晨旭

突出邏輯推理 加強應(yīng)用能力考查
——2014年全國高考數(shù)學(xué)試題評析

晨旭

2014年高考數(shù)學(xué)試題以能力立意，穩(wěn)中有新，體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，體現(xiàn)了科學(xué)性、規(guī)范性和基礎(chǔ)性的特點。試卷體現(xiàn)高考改革的方向，突出邏輯思維能力，重視考查考生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，準(zhǔn)確區(qū)分考生，有利于科學(xué)選拔人才，有利于學(xué)生健康成長，有利于促進社會公平。

高考；數(shù)學(xué)試題；能力考查

2014年高考數(shù)學(xué)試卷遵循考試大綱的各項規(guī)定，試卷在總體結(jié)構(gòu)、難易分布、考查內(nèi)容等方面保持相對穩(wěn)定。試題以能力立意，穩(wěn)中有新，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，體現(xiàn)了科學(xué)性、規(guī)范性、基礎(chǔ)性、公平性、選擇性、選拔性的特點。試題對提高學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用價值和文化價值的認識、促進學(xué)生理性思維習(xí)慣的養(yǎng)成，以及未來人生規(guī)劃所必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都發(fā)揮了積極的作用。

試卷從學(xué)科整體視角和思維價值高度命題，體現(xiàn)高考改革的方向，突出邏輯思維能力，重視考查考生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，準(zhǔn)確區(qū)分考生，有利于科學(xué)選拔人才，有利于學(xué)生健康成長，有利于促進社會公平。

1 注重基礎(chǔ)性，突出邏輯推理能力

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的重要途徑。數(shù)學(xué)科所蘊含的邏輯思維、所教授的推理方法、所訓(xùn)練的分析能力，都是在個人的發(fā)展過程和認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中必不可少的。這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用。

數(shù)學(xué)科考試?yán)脤W(xué)科特點，深入考查邏輯推理能力。2014年高考數(shù)學(xué)把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，運用數(shù)學(xué)知識作為載體，考查邏輯推理能力的題目占到50%以上。

2014年考試中心進行了題型創(chuàng)新設(shè)計的專題研究，開發(fā)了考查邏輯推理能力的邏輯試題，從東部、中部、西部省份中各選取一省進行試測，每個省抽取省重點、市重點和一般學(xué)校的高三學(xué)生進行試測。測試結(jié)果表明，邏輯題更能有效考查邏輯思維能力?？己蟮淖剷希瑢W(xué)生認為邏輯題比較有趣，非常喜歡。試題不依賴具體的數(shù)學(xué)知識，面向全體考生，體現(xiàn)公平。教師認為這類試題能較好的考查邏輯思維能力，可以在今后的高考中引進。

為深入考查邏輯推理能力，2014年高考數(shù)學(xué)試卷首次出現(xiàn)邏輯題，選取三位同學(xué)討論城市旅游的生活化場景，通過甲、乙、丙三位同學(xué)的對話，給出有關(guān)信息，要求考生從文字敘述（對話）中精確抽取有用信息，利用其中的邏輯關(guān)系，通過嚴(yán)密的邏輯推理，最終作出正確判斷，體現(xiàn)了高考的改革方向。

例1：甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為______.

高考后考生和教師對邏輯試題反應(yīng)熱烈，認為此類試題融邏輯問題于生動的對話情境中，有效地考查了學(xué)生的邏輯推理與判斷能力。試題新穎生動，語言通俗易懂，貼近生活，具有實際意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活的思想。試題有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對在中學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生解決實際問題的能力等方面有著很好的引導(dǎo)作用，體現(xiàn)了新課標(biāo)注重從實踐中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重自主學(xué)習(xí)，注重理論和實際相結(jié)合的教學(xué)理念。

2 增強實踐性，加強創(chuàng)新應(yīng)用意識考查

數(shù)學(xué)源于生活與實踐，數(shù)學(xué)知識是解決實際問題的有力工具，數(shù)學(xué)能力是一個公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高考中的創(chuàng)新應(yīng)用能力要求考生能結(jié)合日常生活、其他學(xué)科、學(xué)習(xí)實踐中的素材，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法，獨立思考、探索和研究，分析問題和解決問題。

