任俊杰，郭 平，彭 松，姜?jiǎng)P凱

（1.油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西南石油大學(xué)），四川成都610500；2.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田分公司第一采油廠，陜西延安716009）

隨著氣田勘探開(kāi)發(fā)的深入，我國(guó)發(fā)現(xiàn)的不同類(lèi)型的復(fù)雜氣藏越來(lái)越多，其中低滲透氣藏在已探明天然氣地質(zhì)儲(chǔ)量中占有相當(dāng)大的比重，而低滲透氣藏中多數(shù)井自然產(chǎn)能較低，必須實(shí)施壓裂改造才具備生產(chǎn)能力[1-3］。目前關(guān)于垂直壓裂井產(chǎn)能評(píng)價(jià)的研究較多：蔣廷學(xué)[4］和汪永利等人[5］采用保角變換分別研究了油藏和氣藏垂直壓裂井的產(chǎn)能計(jì)算方法；楊正明等人[6］在將氣體流動(dòng)分為徑向流和線(xiàn)性流的基礎(chǔ)上，建立了壓裂井產(chǎn)能模型；郭建春等人[7］提出了新的壓裂氣井二項(xiàng)式產(chǎn)能公式；另外一些學(xué)者[8-12］分別研究了啟動(dòng)壓力梯度、滑脫效應(yīng)和應(yīng)力敏感等因素對(duì)壓裂氣井產(chǎn)能的影響。但是目前關(guān)于壓裂氣井的產(chǎn)能計(jì)算公式基本都是在假設(shè)裂縫關(guān)于井筒對(duì)稱(chēng)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，而現(xiàn)實(shí)中更容易遇到非對(duì)稱(chēng)裂縫[13］。雖然曹寶軍等人[14］研究了非對(duì)稱(chēng)裂縫無(wú)限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)能模型，但是目前卻沒(méi)有見(jiàn)到關(guān)于非對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)能計(jì)算方法。因此，筆者在非對(duì)稱(chēng)裂縫無(wú)限導(dǎo)流壓裂氣井產(chǎn)能模型基礎(chǔ)上，建立了非對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井產(chǎn)能模型，分析了裂縫的非對(duì)稱(chēng)性對(duì)有限導(dǎo)流壓裂氣井產(chǎn)能的影響。

1 模型的假設(shè)條件

為便于產(chǎn)能模型的建立，做如下假設(shè)：

1）儲(chǔ)層為均質(zhì)各向同性氣藏，氣井壓裂后形成關(guān)于井筒非對(duì)稱(chēng)分布的垂直裂縫；

2）裂縫剖面為矩形，裂縫完全穿透儲(chǔ)層；

3）裂縫寬度相對(duì)于氣藏的供給半徑非常??；

4）裂縫具有無(wú)限導(dǎo)流或有限導(dǎo)流能力；

5）氣體在氣藏及裂縫內(nèi)均為單相流動(dòng)，且氣藏中氣體的流動(dòng)符合達(dá)西定律，而裂縫中的氣體流動(dòng)符合Forchheimer非達(dá)西流動(dòng)方程；

6）穩(wěn)態(tài)滲流，不考慮地層的垂向流動(dòng)及裂縫附近的污染。

2 產(chǎn)能模型的建立及求解

壓裂氣井的裂縫關(guān)于井筒非對(duì)稱(chēng)分布，設(shè)井筒兩邊的長(zhǎng)短裂縫翼長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2，并且在z平面建立xOy坐標(biāo)系（如圖1（a）），其中線(xiàn)段AB表示裂縫，點(diǎn)O表示井筒。

首先取如下保角變換函數(shù)[14-15］：

根據(jù)保角變換的原理，設(shè)z＝x＋iy，w＝x′＋iy′，將其代入式（1）得：

對(duì)比式（5）的實(shí)部和虛部可以得到：

由式（6）和式（7）可知圖1（a）中的z平面將被映射為圖1（b）中的w平面（即寬度為π的帶狀地層）。此時(shí)z平面中的裂縫AB將映射為w平面中的A′B′，z平面中的井筒點(diǎn)O 映射為w 平面的點(diǎn)H，容易知道點(diǎn)A′，B′和H 在w平面的坐標(biāo)分別為此時(shí)，在z平面內(nèi)壓裂氣井的復(fù)雜滲流問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為在w平面內(nèi)簡(jiǎn)單的單向滲流問(wèn)題。

