李書亮 劉成龍 鄭子天

(1.港珠澳大橋管理局，廣東珠海 519015;2.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都 610031;3.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

軌道幾何形位［1］是指軌道各部分的幾何形狀、相對(duì)位置和基本尺寸，包括軌距、水平、軌向以及外軌超高等。軌道的幾何形位與機(jī)車車輛輪對(duì)的幾何尺寸必須密切配合，因而軌道幾何形位的控制對(duì)于保證列車運(yùn)行安全至關(guān)重要。隨著鐵路列車提速及高速鐵路技術(shù)的廣泛應(yīng)用，為保持高速列車運(yùn)行的平穩(wěn)性和舒適性，必須對(duì)軌道的幾何形位實(shí)行嚴(yán)格控制。

實(shí)際線路設(shè)計(jì)過程中，軌道幾何形位與設(shè)計(jì)里程相對(duì)應(yīng)。在軌道幾何形位的檢測(cè)過程中，實(shí)測(cè)軌道上某點(diǎn)的幾何形位，如果能夠得到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中線里程，便可得到該點(diǎn)設(shè)計(jì)的幾何形位，之后計(jì)算實(shí)測(cè)幾何形位與設(shè)計(jì)幾何形位之間的差值，這些差值是軌道靜態(tài)幾何形位檢測(cè)的主要指標(biāo)。因此，精確計(jì)算軌道測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線路中線里程，是實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道靜態(tài)幾何形位進(jìn)行檢測(cè)的前提條件。

目前，國(guó)內(nèi)只有少數(shù)文獻(xiàn)介紹軌道點(diǎn)實(shí)測(cè)坐標(biāo)與其線路里程之間函數(shù)關(guān)系模型的建立方法［2-3］，文獻(xiàn)資料［3］利用二次函數(shù)的極大極小值定理推導(dǎo)出軌道點(diǎn)坐標(biāo)與其線路里程之間嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型，并可用程序自動(dòng)計(jì)算。本文則利用平面線形函數(shù)上任一點(diǎn)處切線斜率與其法線斜率之積為常數(shù)的特性，推導(dǎo)出了軌道點(diǎn)坐標(biāo)與其線路里程之間嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型，并利用某高速鐵路平面線形的設(shè)計(jì)參數(shù)和軌道點(diǎn)坐標(biāo)，編寫程序自動(dòng)計(jì)算其線路里程。

1 軌道點(diǎn)里程計(jì)算模型

軌道的平面線形一般包括直線、緩和曲線和圓曲線［1］，為了實(shí)現(xiàn)計(jì)算軌道測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中線里程，首先要判斷軌道測(cè)點(diǎn)所在的線形。

1.1 判斷軌道點(diǎn)所在位置

軌道點(diǎn)里程是指軌道點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的到設(shè)計(jì)線路中線上最近點(diǎn)的里程［3］。如圖1所示，點(diǎn)P為線路五大樁點(diǎn)(或者直線點(diǎn))，→PX為線路前進(jìn)方向，點(diǎn)O為在軌道控制網(wǎng)CPⅢ下實(shí)測(cè)的任意軌道點(diǎn)，點(diǎn)B為設(shè)計(jì)線路中線上距離點(diǎn)O最近的點(diǎn)，α為直線間的夾角。根據(jù)里程的定義，點(diǎn)B的里程即為軌道點(diǎn)O的里程。

通過五大樁點(diǎn)P(或直線點(diǎn)P，其坐標(biāo)可通過設(shè)計(jì)文件得到)與點(diǎn)O(通過實(shí)測(cè)得到其坐標(biāo))之間的坐標(biāo)關(guān)系，可以計(jì)算PO的距離和α，根據(jù)最短距離原則，可定位距離點(diǎn)O最近的五大樁點(diǎn)P(或直線點(diǎn)P)。再根據(jù)α的取值可以判斷點(diǎn)O是在點(diǎn)P的里程增加方向還是減小方向，即可判斷軌道點(diǎn)所在的線形。具體判斷方法如下:

圖1 軌道點(diǎn)與其在中線上投影點(diǎn)間關(guān)系

①若α＞90°，點(diǎn)B位于點(diǎn)P里程減小方向，并標(biāo)記定位因子fq=－1;

②若α=90°，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的里程即為軌道點(diǎn)O的里程;

③若α＜90°，點(diǎn)B位于點(diǎn)P里程增加方向，并標(biāo)記fq=1。

根據(jù)上述計(jì)算和點(diǎn)P屬性(直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、圓緩點(diǎn)等)，可以判斷點(diǎn)B所處位置的線路線形。例如，當(dāng)點(diǎn)P的屬性為緩圓點(diǎn)并且α＞90°，那么點(diǎn)B就位于第一緩和曲線段上。

1.2 軌道點(diǎn)里程計(jì)算原理

如圖1所示，假設(shè)過點(diǎn)P(xp，yp)和B(xB，yB)直線的線形函數(shù)為 f(x，y)，當(dāng)點(diǎn) O(xO，yO)到函數(shù) f(x，y)有最近點(diǎn)B時(shí)，一定滿足以下條件

