任俊杰，郭 平，彭 松，姜凱凱

（1.油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室（西南石油大學），四川成都610500；2.中國石油長慶油田分公司第一采油廠，陜西延安716009）

隨著氣田勘探開發(fā)的深入，我國發(fā)現(xiàn)的不同類型的復雜氣藏越來越多，其中低滲透氣藏在已探明天然氣地質儲量中占有相當大的比重，而低滲透氣藏中多數(shù)井自然產能較低，必須實施壓裂改造才具備生產能力[1-3］。目前關于垂直壓裂井產能評價的研究較多：蔣廷學[4］和汪永利等人[5］采用保角變換分別研究了油藏和氣藏垂直壓裂井的產能計算方法；楊正明等人[6］在將氣體流動分為徑向流和線性流的基礎上，建立了壓裂井產能模型；郭建春等人[7］提出了新的壓裂氣井二項式產能公式；另外一些學者[8-12］分別研究了啟動壓力梯度、滑脫效應和應力敏感等因素對壓裂氣井產能的影響。但是目前關于壓裂氣井的產能計算公式基本都是在假設裂縫關于井筒對稱基礎上推導出來的，而現(xiàn)實中更容易遇到非對稱裂縫[13］。雖然曹寶軍等人[14］研究了非對稱裂縫無限導流壓裂氣井的產能模型，但是目前卻沒有見到關于非對稱裂縫有限導流壓裂氣井的產能計算方法。因此，筆者在非對稱裂縫無限導流壓裂氣井產能模型基礎上，建立了非對稱裂縫有限導流壓裂氣井產能模型，分析了裂縫的非對稱性對有限導流壓裂氣井產能的影響。

1 模型的假設條件

為便于產能模型的建立，做如下假設：

1）儲層為均質各向同性氣藏，氣井壓裂后形成關于井筒非對稱分布的垂直裂縫；

2）裂縫剖面為矩形，裂縫完全穿透儲層；

3）裂縫寬度相對于氣藏的供給半徑非常小；

4）裂縫具有無限導流或有限導流能力；

5）氣體在氣藏及裂縫內均為單相流動，且氣藏中氣體的流動符合達西定律，而裂縫中的氣體流動符合Forchheimer非達西流動方程；

6）穩(wěn)態(tài)滲流，不考慮地層的垂向流動及裂縫附近的污染。

2 產能模型的建立及求解

壓裂氣井的裂縫關于井筒非對稱分布，設井筒兩邊的長短裂縫翼長度分別為L1和L2，并且在z平面建立xOy坐標系（如圖1（a）），其中線段AB表示裂縫，點O表示井筒。

首先取如下保角變換函數(shù)[14-15］：

根據保角變換的原理，設z＝x＋iy，w＝x′＋iy′，將其代入式（1）得：

對比式（5）的實部和虛部可以得到：

由式（6）和式（7）可知圖1（a）中的z平面將被映射為圖1（b）中的w平面（即寬度為π的帶狀地層）。此時z平面中的裂縫AB將映射為w平面中的A′B′，z平面中的井筒點O 映射為w 平面的點H，容易知道點A′，B′和H 在w平面的坐標分別為此時，在z平面內壓裂氣井的復雜滲流問題將轉化為在w平面內簡單的單向滲流問題。

當裂縫為無限導流時，氣體在氣藏中的流動符合達西定律[16］（壓力函數(shù)推導），因此，w 平面中1／2區(qū)域的流量為：

式中：Qsc為地面標準狀況下的產量，m3／s；Tsc為地面標準狀況下的溫度，K；Z為氣體在氣藏條件下的偏差因子；psc為地面標準狀況下的壓力，Pa；T為氣藏條件下的溫度，K；K為氣藏基質滲透率，m2；h為儲層厚度，m；pe為供給壓力，Pa；μ為氣體在氣藏條件下的黏度，Pa·s；pwf為井底流壓，Pa；x′0為w 平面內供給邊界到A′B′的距離，m。

圖1 非對稱裂縫壓裂氣井保角變換示意Fig.1 Schematic diagram of conformal transformation for asymmetrically fractured gas wells

聯(lián)立式（6）和式（7），當x′0取適當大時，可得：

式中，re為供給半徑，m。

由式（10）可以得到：

將式（3）和式（10）代入式（9），并整理得：

式（12）就是文獻[14］中的非對稱裂縫無限導流壓裂氣井的產能公式。從該式可以看出，在裂縫總長度一定的情況下，無限導流壓裂氣井的產能與裂縫的非對稱性沒有關系。

當裂縫為有限導流時，則需要考慮裂縫內壓力降對氣井產能的影響?？紤]到對稱性，只討論w平面中右半平面區(qū)域。

裂縫中氣體的壓力函數(shù)Ψf的定義為：

式中：ρ為氣體在氣藏條件下的密度，kg／m3；p0為井底壓力，Pa；ρsc為氣體在地面標準狀況下的密度，kg／m3；pf為裂縫內的壓力，Pa；ˉZ為氣體在平均氣藏壓力下的偏差因子。