當(dāng)裂縫為無(wú)限導(dǎo)流時(shí)，氣體在氣藏中的流動(dòng)符合達(dá)西定律[16］（壓力函數(shù)推導(dǎo)），因此，w 平面中1／2區(qū)域的流量為：

式中：Qsc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的產(chǎn)量，m3／s；Tsc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的溫度，K；Z為氣體在氣藏條件下的偏差因子；psc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的壓力，Pa；T為氣藏條件下的溫度，K；K為氣藏基質(zhì)滲透率，m2；h為儲(chǔ)層厚度，m；pe為供給壓力，Pa；μ為氣體在氣藏條件下的黏度，Pa·s；pwf為井底流壓，Pa；x′0為w 平面內(nèi)供給邊界到A′B′的距離，m。

圖1 非對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井保角變換示意Fig.1 Schematic diagram of conformal transformation for asymmetrically fractured gas wells

聯(lián)立式（6）和式（7），當(dāng)x′0取適當(dāng)大時(shí)，可得：

式中，re為供給半徑，m。

由式（10）可以得到：

將式（3）和式（10）代入式（9），并整理得：

式（12）就是文獻(xiàn)[14］中的非對(duì)稱(chēng)裂縫無(wú)限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)能公式。從該式可以看出，在裂縫總長(zhǎng)度一定的情況下，無(wú)限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)能與裂縫的非對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有關(guān)系。

當(dāng)裂縫為有限導(dǎo)流時(shí)，則需要考慮裂縫內(nèi)壓力降對(duì)氣井產(chǎn)能的影響?？紤]到對(duì)稱(chēng)性，只討論w平面中右半平面區(qū)域。

裂縫中氣體的壓力函數(shù)Ψf的定義為：

式中：ρ為氣體在氣藏條件下的密度，kg／m3；p0為井底壓力，Pa；ρsc為氣體在地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的密度，kg／m3；pf為裂縫內(nèi)的壓力，Pa；ˉZ為氣體在平均氣藏壓力下的偏差因子。

根據(jù)微元法，可以得到裂縫內(nèi)氣體流動(dòng)的微分方程（w 平面內(nèi)）[5］：

其中

式中：Kf為裂縫滲透率，m2；wf為裂縫寬度，m；vR為氣藏向裂縫的滲流速度，m／s；δ1，δ2分別為井筒兩邊長(zhǎng)短裂縫翼的非達(dá)西流修正系數(shù)。

進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到：

式中，Ψe為供給壓力pe對(duì)應(yīng)的氣體壓力函數(shù)。

將式（17）分別代入式（14）和式（15）得：

邊界條件為：

式中，Ψwf為井底流壓pwf對(duì)應(yīng)的氣體壓力函數(shù)。

求解由式（18）—（21）構(gòu)成的定解問(wèn)題，得：

其中

最后，根據(jù)達(dá)西定律得到非對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井的質(zhì)量流量：

式中，Gf為壓裂氣井的質(zhì)量流量，kg／m3。

根據(jù)式（13）氣體壓力函數(shù)的定義，式（26）中的壓力函數(shù)差Ψe-Ψwf表示成真實(shí)壓力的關(guān)系為：

將式（27）代入式（26）得：

則壓裂氣井井口標(biāo)準(zhǔn)狀況下的體積流量為：

非達(dá)西流修正系數(shù)的表達(dá)式[5］為：

其中

式中：v1和v2分別為長(zhǎng)度L1和L2裂縫翼中的滲流速度，m／s；a和b為與支撐劑粒徑相關(guān)的參數(shù)，在不同支撐劑粒徑條件下，a和b的值見(jiàn)表1[17］。

表1 裂縫中不同支撐劑粒徑條件下a和b的值Table 1 Values of aand bfor different sizes of proppants in fractures

