方奕忠,王 鋼,沈 韓,崔新圖,廖德駒,馮饒慧
(中山大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州510275)
克拉尼圖形是物理演示實驗中的重要課題,常被作為大學(xué)預(yù)備性物理實驗的教學(xué)內(nèi)容[1],類似的振動問題也常見報道[2].對于長方形(或正方形)薄板的克拉尼圖形的研究,之前主要集中在低頻段(f<1kHz)[3],文獻上未見高頻段的報道.本實驗將在高頻段從實驗和理論兩方面研究克拉尼圖形,討論振動源在方形板角落或任意點時的振動情形,并將實驗值與理論解進行對比.
考慮如圖1所示的二維長方形薄銅板,假定其質(zhì)量分布均勻,厚度為2h(h很小),邊長分別為a和b.在銅板的一角(設(shè)為原點O)有一振動點源,以某一固定圓頻率ω0=2πf垂直于銅板面作簡諧振動.下面考慮其振動問題,求出共振發(fā)生時的簡正模式[4],并與實驗測出的克拉尼圖形比較.
圖1 二維平板振動原理
假定水平放置的薄銅板的質(zhì)量體密度為ρ,彈性模量為Q,由彈性力學(xué)或理論聲學(xué)[5]知識可知,若設(shè)其豎直方向小振動的傳播速度(相速)為u,(x,y)點處(0<x<a,0<y<b)在t時刻的振動位移(撓度)為η(x,y,t)(取靜止時的位移為零),則η滿足以下方程:
其中▽4=▽2▽2,▽2為 Laplace算符,1/c2=3ρ(1-s2)/(Qh2).s是泊松比,對大多數(shù)材料,s約為0.25~0.33.類似參考文獻[5],為了研究板的簡諧振動,令η=Z(x,y)e-iωt,Z的微分方程可寫為
所以Z可以是方程
或
的解,通常應(yīng)該是兩者的線形組合,此時γ相當(dāng)于簡諧波的波矢k.設(shè)邊界為自由邊界,在薄板很薄,振動很小,板所受的重力可忽略的情況下,邊界上的彎矩、扭矩及豎直方向剪力均為0,此時邊條件為[6]
考慮無初值問題,點O(0,0)處振源滿足
對Z分離變量,令Z=X(x)Y(y),設(shè)式(3)的解為Z1,式(4)的解為Z2,則Z=Z1+Z2,其中
同理,D1,D2及ky也滿足類似的方程,只需將式中的a改為b.先考慮kx,由(9)式得
令β=kxa/π,把容許的β由小到大排列,有β1=1.505 6,β2=2.499 7,β3=3.500 0,….由此可知,當(dāng)n>2時,βn≈n+,有kxna=πβn.同理,令kymb=πβm,則當(dāng)m=n時,有βm=βn.若令an=cm=,bn=B1,dm=,可以證明,當(dāng)n>2,m>2時,有
其中
下面只考慮φn(x),后面可對φm(y)作類似處理.式(12)中
當(dāng)n>2時,有
通過數(shù)值計算,如n=2時,φ2(x)的節(jié)點為
n=3時,φ3(x)的節(jié)點為
由文獻[5]知,φn(x)的節(jié)點數(shù)為n+1,注意節(jié)點的分布關(guān)于過薄板中心點且與y軸平行的直線對稱.對y方向的分析也完全類似,將式(16)中的a改為b,n改為m,x改為y,可得m>2時,有
于是得到方程(1)在自由邊條件(5)下的解的簡正模式為
通解為(18)式的線性組合.由此可看到,當(dāng)
時,可得到一系列的簡正振動:
故有k=ω0/u=γ.此時φnm(x,y)=0的位置就是共振駐波波節(jié)線的位置.注意
有波速
c見式(1),為常量.由式(22)知,薄板為頻散媒質(zhì),波速(即相速)隨頻率f變化而變化.對方形板,a=b,波速可表示為
于是可在實驗上分別數(shù)出x,y方向某一頻率f下共振時的克尼拉圖形中的波節(jié)數(shù)n+1,m+1,代入式(22)或式(23),即可求出波速u.
實驗選取a=b=200mm,厚度2h=1mm的黃銅板,振動源采用壓電陶瓷蜂鳴片.結(jié)果如表1所示.x方向的波節(jié)數(shù)為n+1,y方向的波節(jié)數(shù)m+1.可見,在各種頻率下,測出常量c的平均值為0.985m2/s.銅板的質(zhì)量體密度ρ=8.10×103kg/m3,注意對于黃銅,s=0.324,由 Q=3ˉc2ρ(1-s2)/h2可求出薄銅板的彈性模量為Q=8.44×1010kg/(m·s2).進一步求出|cmaxcmin|/ˉc=0.112,可見,c比較穩(wěn)定,與理論比較符合.實驗上還可以與其他測量彈性模量的方法[7-8]進行比較,在此暫不討論.
表1 xy方向波節(jié)數(shù)不同時的波速
由于銅板為正方形,a=b=200mm,由對稱性,若仔細(xì)調(diào)節(jié)振動源的頻率,可使x,y方向的波節(jié)數(shù)相等,即n+1=m+1=l+1,式(23)可簡化為
相應(yīng)的實驗結(jié)果如表2所示,與理論也比較符合.
表2 xy方向波節(jié)數(shù)相同時的波速
以上是振動源在角落O(0,0)的情形.對振動源在銅板的任何位置O′(a1,b1)(0<a1<a,0<b1<b)的情形,類似前面,同樣可以求解出其簡正模式為:
存在振動源O′(a1,b1)時,需滿足
當(dāng)
時,仍有一系列的簡正振動
此時將發(fā)生共振,在xy平面上也可產(chǎn)生二維駐波波形,即克拉尼圖形.對比式(28)和式(20)可知,不論振源在平板上的哪個位置,只要頻率不變,克拉尼圖形的波節(jié)(或波幅)的位置都相同,只是振幅發(fā)生改變.振幅需滿足
其他如波矢k、波速u等均不變.
實驗觀測克拉尼圖形,振源難以嚴(yán)格放在a1=0,b1=0的位置,故實際上都是a1≠0,b1≠0.實驗裝置如圖2所示,左邊為有一支撐桿支撐的薄黃銅板,支撐桿靠近左下角,板上灑有白色細(xì)沙,板的底面中心附近貼有蜂鳴片,蜂鳴片通過導(dǎo)線與右邊的DDC函數(shù)信號發(fā)生器的信號輸出端相連.圖3所示為實測的n+1=15,m+1=10的二維駐波圖,對應(yīng)頻率為12.038kHz.圖4為由式(20)得出的數(shù)值模擬圖,兩者符合得很好.其中顏色越淺表示振幅越小,顏色越深振幅越大.振幅為零代表波節(jié)的位置,即圖3中細(xì)沙集中的位置.由于共振時駐波的波節(jié)位置不變,仍可應(yīng)用式(18)~(23),讀出x,y方向的波節(jié)數(shù)n+1,m+1,即可算出波矢k,從而求出波速u及彈性模量Q等物理量.
圖2 實驗裝置圖
圖3 n+1=15,m+1=10時的二維駐波圖
圖4 n+1=15,m+1=10時的數(shù)值模擬圖
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