白江波，熊峻江，高軍鵬，益小蘇

（1北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191；2北京航空材料研究院 先進(jìn)復(fù)合材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100095）

先進(jìn)復(fù)合材料由于具有高的比剛度和比強(qiáng)度，以及性能的可設(shè)計(jì)性，因此在減重需求迫切的航空航天領(lǐng)域正得到日益廣泛的研究和應(yīng)用[1］。紡織復(fù)合材料屬于結(jié)構(gòu)型材料，可根據(jù)工程應(yīng)用需求，對(duì)其微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)材料的宏觀性能指標(biāo)。紡織復(fù)合材料的彈性性能參數(shù)對(duì)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)非常關(guān)鍵，因此，國(guó)內(nèi)外很多研究人員開(kāi)展了這方面的工作[2－6］。王瑞等[3］利用細(xì)觀力學(xué)的代表體積元法建立了用于預(yù)測(cè)平紋織物復(fù)合材料彈性模量的解析模型，分析了細(xì)觀結(jié)構(gòu)與宏觀性能之間的關(guān)系，通過(guò)該方法預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。Xiong等[7，8］將平紋機(jī)織復(fù)合材料經(jīng)緯兩個(gè)方向彎曲的纖維束抽象為正弦曲梁模型，更加接近材料的真實(shí)構(gòu)型，基于能量法預(yù)測(cè)了拉伸和壓縮彈性模量，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。Nguyen等[9］提出了一種預(yù)測(cè)碳纖維平紋機(jī)織復(fù)合材料剪切模量的解析模型，將纖維束簡(jiǎn)化梁?jiǎn)卧?，預(yù)測(cè)了織物的初始滑移區(qū)、彈性變形范圍和剪切模量，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。李典森等[10］在四步法方型三維機(jī)織復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)單胞模型的基礎(chǔ)上，將紗線橫截簡(jiǎn)化為六邊形面，建立了實(shí)體有限元模型，預(yù)測(cè)了材料的彈性常數(shù)，并分析了編織角和纖維體積含量對(duì)彈性常數(shù)的影響規(guī)律，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。Chaphalkar等[11］基于經(jīng)典層合板理論，提出了一種預(yù)測(cè)斜紋織物復(fù)合材料的拉伸和剪切模量的解析模型，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。Kueh等[12］基于連續(xù)基爾霍夫板理論建立了單層三軸向機(jī)織復(fù)合材料的線彈性響應(yīng)模型，通過(guò)橫觀各向同性的三維梁構(gòu)建了單胞模型，利用有限元方法得到單胞的等效平板剛度矩陣（ABD矩陣），再利用剛度矩陣推算出面內(nèi)拉伸、壓縮和剪切等彈性性能，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，二者吻合良好。Aoki等[13］采用與 Kueh等[12］類(lèi)似的方法，基于有限元分析基礎(chǔ)上建立了三軸向機(jī)織復(fù)合材料的半解析模型，區(qū)別在于Aoki等通過(guò)實(shí)體單元建模，預(yù)測(cè)了三點(diǎn)彎曲和純彎曲的彈性性能，以及熱膨脹系數(shù)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。Kueh等[14］進(jìn)一步提出了三軸向機(jī)織復(fù)合材料超彈性應(yīng)變能密度函數(shù)公式，該能量函數(shù)由基體、纖維束和相互作用三部分組成，表現(xiàn)出非線性的應(yīng)力－應(yīng)變響應(yīng)，并且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果吻合良好。Zhao等[15］采用有限元和實(shí)驗(yàn)方法研究了三軸向機(jī)織復(fù)合材料承受單一拉伸載荷的漸進(jìn)失效過(guò)程，分別采用最大應(yīng)力準(zhǔn)則、霍夫曼準(zhǔn)則和蔡－吳準(zhǔn)則預(yù)測(cè)了失效過(guò)程，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。

從以上論述可知，已有文獻(xiàn)針對(duì)紡織復(fù)合材料彈性性能開(kāi)展了解析、有限元和實(shí)驗(yàn)方法的研究。其中三軸向機(jī)織復(fù)合材料，由于由三個(gè)方向（0°，60°和120°）纖維束編織而成，可通過(guò)樹(shù)脂預(yù)浸并固化，形成具有一定剛度的二維單層機(jī)織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，因此，這種結(jié)構(gòu)在宏觀尺度上的力學(xué)性能表現(xiàn)為準(zhǔn)各向同性，所以在超低面密度復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中有很大的應(yīng)用潛力。本工作對(duì)三軸向機(jī)織復(fù)合材料首先進(jìn)行了幾何構(gòu)型分析，在此基礎(chǔ)上建立了拉伸／壓縮和剪切的有限元分析模型，將有限元預(yù)測(cè)的結(jié)果與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果吻合良好，證明了模型的有效性，并且進(jìn)一步研究了間隙率對(duì)三軸向機(jī)織復(fù)合材料彈性性能的影響，可為三軸向機(jī)織復(fù)合材料在工程應(yīng)用中的超輕量化設(shè)計(jì)提供參考。