關(guān)注現(xiàn)實社會熱點問題是2014年高考數(shù)學(xué)的試題的一個重要特點，通過解決社會熱點問題考查應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和方法解決實際問題的能力。高考試題緊密結(jié)合社會實際和考生的現(xiàn)實生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的巨大作用和應(yīng)用價值，體現(xiàn)了高考改革中加強應(yīng)用性、實踐性的特點。

2014年全國卷以“空氣質(zhì)量”這一社會熱點為背景命制：根據(jù)以往資料，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，如果知道今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少？要求考生應(yīng)用統(tǒng)計與概率的方法對明天的天氣進行預(yù)測，使考生領(lǐng)會統(tǒng)計與概率的應(yīng)用價值。

拓寬試題素材來源，廣泛涉及社會生活的諸多方面。2014年數(shù)學(xué)試題涉及農(nóng)村居民家庭人均純收入、參加公益活動、產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)等背景。這些試題接地氣，貼近考生的生活，讓考生深深感受到數(shù)學(xué)活生生，就在他們的身邊，生活中充滿了數(shù)學(xué)氣息。

例2：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為

試題考查概率的基本知識和基本方法，考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法分析實際問題，并解決問題的能力。引導(dǎo)考生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

例3：某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表1所示：

表1

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

試題以農(nóng)村居民家庭人均純收入這一重要社會經(jīng)濟指標(biāo)為載體，給出某地區(qū)2007年至2013年的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生建立線性回歸方程，達到考查學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)建立線性回歸方程的能力的目的，同時考查學(xué)生對回歸直線斜率的實際意義的理解。試題命制源于實際，貼近生活，理論聯(lián)系實際，使考生領(lǐng)會統(tǒng)計與概率的應(yīng)用價值。

3 提高綜合性，考查數(shù)學(xué)通用方法

數(shù)學(xué)命題的一個重要特點就是加強試題的綜合性，注重數(shù)學(xué)通用方法的考查，摒棄特殊的解題技巧。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會生活中。高考中考查的通用方法既包括具體的數(shù)學(xué)方法如數(shù)學(xué)歸納法、配方法、待定系數(shù)法、換元法、同一法等，還包括邏輯學(xué)的方法如分析法、綜合法、歸納法、演繹法、反證法、窮舉法等。這些方法在解決問題中發(fā)揮著重要的作用。

高考命題時以一道題為載體，呈現(xiàn)給考生的是一類題，通過做這道題讓考生掌握解決這一類問題的通用方法，從而能舉一反三，解決類似的很多新問題。如2014課標(biāo)甲卷文科的概率統(tǒng)計題，表象是有關(guān)甲、乙兩部門的中位數(shù)和概率的計算，實則想讓考生掌握如下的數(shù)學(xué)思維：面對個體較多的總體的估計問題，第一步先用合理的抽樣方法獲取樣本，第二步估計樣本的特征，最后依此來估計總體，做出預(yù)測。

深入考查思維的靈活性是試題的另一個突出表征。高考試題在命制時充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個體差異，絕大多數(shù)試題的解答方法、方式不是唯一，而是多種多樣?；A(chǔ)好、能力強的考生可以通過深入的思考找到簡捷的途徑，快速解決問題，而基礎(chǔ)一般、能力中等的考生運用基本的方法也能解決問題，只是作答比較繁瑣、用時較多。如不少選擇題只需動筆畫一畫，稍加估計，排除錯誤選項就能做出正確選擇；解答題大都有多種解法。通過這樣的設(shè)計，為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建思維平臺，同時為優(yōu)秀的考生靈活運用數(shù)學(xué)知識、思想方法解決問題提供了施展才華的廣闊空間。

例4：已知A，B，C為圓O上的三點，若，則與的夾角為______.

本題結(jié)合圓的知識考查向量的概念和幾何意義，考查考生熟練運用平面向量基本定理，用定義計算向量和、數(shù)量積，并結(jié)合平面幾何知識求向量夾角的能力；同時也可以考查考生利用坐標(biāo)法計算向量和、數(shù)量積并求向量夾角的能力。試題使數(shù)和形有機結(jié)合，解題方法靈活多樣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的通性通法，特別是數(shù)形結(jié)合的思想方法。

又由A，B為圓O上的點，可知，即

思路4.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以為x軸正方向，為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系.則A（1,0）.