在求解非對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井產(chǎn)量時(shí)，需要用試湊法聯(lián)立式（29）—（31）求解。即先假設(shè)一個(gè)Qsc值，代入式（30）和式（31）求出δ1和δ2，然后將求出的δ1和δ2代入式（29）求出一個(gè)新的Qsc值，如果前后2個(gè)Qsc值相差較大，則將新的Qsc值代入式（30）和式（31），反復(fù)迭代，直到相鄰2次求解的Qsc值相差非常小為止。

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例驗(yàn)證

以某油田中一口非對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井為例，驗(yàn)證所推導(dǎo)出的公式是否正確。該井的主要數(shù)據(jù)為：儲(chǔ)層壓力12.2MPa，井底流壓5.5MPa，儲(chǔ)層滲透率2.06mD，儲(chǔ)層有效厚度10.7m，地下氣體黏度0.017 5mPa·s，儲(chǔ)層溫度85.5℃，裂縫滲透率10 000mD，裂縫寬度0.003m，裂縫長(zhǎng)短翼的長(zhǎng)度分別為 350.00 和 50.00m，支撐劑粒徑 0.4～0.8mm，供給半徑600.00m，氣體偏差因子0.92，氣體相對(duì)密度0.65。將上述參數(shù)代入非對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井產(chǎn)量計(jì)算公式，計(jì)算出該井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量為17.54×104m3／d，而該井壓裂后的實(shí)際穩(wěn)定產(chǎn)量約為17.00×104m3／d，相對(duì)誤差為3.18%。如果用對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井產(chǎn)量計(jì)算公式，則計(jì)算出的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量為18.55×104m3／d，相對(duì)誤差為9.12%。可見(jiàn)用非對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井產(chǎn)量計(jì)算公式預(yù)測(cè)的產(chǎn)量比用對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井產(chǎn)量計(jì)算公式更符合實(shí)際情況。

3.2 影響因素分析

為了便于分析裂縫非對(duì)稱(chēng)性對(duì)壓裂氣井產(chǎn)能的影響程度，引入裂縫非對(duì)稱(chēng)系數(shù)α來(lái)衡量裂縫的非對(duì)稱(chēng)性[13］，即：

由式（33）可以看出：α的取值范圍為0≤α≤1；當(dāng)α＝0時(shí)，裂縫為完全對(duì)稱(chēng)；α越大，裂縫的非對(duì)稱(chēng)程度越嚴(yán)重。

圖2為在裂縫總長(zhǎng)度相同的情況下，裂縫非對(duì)稱(chēng)系數(shù)α對(duì)有限導(dǎo)流壓裂氣井IPR曲線(xiàn)的影響關(guān)系。

圖2 裂縫非對(duì)稱(chēng)系數(shù)對(duì)有限導(dǎo)流壓裂氣井IPR曲線(xiàn)的影響Fig.2 Effects of fracture asymmetry coefficient on IPR curves of finite-conductivity fractured gas wells

從圖2可以看出，在相同的井底流壓下，裂縫非對(duì)稱(chēng)性越嚴(yán)重（即α越大），壓裂氣井的產(chǎn)量越低，并且井底流壓越低，裂縫非對(duì)稱(chēng)性造成壓裂氣井產(chǎn)量降低的程度越嚴(yán)重。

4 結(jié) 論

1）在裂縫無(wú)限導(dǎo)流和有限導(dǎo)流2種情況下，推導(dǎo)出了非對(duì)稱(chēng)裂縫壓裂氣井的產(chǎn)量計(jì)算公式。

2）在裂縫總長(zhǎng)度一定的情況下，無(wú)限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)量與裂縫的非對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有關(guān)系，但是裂縫的非對(duì)稱(chēng)性對(duì)有限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)量影響較大。非對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)量相對(duì)于對(duì)稱(chēng)裂縫有限導(dǎo)流壓裂氣井的產(chǎn)量偏低，并且隨著井底流壓的降低及裂縫非對(duì)稱(chēng)性系數(shù)的增大，產(chǎn)量降低程度增大。

3）在壓裂設(shè)計(jì)及壓裂施工過(guò)程中，為了獲得較高的產(chǎn)量，在其他條件相同的情況下，應(yīng)盡量保證壓裂裂縫相對(duì)于井筒對(duì)稱(chēng)分布。

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