王 寧 楊仕友

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院 杭州 310027）

1 引言

工程電磁場(chǎng)逆問(wèn)題或優(yōu)化問(wèn)題一般歸結(jié)為有約束的多（沖突）目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。對(duì)于這類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題，由于存在不同目標(biāo)的無(wú)法比較和沖突現(xiàn)象，不可能存在使得所有目標(biāo)都取其極值點(diǎn)的最優(yōu)解。因此，對(duì)于多目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，通常存在一系列無(wú)法進(jìn)行簡(jiǎn)單相互比較的可行解，即以不同權(quán)因子考慮各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)折衷解，Pareto 最優(yōu)解。因而，為了給決策者提供考慮側(cè)重不同目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的多種優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，以便其根據(jù)系統(tǒng)或設(shè)備的運(yùn)行條件和環(huán)境做出明智的抉擇，理想的多目標(biāo)優(yōu)化算法必須具有能夠搜索到并均勻采樣整個(gè)Pareto 最優(yōu)解的能力。由于在一次運(yùn)行中能夠搜索到多組不同的潛在最優(yōu)解，近年來(lái)人們廣泛開(kāi)展了多目標(biāo)／矢量進(jìn)化算法（EA）研究[1-9]。研究表明，矢量進(jìn)化算法能夠有效地搜索到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto 解，目前已經(jīng)成為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)算法。

然而，為了實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部細(xì)化搜索的平衡，必須精確設(shè)計(jì)進(jìn)化算法的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，如種群規(guī)模、變異操作、母本選擇和遺傳和生存競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制等[10]。同時(shí)，現(xiàn)有工作主要集中于如何設(shè)計(jì)算法使之能夠搜索到Pareto 真解方面，但在如何解決算法收斂性和計(jì)算效率這一矛盾問(wèn)題的研究成果則相對(duì)較少[11]。此外，現(xiàn)有進(jìn)化算法無(wú)一例外地包括選擇、交叉和變異等遺傳算子。無(wú)論從理論上還是從數(shù)值實(shí)現(xiàn)方面來(lái)說(shuō)，這些算子都十分復(fù)雜。因此，為了克服遺傳算子的上述不足，近年來(lái)人們開(kāi)始研究基于概率模型的進(jìn)化算法（EAPM）[12]。

量子進(jìn)化算法（QEA）是一種EAPM 算法[10,13]，具有EAPM 算法上述的固有優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)將量子物理和量子計(jì)算原理應(yīng)用于傳統(tǒng)的進(jìn)化算法，QEA 在搜索過(guò)程中可以很容易地實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部細(xì)化搜索的平衡。此外，QEA 的另一特征是種群規(guī)模較小，只需要少數(shù)個(gè)體的迭代即可在較短時(shí)間內(nèi)有效地探索整個(gè)可行空間[10]。需要說(shuō)明的是，目前應(yīng)用QEA計(jì)算多目標(biāo)電磁場(chǎng)逆問(wèn)題的研究成果還很少。有鑒于此，本文在目前流行的單目標(biāo)QEA 算法[10]的基礎(chǔ)上提出了一種矢量QEA 算法，并將其應(yīng)用于典型工程電磁場(chǎng)逆問(wèn)題的分析和計(jì)算。

2 矢量QEA 算法

2.1 QEA 算法

在量子計(jì)算中[10,14]，最小的信息單元是一由一對(duì)復(fù)數(shù)[α β]T組成的量子位或Q 位。量子位[α β]T可能處于“1”或“0”狀態(tài)，以及二者的任意組合。Q 位[α β]T的狀態(tài)可表示為

其中，|α|2和|β|2分別表示Q 位處于“0”或“1”的概率，二者滿足如下的歸一化條件：

與傳統(tǒng)進(jìn)化算法使用的位串對(duì)應(yīng)，由m 個(gè)Q 位組成的量子位串為

與傳統(tǒng)位串不同，由Q 位組成的量子位串是優(yōu)化變量取值的一種概率表示。因而QEA 的種群具有更好的多樣性[10]。值得注意的是，由于式（3）表示的是優(yōu)化變量的取值概率，一般通過(guò)觀察或測(cè)量量子位串獲得某一個(gè)特定的二進(jìn)制位串（個(gè)體）。

為控制量子位i 使其向最優(yōu)解進(jìn)化，QEA 在迭代過(guò)程中一般根據(jù)已經(jīng)搜索到的優(yōu)異解，通過(guò)量子門(mén)更新量子位取0 和1的概率αi和βi,。量子門(mén)是一個(gè)可逆的門(mén)，滿足U+U=UU+，（其中U+是U 的厄密伴隨矩陣）。QEA 應(yīng)用的量子門(mén)一般有非門(mén)、控制非門(mén)、旋轉(zhuǎn)門(mén)和Hadamard 門(mén)等[10,13]。

