lurie 直接控制系統(tǒng)

并給出了基于求解線性矩陣不等式的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性條件，且這些條件是時(shí)滯相關(guān)的；同年，他們又對(duì)如下一類Lurie 間接控制系統(tǒng)

進(jìn)行了魯棒穩(wěn)定性分析，借助于Lyapunov 泛函構(gòu)造方法，給出了關(guān)于Lyapunov 泛函中正定矩陣和積分項(xiàng)參數(shù)的線性矩陣不等式的穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，且這些準(zhǔn)則是與時(shí)滯量的大小無的。

2005 年，徐炳吉、廖曉昕考慮了不確定性中立型Lurie控制系統(tǒng)并應(yīng)用Lyapunov 泛函方法，對(duì)系統(tǒng)(7)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并給出魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)充分條件。

2006 年，王海龍又討論了單時(shí)滯不確定Lurie 控制系統(tǒng)

以及多時(shí)滯多執(zhí)行機(jī)構(gòu)的Lurie 系統(tǒng)

并巧妙構(gòu)造Lyapunov 泛函，合理引用Razumikhin 定理，推導(dǎo)出系統(tǒng)在非結(jié)構(gòu)不確定性下魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件。

2 相關(guān)研究成果的推廣

1）控制項(xiàng)具有時(shí)滯的中立型Lurie 控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)

利用M-矩陣的性質(zhì)[4]，并構(gòu)造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統(tǒng)相關(guān)結(jié)論，相關(guān)證明過程相見文[2]。

2）一類一般非線性中立型Lurie 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)利用M-矩陣的性質(zhì)，并構(gòu)造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統(tǒng)零解是一致漸近穩(wěn)定的，相關(guān)證明過程相見文[2]。

3）一類不確定性中立型Lurie 控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)

利用Schur 補(bǔ)引理、S-過程方法和相關(guān)引理，并基于線性矩陣不等式處理方法給出了系統(tǒng)(12)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性的判別條件，相關(guān)證明過程相見文[3]。

3 研究目的和意義

近年來，Lurie 型控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，倍受專家學(xué)者們的關(guān)注，這是因?yàn)楹芏嗫刂葡到y(tǒng)都可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)urie 型非線性控制系統(tǒng)，因此，對(duì)此類控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析、實(shí)際設(shè)計(jì)等有著實(shí)際價(jià)值。專家學(xué)者們巧妙地引用各種有效的方法，完成了控制系統(tǒng)的分析研究、綜合設(shè)計(jì)，并得到相應(yīng)控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性及魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性的充分條件和在特殊情況下的充要條件。

然而，要么是實(shí)際現(xiàn)象過于復(fù)雜，要么是理論成果很理想化，這是目前存在的現(xiàn)狀。正如我們所研究的實(shí)際控制系統(tǒng)一樣，有待于解決的問題很多，比如：其一，時(shí)滯的存在：現(xiàn)實(shí)中的閉環(huán)控制系統(tǒng)都存在滯后，滯后現(xiàn)象常常會(huì)使系統(tǒng)的性能變差甚至可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)以及不穩(wěn)定，正因如此，專家學(xué)者們開始研究具有時(shí)滯的系統(tǒng)。目前，關(guān)于Lurie 型時(shí)滯系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。然而，無論是系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)的變化速度亦或是對(duì)系統(tǒng)實(shí)際加以控制的控制器都不僅僅依賴于當(dāng)前的信息，而且還依賴于過去的信息，于是由于在這里引入系統(tǒng)的過去狀態(tài)信息，若是此信息對(duì)滯后系統(tǒng)的影響較小，則系統(tǒng)尚可有效，若是影響較大，則原控制條件的控制效果可能不好，因此探討滯后型和中立型Lurie 系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性是有實(shí)際意義的；其二，系統(tǒng)模型的不確定性和參數(shù)攝動(dòng)：為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合，要建立起系統(tǒng)的模型，而且系統(tǒng)的綜合結(jié)果都是相對(duì)于所建立的模型而得到的。實(shí)際控制系統(tǒng)中的不確定因素、建模過程中的誤差，這些都是不可避免地存在著的，而且可能是各種各樣。因此，相對(duì)于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)來講，所導(dǎo)出的模型一般都是比較理想化的模型，但是人們?nèi)匀黄诖?，期待?shí)際的控制系統(tǒng)能夠具有一定的抗干擾能力。

進(jìn)入21 世紀(jì)后，已有的研究成果已經(jīng)遠(yuǎn)不能滿足時(shí)代的需求了。因此，進(jìn)一步探索不確定性的Lurie 系統(tǒng)，尤其是探索不確定時(shí)滯型Lurie 控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性已經(jīng)是時(shí)代需求的事情了。

[1]馬新軍，胥布工.不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性及魯棒控制研究.華南理工大學(xué)博士論文，2005.

[2]王玉紅.具有時(shí)滯的Lurie型控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性和魯棒穩(wěn)定性的研究.內(nèi)蒙古師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2007.

[3]王玉紅，包俊東.不確定性中立型Lurie控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，43(5)：1-6.

[4]George Poole，Thomas Boollon.A surrey on M-matrix，Siam Review，1974，16(4)：419-426.