根據微元法，可以得到裂縫內氣體流動的微分方程（w 平面內）[5］：

其中

式中：Kf為裂縫滲透率，m2；wf為裂縫寬度，m；vR為氣藏向裂縫的滲流速度，m／s；δ1，δ2分別為井筒兩邊長短裂縫翼的非達西流修正系數(shù)。

進一步推導可以得到：

式中，Ψe為供給壓力pe對應的氣體壓力函數(shù)。

將式（17）分別代入式（14）和式（15）得：

邊界條件為：

式中，Ψwf為井底流壓pwf對應的氣體壓力函數(shù)。

求解由式（18）—（21）構成的定解問題，得：

其中

最后，根據達西定律得到非對稱裂縫有限導流壓裂氣井的質量流量：

式中，Gf為壓裂氣井的質量流量，kg／m3。

根據式（13）氣體壓力函數(shù)的定義，式（26）中的壓力函數(shù)差Ψe-Ψwf表示成真實壓力的關系為：

將式（27）代入式（26）得：

則壓裂氣井井口標準狀況下的體積流量為：

非達西流修正系數(shù)的表達式[5］為：

其中

式中：v1和v2分別為長度L1和L2裂縫翼中的滲流速度，m／s；a和b為與支撐劑粒徑相關的參數(shù)，在不同支撐劑粒徑條件下，a和b的值見表1[17］。

表1 裂縫中不同支撐劑粒徑條件下a和b的值Table 1 Values of aand bfor different sizes of proppants in fractures

在求解非對稱裂縫有限導流壓裂氣井產量時，需要用試湊法聯(lián)立式（29）—（31）求解。即先假設一個Qsc值，代入式（30）和式（31）求出δ1和δ2，然后將求出的δ1和δ2代入式（29）求出一個新的Qsc值，如果前后2個Qsc值相差較大，則將新的Qsc值代入式（30）和式（31），反復迭代，直到相鄰2次求解的Qsc值相差非常小為止。

3 實例分析

3.1 實例驗證

以某油田中一口非對稱裂縫壓裂氣井為例，驗證所推導出的公式是否正確。該井的主要數(shù)據為：儲層壓力12.2MPa，井底流壓5.5MPa，儲層滲透率2.06mD，儲層有效厚度10.7m，地下氣體黏度0.017 5mPa·s，儲層溫度85.5℃，裂縫滲透率10 000mD，裂縫寬度0.003m，裂縫長短翼的長度分別為 350.00 和 50.00m，支撐劑粒徑 0.4～0.8mm，供給半徑600.00m，氣體偏差因子0.92，氣體相對密度0.65。將上述參數(shù)代入非對稱裂縫壓裂氣井產量計算公式，計算出該井的穩(wěn)態(tài)產量為17.54×104m3／d，而該井壓裂后的實際穩(wěn)定產量約為17.00×104m3／d，相對誤差為3.18%。如果用對稱裂縫壓裂氣井產量計算公式，則計算出的穩(wěn)態(tài)產量為18.55×104m3／d，相對誤差為9.12%?？梢娪梅菍ΨQ裂縫壓裂氣井產量計算公式預測的產量比用對稱裂縫壓裂氣井產量計算公式更符合實際情況。

3.2 影響因素分析

為了便于分析裂縫非對稱性對壓裂氣井產能的影響程度，引入裂縫非對稱系數(shù)α來衡量裂縫的非對稱性[13］，即：

由式（33）可以看出：α的取值范圍為0≤α≤1；當α＝0時，裂縫為完全對稱；α越大，裂縫的非對稱程度越嚴重。

圖2為在裂縫總長度相同的情況下，裂縫非對稱系數(shù)α對有限導流壓裂氣井IPR曲線的影響關系。

圖2 裂縫非對稱系數(shù)對有限導流壓裂氣井IPR曲線的影響Fig.2 Effects of fracture asymmetry coefficient on IPR curves of finite-conductivity fractured gas wells

從圖2可以看出，在相同的井底流壓下，裂縫非對稱性越嚴重（即α越大），壓裂氣井的產量越低，并且井底流壓越低，裂縫非對稱性造成壓裂氣井產量降低的程度越嚴重。

4 結 論

1）在裂縫無限導流和有限導流2種情況下，推導出了非對稱裂縫壓裂氣井的產量計算公式。

2）在裂縫總長度一定的情況下，無限導流壓裂氣井的產量與裂縫的非對稱性沒有關系，但是裂縫的非對稱性對有限導流壓裂氣井的產量影響較大。非對稱裂縫有限導流壓裂氣井的產量相對于對稱裂縫有限導流壓裂氣井的產量偏低，并且隨著井底流壓的降低及裂縫非對稱性系數(shù)的增大，產量降低程度增大。

3）在壓裂設計及壓裂施工過程中，為了獲得較高的產量，在其他條件相同的情況下，應盡量保證壓裂裂縫相對于井筒對稱分布。

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