2.2 適值計(jì)算

為了搜索Pareto 最優(yōu)解，本文算法采用矢量進(jìn)化算法中普遍應(yīng)用的排序法計(jì)算某一個(gè)體的適值[15]。這種方法一般只能定性確定兩個(gè)個(gè)體之間的“支配”關(guān)系而不能確定某一個(gè)體優(yōu)于另一個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)總數(shù)。為解決這一問(wèn)題，對(duì)多目標(biāo)極小化問(wèn)題，本文引入了如下定義的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)異量，即

式中，N 為種群規(guī)模；m 為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量；sign(x)為符號(hào)函數(shù)，且

同時(shí)，為進(jìn)一步考慮某一具體目標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)“程度”，本文又提出了如下的目標(biāo)函數(shù)改進(jìn)“度”：

綜合式（5）和式（6），目標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)偏移總量為

式中，w1為權(quán)因子。

將式（7）的改進(jìn)偏移總量融于個(gè)體適值的賦值計(jì)算式，有

2.3 當(dāng)前最優(yōu)解的選取

前已述及，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解不唯一，為一系列Pareto 最優(yōu)解。因此，即便應(yīng)用本文提出的適值賦值式（8）計(jì)算適值，不同Pareto 最優(yōu)解的適值也可能相同。這一特點(diǎn)將增加當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)選取的困難。另一方面，某一個(gè)體的當(dāng)前最優(yōu)解可能在連續(xù)多個(gè)搜索周期內(nèi)保持不變，進(jìn)而引起算法的多樣性變差、算法不能均勻采樣Pareto 最優(yōu)解。此外，如果當(dāng)前最優(yōu)解總是從Pareto 最優(yōu)解中隨機(jī)選取，算法的收斂性能又將下降。

為解決上述問(wèn)題以保證算法全局搜索和局部細(xì)化搜索之間的良好平衡，本文算法引入了指示器矢量in(t)。指示器矢量的第j 個(gè)分量inj(t)記錄個(gè)體j當(dāng)前搜索到的最優(yōu)解 bj(t) 被選為優(yōu)異解更新相應(yīng)量子位的次數(shù)。引入該指示器矢量后，在選擇優(yōu)異個(gè)體更新量子位時(shí)，優(yōu)異個(gè)體bj(t)被選中的概率與inj(t) 的值成反比。此外，如果某一in(t) 分量的值超出了設(shè)定的臨界值，為了避免在相應(yīng)的優(yōu)異個(gè)體周?chē)M(jìn)行不必要的細(xì)化搜索而浪費(fèi)計(jì)算資源，算法將自動(dòng)舍棄該最優(yōu)解。

2.4 信息共享

為簡(jiǎn)化矢量QEA 的結(jié)構(gòu)與實(shí)現(xiàn)過(guò)程，本文算法刪除了標(biāo)量QEA 算法的最低水平的信息共享操作。為共享不同量子的信息以加快算法的收斂速度，并同時(shí)保持種群的多樣性，借鑒粒子群算法的基本思想，量子位個(gè)體的優(yōu)異解定義并更新為在最近Nl代搜索到的最優(yōu)解。由于一個(gè)優(yōu)異解最多只能保持N 代，本文提出的信息共享機(jī)制可以確保種群的多樣性。

2.5 偏移角的自適應(yīng)更新

為了從已搜索過(guò)的狀態(tài)提取目標(biāo)函數(shù)的全局統(tǒng)計(jì)信息以指導(dǎo)算法向優(yōu)異解進(jìn)化，QEA 算法采用旋轉(zhuǎn)門(mén)建立最優(yōu)解的概率分布模型。在旋轉(zhuǎn)操作中一般使用一個(gè)恒定的偏移角Δθ。研究表明，采用大的Δθ 可能導(dǎo)致算法過(guò)快收斂到局部極致點(diǎn)，而采用小的Δθ 則會(huì)減慢算法收斂速度[16]。為解決這一問(wèn)題提，本文提出了如下的Δθ 自適應(yīng)調(diào)整公式：

式中，t 為代數(shù)；λ為一個(gè)實(shí)常數(shù)。

顯然，在搜索的初始階段，本文矢量QEA 采用相對(duì)較小的Δθ 修改量子位，以確保生成種群的多樣性。而在搜索的最后階段，算法則采用較大的Δθ 修改量子位以保證算法以較快地速度收斂于Pareto 最優(yōu)解。