1 幾何構(gòu)型及基本參數(shù)

三軸向機(jī)織復(fù)合材料是由三個(gè)方向的纖維束編織而成。為便于對(duì)比分析和保證基本材料參數(shù)的可靠性，本工作分析時(shí)使用纖維束材料及其參數(shù)和幾何構(gòu)型形式與Kueh等[12］的研究報(bào)告一致，如表1和表2所示。所有模型中絲束的寬度不變，即0.9mm，絲束的厚度為h。取出一個(gè)單胞（如圖1所示），單胞邊長(zhǎng)分別為a和b，由中性軸組成的正六邊形（虛線部分）特征邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，通過(guò)幾何關(guān)系可知：

三軸向機(jī)織復(fù)合材料的間隙率k定義為單胞間隙面積比單胞總面積，可表示為

將式（3）代入式（2），可得

一個(gè)單胞的纖維面密度為

表1 纖維與基體材料性能Table 1 Fibre and matrix properties

表2 纖維束材料性能Table 2 Tow material properties

圖1 三軸向機(jī)織復(fù)合材料幾何構(gòu)型及單胞幾何參數(shù)Fig.1 Geometry construction and basic parameters of TWF composites

將式（5）進(jìn)一步整理，可得

將式（4）代入式（6），得

式（4）和式（7）建立了三軸向機(jī)織復(fù)合材料單胞中性軸組成的正六邊形特征邊長(zhǎng)L和面密度ρA與間隙率k之間的關(guān)系，在不同纖維束厚度下的關(guān)系如圖2厚度時(shí)面密度與間隙率之間的關(guān)系，同時(shí)需要指出當(dāng)絲束寬度一定，最小間隙率極限值為1／3，即間隙率的取值范圍為k∈（1／3，1），這是由三軸向機(jī)織復(fù)合材料的幾何構(gòu)型決定的。

圖2 面密度ρA與邊長(zhǎng)L隨間隙率k的變化Fig.2 Surface densityρAand feature length Lwith increase of gap ratio k

2 計(jì)算模型及有效性驗(yàn)證

2.1 計(jì)算模型

在前面的幾何構(gòu)型的基礎(chǔ)之上，采用有限元方法研究了間隙率改變時(shí)對(duì)三軸向機(jī)織復(fù)合材料的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比等面內(nèi)彈性性能和比剛度的影響，采用商用軟件ANSYS中的實(shí)體單元進(jìn)行建模和分析。

為了盡可能減少邊界條件對(duì)分析結(jié)果的影響，所有分析模型均采用三胞模型（如圖3所示）。對(duì)于0°拉伸／壓縮模型（如圖3（a）所示）：約束端約束x向自由度，并且在約束端選擇一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)約束所有自由度；在加載端施加位移載荷ux；計(jì)算分析后可得到約束端的支反力合力Fx及y向位移uy。0°拉伸／壓縮剛度和泊松比可表示為

式（8）中為區(qū)別拉伸和壓縮剛度，Stx和Scx分別表示拉伸和壓縮剛度；比剛度只需用相應(yīng)剛度除以面密度即可。

對(duì)于90°拉伸／壓縮模型（如圖3（b）所示）：約束端約束y向自由度，并且在約束端選擇一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)約束所有自由度；在加載端施加位移載荷uy；計(jì)算分析后可得到約束端的支反力合力Fy及x向位移ux。90°拉伸／壓縮剛度表示為

式（9）中為區(qū)別拉伸和壓縮剛度，Sty和Scy分別表示拉伸和壓縮剛度；比剛度只需用相應(yīng)剛度除以面密度即可。

圖3 有限元模型 （a）拉伸模型；（b）壓縮模型；（c）剪切模型Fig.3 FEA models （a）tension／compression model of 0°direction；（b）tension／compression model of 90°direction；（c）tear model

對(duì)于剪切模型（如圖3（c）所示）：約束端約束全部自由度，加載端（三個(gè)端面）先分別進(jìn)行節(jié)點(diǎn)耦合，形成剛性端面，在大加載端面約束所有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和z向自由度并在中心耦合節(jié)點(diǎn)施加一個(gè)y向力Ty，在兩個(gè)小端面分別施加一對(duì)相反的x向力Tx，可形成剪切受力狀態(tài)，根據(jù)力矩平衡可得