設(shè)B（x1,y1），C（x2,y2），則，

因此x2=-x1，y2=-y1，即圓心O為線段BC的中點，BC為圓O的直徑.

4 體現(xiàn)選拔性，發(fā)揮區(qū)分功能

高考的主要目的是服務(wù)不同層次的高校選拔新生。數(shù)學(xué)科考試具有結(jié)果客觀、評分誤差小的特點，能有效區(qū)分不同層次考生的能力水平。2014年數(shù)學(xué)命題的基本指導(dǎo)思想是合理調(diào)整試題難度，發(fā)揮區(qū)分功能。

高考試題并不是越難越好，而是要根據(jù)考生的水平，設(shè)置合理的難度。近年來，考生占同齡人比例不斷增長，考生相對人數(shù)不斷增加，造成了考生群體水平的變化。數(shù)學(xué)科高考根據(jù)這種趨勢，適度把握試卷整體難度，使試題水平與考生水平達到相對的平衡，合理區(qū)分不同層次的考生，為高校錄取新生提供了有效的數(shù)學(xué)成績。

設(shè)置多層次難度的試題。2014年數(shù)學(xué)試題設(shè)置了各種難度的試題，易、中、難三種試題的比例為3∶5∶2。并且試題由易到難排列，有利于穩(wěn)定考生心態(tài)，促進考生發(fā)揮正常水平。試卷中各種題型相互配合，全面考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。各種題型相互配合，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。選擇題主要考查構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，以考生最熟悉的知識為載體來呈現(xiàn)，體現(xiàn)面向全體考生、注重考查基礎(chǔ)知識的特點。解答題主要考查與大學(xué)學(xué)習(xí)和今后生活密切相關(guān)的能力要求。

在數(shù)學(xué)命題中，分梯度設(shè)置單題難度是一個主要特點。解答題都是采取“分步設(shè)問，梯次遞進”的設(shè)置方式，一般設(shè)置兩到三個小問，第一小問較容易，后面的小問則對考生能力要求較高，第一問為后面幾問搭臺階，體現(xiàn)入手容易深入難、鼓勵考生信心的特點，讓考生在考場上以平和的心態(tài)進入最佳的狀態(tài)。同時為能力強的考生提供發(fā)揮的空間，為高水平大學(xué)選拔新生提供有效的依據(jù)。

例5：已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x．

（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）-4bf（x），當(dāng)x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；

試題采用分步設(shè)問，層層遞進，（Ⅰ）比較容易，同時為（Ⅱ）做鋪墊，（Ⅱ）又為（Ⅲ）做鋪墊，考查由淺入深，對思維的深度和廣度的要求逐步提高。試題從多角度考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及運用導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，對考生的邏輯推理能力、運算求解能力提出較高要求，突出考查了考生運用已有結(jié)果和數(shù)據(jù)分析并解決問題的能力，試題區(qū)分度高，可以較好考查學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的潛能。

總之，2014年的數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)高考改革的精神，追求試題創(chuàng)新，突出能力立意，發(fā)揮選拔功能。

[1]教育部基礎(chǔ)教育司組織編寫.新課程與學(xué)生評價改革[M].北京：高等教育出版社，2004．

[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003．

[3]教育部考試中心.2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實驗）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]教育部考試中心.2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明（課程標(biāo)準(zhǔn)實驗）[M].北京：高等教育出版社，2014.

（責(zé)任編輯 周黎明）

Extrude logical Reasoning and Strengthen Application Ability:An Analysis of Mathematics Paper of College Entrance Examination in 2014

CHEN Xu

2014 math subject in the National College Entrance Examination（NCEE）emphasizes ability,encourages innovation while following conventional guidance.NCEE reflects the spirit of the New Course Standard.It reveals the characteristics of scientificity,standardization,and fundamentalization.This exam reflects the direction of NCEE reform,emphasize the reflection of logic process,value the consciousness of application and innovation.It also distinguishes examinees effectively and therefore it helps select personnel in a scientific manner,lead a healthy trend in students’personal development,help enhance social equality and justice.

College Entrance Examination；Mathematics Items；Ability Testing

G405

A

1005-8427(2014)10-0014-4