式(1)中，kPB=

即過點(diǎn)B的切線斜率與其法線斜率的乘積為－1。

由于軌道點(diǎn)O和五大樁點(diǎn)P坐標(biāo)已知，通過式(1)可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)一步可以計(jì)算得到點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離，再根據(jù)點(diǎn)P的已知里程，可以得到點(diǎn)B的里程，也就是軌道點(diǎn)O的里程。下面將按此思路計(jì)算軌道點(diǎn)里程的方法稱為“斜率法”。

1.3 軌道點(diǎn)里程計(jì)算方法

線路平面線形主要由直線段、圓曲線段和緩和曲線段組成，以下分別就這三種線形介紹斜率法計(jì)算軌道點(diǎn)里程的詳細(xì)方法。

(1)點(diǎn)B位于直線段上

若點(diǎn)B所在的線段為直線段，則函數(shù)f(x，y)可以表示為

把式(2)代入式(1)，有

因?yàn)辄c(diǎn)B(xB，yB)是直線方程f(x，y)上的點(diǎn)，因此有:

聯(lián)立式(3)與式(4)求解

求出B點(diǎn)的坐標(biāo)后，可以按照下式計(jì)算BP的距離dBP

則直線段上點(diǎn)B的里程LB為點(diǎn)P的里程LP與fq×dBP之和，即

(2)點(diǎn)B位于圓曲線段上

若點(diǎn)B所在的線段是圓曲線段，則首先建立以緩圓點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)和過緩圓點(diǎn)切線為X軸的圓曲線獨(dú)立坐標(biāo)系，圓曲線函數(shù)f(x，y)的參數(shù)方程可以表示為

把點(diǎn)O(xO，yO)的坐標(biāo)通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法旋轉(zhuǎn)到圓曲線坐標(biāo)系，然后將式(8)代入式(1)，有

則

把式(10)代入式(8)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，同時(shí)有

則圓曲線段上點(diǎn)B的里程LB為點(diǎn)P的里程LP與fq× l之和［4］，即

(3)點(diǎn)B位于緩和曲線段上

若點(diǎn)B所在的線段是緩和曲線段，則首先建立以緩直點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)和過緩直點(diǎn)切線為X軸的緩和曲線獨(dú)立坐標(biāo)系，緩和曲線函數(shù)f(x，y)的高次項(xiàng)參數(shù)方程［5－6］可以表示為

式(13)中，l為曲線長(zhǎng)，l0為緩和曲線長(zhǎng)度。

同樣的道理，把點(diǎn)O(xO，yO)的坐標(biāo)通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法旋轉(zhuǎn)到緩和曲線坐標(biāo)系，然后將式(13)代入式(1)有

將式(14)化簡(jiǎn)并忽略l的高次項(xiàng)后有

式(15)中，(xO，yO)為軌道點(diǎn)在緩和曲線獨(dú)立坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，可通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到［7］。

式(15)可以采用簡(jiǎn)單迭代、Newton法與弦截法等方法求解［8-9］。當(dāng)|li+1－li|＜ ξ，即第 i+1 與 i的差值小于給定的限差時(shí)，停止迭代;把得到的l代入式(16)即可以得到緩和曲線段上點(diǎn)B的里程LB為點(diǎn)P的里程LP與fq×l之和。

2 實(shí)際應(yīng)用

依據(jù)推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型與算法，編制了相應(yīng)的軌道實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中線里程計(jì)算程序［10］。程序在讀取設(shè)計(jì)文件(如表1所示)后，通過輸入線路附近任意軌道點(diǎn)的坐標(biāo)，就能夠計(jì)算出線路中線上距離其最近的點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)及其里程。

表1 某高速鐵路部分曲線設(shè)計(jì)要素

將表1的數(shù)據(jù)還原成線路圖，在線路圖上任取一點(diǎn)并過該點(diǎn)作線路的垂線，即可獲得垂點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)，將垂點(diǎn)的理論坐標(biāo)與計(jì)算出的坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比(如表2所示)。

表2 垂點(diǎn)計(jì)算設(shè)計(jì)坐標(biāo)與計(jì)算坐標(biāo)對(duì)比分析

表2的結(jié)果說明，垂點(diǎn)計(jì)算值與垂點(diǎn)設(shè)計(jì)值基本一致，也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。有了垂點(diǎn)準(zhǔn)確的坐標(biāo)，就可以進(jìn)一步計(jì)算垂點(diǎn)的里程。

3 結(jié)論

(1)利用平面線形函數(shù)上任一點(diǎn)處切線斜率與其法線斜率積為常數(shù)求取里程的方法在數(shù)學(xué)理論上是嚴(yán)密的，且在直線段和圓曲線段上尋找的最近點(diǎn)直接就是理論解，無需迭代計(jì)算;在緩和曲線段上，僅需要少量迭代就可以尋找到最優(yōu)數(shù)值解。

(2)利用點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)與點(diǎn)之間的方位和線路走向的角度等幾何關(guān)系判斷目標(biāo)點(diǎn)在線路上的位置，避免了人為判斷與迭代求解的多值性問題。

(3)本文提出的里程計(jì)算方法簡(jiǎn)單有效，有利于編制程序?qū)崿F(xiàn)，給高速鐵路軌道測(cè)量生產(chǎn)帶來較大便利。

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