將式（1）代入式（10）中，可得

計(jì)算分析后可得到大加載端在y向位移uy，剪切應(yīng)變可近似表示為

剪切剛度可表示為

將式（12）代入式（13）中，可得

2.2 有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述模型的有效性，根據(jù)Kueh等[12］的研究報(bào)告幾何參數(shù)（纖維束寬度為0.9mm，厚度為0.07mm；纖維束之間搭接比較致密，三角形間隙非常?。┖筒牧蠀?shù)（如表1和表2所示）建模，并且與他們實(shí)驗(yàn)測(cè)定的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。由于三軸向機(jī)織復(fù)合材料一定會(huì)存在三角形的間隙（如圖4所示），只有當(dāng)完全沒(méi)有三角形的間隙時(shí)它的間隙率k才為1／3，但實(shí)際情況下這是不可能的，所以建模時(shí)將k取0.34來(lái)進(jìn)行近似。各剛度分析模型的變形位移云圖如圖5所示，有限元分析結(jié)果與Kueh等[12］的研究報(bào)告的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比情況如表3所示，由表3可知，有限元分析與實(shí)驗(yàn)吻合的很好，證明前面建立的分析模型是有效的。

圖4 三軸向機(jī)織復(fù)合材料三胞模型Fig.4 Three representative unit cell model of TWF

表3 預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Predicted and measured results

3 間隙率對(duì)彈性性能的影響

在前面2.2節(jié)證明了分析模型的有效性之后，下面進(jìn)一步分析三軸向機(jī)織復(fù)合材料的面內(nèi)剛度隨間隙率的變化。仍然使用Kueh等[12］的研究報(bào)告中的材料參數(shù)，纖維束寬度固定為0.9mm，厚度固定為0.06mm。圖7至圖12給出了0°和90°方向拉伸／壓縮剛度、剪切剛度和泊松比以及比剛度隨間隙率k的變化，圖6給出了當(dāng)h＝0.06，k＝0.5時(shí)，各剛度分析模型的變形位移云圖，可知：（1）0°方向拉伸剛度和壓縮剛度相等，90°方向拉伸剛度和壓縮剛度也相等；（2）0°和90°方向拉伸／壓縮剛度以及剪切剛度隨k的增加而減小，泊松比隨k的增加略微增加（幾乎不變）；（3）0°方向比拉伸／壓縮剛度隨k的增加而略微增加，90°方向比拉伸／壓縮剛度隨k的增加而略微減小，比剪切剛度隨k的增加幾乎不變。

圖5 當(dāng)h＝0.07且k＝0.34時(shí)各剛度分析模型的變形位移云圖（a）0°方向拉伸變形；（b）0°方向壓縮變形；（c）90°方向拉伸變形；（d）90°方向壓縮變形；（e）剪切變形Fig.5 Deformation distribution of stiffness analysis models with h＝0.07and k＝0.34（a）tension deformation of 0°diretion；（b）compression deformation of 0°diretion；（c）tension deformation of 90°diretion；（d）compression deformation of 90°diretion；（e）tear deformation

圖6 當(dāng)h＝0.06且k＝0.5時(shí)各剛度分析模型的變形位移云圖（a）0°方向拉伸變形；（b）0°方向壓縮變形；（c）90°方向拉伸變形；（d）90°方向壓縮變形；（e）剪切變形Fig.6 Deformation distribution of stiffness analysis models with h＝0.06and k＝0.5（a）tension deformation of 0°direction；（b）compression deformation of 0°direction；（c）tension deformation of 90°direction；（d）compression deformation of 90°direction；（e）tear deformation

圖7 0°方向拉伸剛度St x與比剛度St x／ρA隨間隙率k的變化Fig.7 Tension stiffness of 0°direction St xand specific stiffness St x／ρAwith increase of gap ratio k

圖8 0°方向壓縮剛度Scx與比剛度Scx／ρA隨間隙率k的變化Fig.8 Compression stiffness of 0°direction Scxand specific stiffness Scx／ρAwith increase of gap ratio k

圖9 90°方向拉伸剛度Sty與比剛度Sty／ρA隨間隙率k的變化Fig.9 Tension stiffness of 90°direction Styand specific stiffness Sty／ρAwith increase of gap ratio k

圖10 90°方向壓縮剛度Scy與比剛度Scy／ρA隨間隙率k的變化Fig.10 Compression stiffness of 90°direction Scyand specific stiffness Scy／ρAwith increase of gap ratio k

圖11 剪切剛度Sxy與比剛度Sxy／ρA隨間隙率k的變化Fig.11 Tear stiffness Sxyand specific stiffness Sxy／ρAwith increase of gap ratio k

圖12 泊松比νxy隨間隙率k的變化Fig.12 Poisson′s ratioνxywith increase of gap ratio k

4 結(jié)論

（1）根據(jù)三軸向機(jī)織復(fù)合材料幾何構(gòu)型，建立了三軸向機(jī)織復(fù)合材料的面密度和單胞特征邊長(zhǎng)與間隙率之間的關(guān)系。

（2）建立了三軸向機(jī)織復(fù)合材料拉伸、壓縮和剪切的有限元計(jì)算模型，并將預(yù)測(cè)的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，吻合良好。

（3）分析了間隙率改變時(shí)對(duì)三軸向機(jī)織復(fù)合材料的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比和比剛度的影響，發(fā)現(xiàn)剛度隨間隙率的增加而顯著下降，而比剛度和泊松比隨間隙率的增加變化較小。

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