何 鵕，孫 麗

（河北省水利水電勘測設計研究院，天津300250）

1 反向思維法內涵

反向思維法是以結構計算求出的控制截面邊緣應力為依據(jù)，通過反向思維推導出該截面受壓區(qū)及受拉區(qū)應施加的預壓力N′p及Np，相應構件抗裂驗算邊緣纖維產生了混凝土法向預應力σpc及相應受壓區(qū)混凝土邊緣纖維產生了法向預拉應力σ′pc；以σpc平衡在荷載標準值作用下控制截面受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產生的拉應力σck，以σ′pc平衡在自重荷載作用下受壓區(qū)混凝土邊緣纖維產生的壓應力σcc；根據(jù)選用的鋼絞線的強度指標可直接計算出構件受壓區(qū)和受拉區(qū)的預壓力N′p、Np及相應的鋼絞線的根數(shù)n′、n，一步到位，此法稱預應力混凝土結構反向思維計算法。

2 公式的建立

根據(jù)SL 191—2008 《水工混凝土結構設計規(guī)范》，采用“化整為零”的方法，將式中的總預壓力Np分解為受壓區(qū)的預壓力N′p及受拉區(qū)的預壓力Np，各自在受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產生了法向預應力σ′1、σ1及σ′2、σ2，由此找出受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預應力σ′pc=σ′1+σ′2及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預應力σpc=σ1+σ2。

在混凝土構件受壓區(qū)施加有效預壓力N′p時，對截面重心取矩，如圖1。

圖1 鋼絞線配置計算圖

計算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產生的法向應力為：

式中 N′p受壓區(qū)施加的扣除全部應力損失后的有效預壓力合力（kN）；σ′1、σ1為受壓區(qū)施加預壓力N′p時，受壓區(qū)、受拉區(qū)混凝土邊緣產生的法向預應力（N/mm2）；An為構件凈截面面積（m2）；yn為凈截面重心至受壓區(qū)邊緣纖維的距離（m）；a′p為受壓區(qū)施加預壓力筋的保護層（mm）；In為凈截面的慣性矩（m4）；h為梁高（m）。

在混凝土構件受拉區(qū)施加有效預壓力Np時，對截面重心取矩，計算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產生的法向應力為：

式中 Np為在構件受拉區(qū)施加的扣除全部應力損失后的有效預壓力合力（kN）；σ′2、σ′2為受拉區(qū)施加預壓力Np時，受壓區(qū)、受拉區(qū)混凝土邊緣產生的法向預應力（N/mm2）；h0為截面受拉區(qū)有效預壓力合力至梁頂高度（m）。

預應力狀態(tài)如圖2。

圖2 預應力狀態(tài)

在N′p（z）、Np（z）共同作用下，控制截面上的應力分布呈三角形，如圖2（a），受拉區(qū)預應力σpc=σ1+σ2時，受壓區(qū)預應力σ′pc=σ′1+σ′2=0。

式（3）兩邊同時乘以An：

令

式（4）簡化后為：

式中 受拉區(qū)及受壓區(qū)施加有效預壓力Np（z）、N′p（z），令受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預應力為零時，e 為受拉區(qū)與受壓區(qū)有效預壓力的比例系數(shù)；受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預應力為零時，α1、α2為受拉區(qū)、受壓區(qū)幾何力學指標系數(shù)。

當受拉區(qū)σpc=σ1+σ2，受壓區(qū)σ′pc=σ′1+σ′2=0 時，構件受拉區(qū)與受壓區(qū)預壓力Np（z）與N′p（z）兩者關系：

當σ′1+σ′2=0 時，受拉區(qū)混凝土邊緣法向預應力：

當控制截面上的應力分布如圖2（b）時，構件受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的預壓力分別為N′p（t）、Np（t），受壓區(qū)混凝土邊緣纖維預應力σ′pc=σ′1+σ′2，受拉區(qū)混凝土邊緣纖維預應力σpc=σ1+σ2=0，則有：

式（10）兩邊同時乘An：

令

式（10）化簡后為：

相應受壓區(qū)施加預壓力N′p（t），受拉區(qū)施加預壓力Np（t），受拉區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預應力σpc為零，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預應力為σ′pc，受壓區(qū)與受拉壓區(qū)施加的預壓力的比例系數(shù)為：

式中 受壓區(qū)及受拉區(qū)施加有效預壓力N′p（t）、Np（t），令受拉區(qū)混凝土邊緣纖維預應力為零時，e′為受壓區(qū)與受拉區(qū)有效預壓力的比例系數(shù)；受拉區(qū)混凝土邊緣法向預應力為零時，α′1、α′2為受拉區(qū)、受壓區(qū)幾何力學指標系數(shù)。

當受拉區(qū)σpc=σ1+σ2=0，受壓區(qū)σ′pc=σ′1+σ′2時，構件受壓區(qū)與受拉區(qū)預壓力N′p（t）與Np（t）兩者關系：

當σ1+σ2=0 時，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預應力：

3 鋼絞線配置準用值計算

在梁構件受拉區(qū)混凝土邊緣纖維法向預應力σpc=-σck的前提下，在受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預應力σ′pc為零時，計算出梁構件受拉區(qū)及受壓區(qū)配置鋼絞線的數(shù)量n1、n′1，稱其為鋼絞線準用值。

令σpc=σ1+σ2=-σck，即對梁構件的受拉區(qū)邊緣纖維施加的預應力σpc與受壓區(qū)邊緣纖維施加的預應力σ′pc=0，構件在荷載標準值作用下σpc與抗裂驗算混凝土邊緣纖維法向拉應力σck大小相等，受力方向相反。準用值預應力狀態(tài)如圖2（a）。

按照σpc=-σck配置鋼絞線?，F(xiàn)將式（1）～式（2）中的σ1及σ2相加與-σck列出下列方程：

將式（8）代入式（17）。在滿足構件受拉區(qū)σck+σpc=0 時，受壓區(qū)應施加的有效預壓力準用值：

式中符號同前，參數(shù)α′1、α′2及e 可通過excel表進行計算，受拉區(qū)應施加的有效預壓力Np（z）用式（8）求得。

4 鋼絞線配置替代值計算

梁構件受拉區(qū)邊緣纖維的法向預應力為零，即σpc=σ1+σ2=0，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預應力σ′pc等于在自重荷載標準值作用下受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向正應力-σcc，即σ′pc=σ′1+σ′2=-σcc，在此情況下，計算出梁構件受拉區(qū)及受壓區(qū)配置鋼絞線的數(shù)量n2、n′2稱鋼絞線替代值。

在σpc=σ1+σ2=0 的情況下，即梁構件受壓區(qū)預應力σ′pc=-σcc，替代值預應力狀態(tài)如圖2（b）。計算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的預壓力N′p（t）、Np（t）和配置的鋼絞線的數(shù)量n′2、n2。對于預應力混凝土構件來說，施工期受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的壓應力σcc是一種潛在的能量，應充分利用，它可以替代一部分鋼絞線，同時也改善了預應力混凝土結構的受力狀態(tài)。

按照σ′pc=-σcc配置鋼絞線?，F(xiàn)將式（1）～式（2）中的σ′1及σ′2相加與σ′pc=σcc列出下列方程：

將式（15）代入式（19）求解。在滿足構件受壓區(qū)σcc+σ′pe=0 時，受拉區(qū)有效預壓力替代值為：

式（20）中的Np（t）及用式（15）計算出的N′p（t）為有效預壓力替代值。

計算中，當替代值時n′2>n′1，說明σcc壓力有富裕，取n′2=n′1，n′=0，此時，受壓區(qū)不必設置預應力鋼絞線。

5 預應力鋼絞線根數(shù)計算

前面計算出的預壓力Np及N′p，其相應的鋼絞線的數(shù)量就是通過每根鋼絞線扣除預應力損失后平均有效預壓力計算的。

式中 Aps為一根鋼絞線的截面積（mm2/根）；σcon為預應力筋張拉時的控制應力（N/mm2）；Np、N′p為受拉區(qū)、受壓區(qū)每根鋼絞線扣除預應力損失后，平均有效預壓力（kN/根）；μp、μ′p為結構控制截面受拉區(qū)或受壓區(qū)鋼絞線總預應力損失率。

需要說明的是，梁受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的有效預壓力N′p及Np，必須用扣除預應力損失后的單根鋼絞線的預壓力計量鋼絞線的根數(shù)，見式（22）、式（22′）。

直埋鋼絞線總預應力損失率μ′p為15%～16%，曲線鋼絞線總預應力損失率μp為直線鋼絞線總預應力損失率的1.1 倍。這是后張法預應力混凝土簡支梁兩端張拉控制截面計算出的總預應力損失率。

6 設計流程

已知構件控制截面上下邊緣應力σcc、σck及相關截面參數(shù)h、hp、An、In、y、a′p。

計算分以下3 步：

（1）由式（5）、式（7）、式（12）、式（14）計算出與預應力相關參數(shù)α1、α2、α′1、α′2、e 及e′。

（2）將參數(shù)代入式（18）、式（8）、式（20）、式（15），可求出結構受壓區(qū)及受拉區(qū)預壓力準用值N′p（z）、Np（z）及替代值Np（t）及N′p（t）。

（3）準用值減去替代值之后，即為結構受拉區(qū)及受壓區(qū)預壓力設計值N′p（s）及Np（s），通過式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）計算出受壓區(qū)及受拉區(qū)鋼絞線的根數(shù)n′及n。

7 實例

以泲河渡槽中縱梁為例，梁長L=30m，計算跨度l0=27.5m，懸臂長l1=1.25m，梁高h=8.4m。

7.1 主要技術指標

1 級混凝土建筑物，偶然組合承載力安全系數(shù)K=1.15，鋼絞線強度標準值fptk=1860N/mm2，張拉控制應力σcon=0.75fptk=1395N/mm2，鋼絞線公稱直徑準s15.2mm，每根鋼絞線的有效預壓力Np=-151.0kN/根，N′p=-165.4kN/根，凈截面面積An=9.51m2，凈截面慣性矩In=67.62m4，鋼絞線彈性模量Ep=1.95×105N/mm2，凈截面重心至梁頂距離yn=4.86m，截面受拉區(qū)有效預壓力合力高度h0=8.05m，受壓區(qū)預壓力鋼絞線保護層a′p=0.25m。

標準荷載下混凝土抗裂邊緣纖維拉應力σck=3.68N/mm2，受壓區(qū)壓應力σc=-5.05N/mm2。

7.2 計算步驟

（1）用式（5）、式（7）、式（12）、式（14）計算相關參數(shù)。α′1=1.59，α′2=2.29，e′=2.00，α1=2.18，α2=3.14，e=3.52。

（2）用式（18）、式（8）、式（20）、式（15）計算相關參數(shù)。N′p（z）=-6864.4kN，Np（z）=-24190.5kN；N′p（t）=-4913.4kN，Np（t）=-2453.17kN。

（3）準用值減替代值N′p（s）=-1950.96kN，Np（s）=-21737.29kN。通過式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）求出構件受壓區(qū)及受拉區(qū)鋼絞線的根數(shù)n′=12根，n=144 根。

計算結果表明，受壓區(qū)施加預壓力-1950.96kN，鋼絞線12 根；受拉區(qū)施加預壓力-21737.29kN，鋼絞線144 根。

標準荷載下抗裂邊緣混凝土纖維拉應力σck=3.68N/mm2，設防按σck=5.65N/mm2；標準荷載下受壓區(qū)壓應力σc=-5.05N/mm2，自重標準荷載下受壓區(qū)壓應力σcc=-1.84N/mm2，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維預拉應力［σ′pc］=-σcc=1.84N/mm2，實際在標準荷載下，受壓區(qū)壓應力σ′=-3.21N/mm2，如圖3（c），滿足設計要求。

圖3 預應力與荷載應力疊加狀態(tài)

用該法計算出的鋼絞線數(shù)量比泲河渡槽中縱梁最終設計成果少5 根，誤差為3.1%。此法完全可以用在預應力混凝土結構初步設計階段。依此布置鋼絞線，在此基礎上再作進一步優(yōu)化。

8 結語

根據(jù)SL191—2008《水工混凝土結構設計規(guī)范》給出的預應力混凝土邊緣纖維法向應力的基本公式，通過反向思維，按結構力學方法確定混凝土受壓區(qū)邊緣應力σck及施工期受壓區(qū)混凝土邊緣壓應力σcc，使受拉區(qū)預壓應力σpc=-σck，受壓區(qū)預拉應力［σ′pc］=-σcc，直接求出結構受壓區(qū)及受拉區(qū)應施加的預壓力N′p（s）、Np（s）及相應鋼絞線的根數(shù)n′、n。此方法改變了用預壓力合力求解預應力的概念，概念清楚，方法簡捷，便于應用。

［1］SL 191—2008，水工混凝土結構設計規(guī)范［S］.

［2］牛桂林，何鵕，宋寶生.預應力混凝土結構后張法鋼絞線計算方法［J］.水利水電技術，2005（6）.

［3］孫麗.淺談預應力混凝土力筋配置［J］.中國水利水電市場，2010（9）.

［4］杜拱辰.現(xiàn)代預應力混凝土結構［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1988.

［5］周氐.水工混凝土結構設計手冊［K］.北京：中國水利水電出版社，2002.