3 應(yīng)用實(shí)例

為了說(shuō)明本文矢量QEA 的性能，本文應(yīng)用不同模型問(wèn)題對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。限于篇幅，這里僅給出一個(gè)典型工程電磁場(chǎng)逆問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算實(shí)例為大型水輪發(fā)電機(jī)多段圓弧的幾何優(yōu)化問(wèn)題[17]，其數(shù)學(xué)模型為

式中，Bf1是發(fā)電機(jī)氣隙磁通密度基波分量的幅值；ev是電機(jī)空載情況下正弦電壓的失真度；THF 是電網(wǎng)諧波因數(shù)的縮寫(xiě)；Xd' 是發(fā)電機(jī)的直軸瞬態(tài)電抗；SCR 是短路比的縮寫(xiě)。

優(yōu)化變量為多段圓弧的圓心和半徑（見(jiàn)圖1）。該問(wèn)題的詳細(xì)描述見(jiàn)文獻(xiàn)[17,18]。為了說(shuō)明本文工作的有效性，分別應(yīng)用本文算法（QEA）和不包括本文前述改進(jìn)的標(biāo)準(zhǔn)矢量QEA 算法（SQEA）搜索該矢量?jī)?yōu)化問(wèn)題的Pareto 最優(yōu)解。計(jì)算時(shí)，采用有限元方法計(jì)算發(fā)電機(jī)空載條件下的磁場(chǎng)。為了說(shuō)明算法的魯棒性，每種算法獨(dú)立、隨機(jī)運(yùn)行5 次。運(yùn)行結(jié)果表明，SQEA 算法和改進(jìn)QEA 算法的平均迭代次數(shù)分別為2 016 和1 574。圖2 和圖3 分別給出了用改進(jìn)QEA 算法和SQEA 算法優(yōu)化某一300MW、44 極水輪發(fā)電機(jī)獲得的Pareto 最優(yōu)解。然后，通過(guò)比較不同算法搜索到的Pareto 解間的控制關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）在SQEA 算法搜索到的598 個(gè)Pareto 最優(yōu)解中，有129 個(gè)解由改進(jìn)QEA 算法搜索到的最優(yōu)解支配。換言之，這 129 個(gè)最優(yōu)解并不是真正的Pareto 最優(yōu)解。

（2）而在改進(jìn)QEA 算法搜索到的529 個(gè)Pareto最優(yōu)解中，僅有44 個(gè)解是由SQEA 算法的最終解支配，即這44 個(gè)解不是真正的Pareto 最優(yōu)解。

上述計(jì)算結(jié)果表明：

（1）改進(jìn)QEA 算法解的質(zhì)量?jī)?yōu)于SQEA 算法解的質(zhì)量，因?yàn)楹笳咦顑?yōu)解控制前者最優(yōu)解的數(shù)量少于前者最優(yōu)解控制后者最優(yōu)解的數(shù)量。

（2）改進(jìn)QEA 算法的收斂性能優(yōu)于SQEA 算法，前者的平均迭代次數(shù)小于后者的平均迭代次數(shù)。

圖1 多段圓弧極靴示意圖Fig.1 The schematic diagram of the multi-sectional pole shoes

圖2 改進(jìn)QEA 算法獲得的300MW 水輪發(fā)電機(jī)的Pareto 最優(yōu)解Fig.2 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the proposed algorithm QEA

圖3 SQEA 算法獲得的300MW 水輪發(fā)電機(jī)的Pareto 最優(yōu)解Fig.3 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the same problem algorithm SQEA

此外，為進(jìn)一步說(shuō)明本文矢量?jī)?yōu)化算法的優(yōu)越性，將本文算法搜索到的529 個(gè)Pareto 最優(yōu)解與文獻(xiàn)[18]改進(jìn)模擬退火算法搜索到的單一最優(yōu)解進(jìn)行了對(duì)比分析。比較結(jié)果表明，本文算法搜索到的529個(gè)Pareto 解中的第201 個(gè)解，與文獻(xiàn)[18]給出的最優(yōu)解幾乎完全相同。換言之，若采用本文算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的第201 個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，在其他條件都相同的條件下，發(fā)電機(jī)氣隙磁通密度基波幅值可提高近10%。因此，本文矢量?jī)?yōu)化算法具備傳統(tǒng)標(biāo)量?jī)?yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力。需要強(qiáng)調(diào)的是，本文算法除能夠搜索到傳統(tǒng)優(yōu)化算法搜索到的側(cè)重某一具體目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解外，還能給出側(cè)重不同目標(biāo)函數(shù)的系列最優(yōu)解。由此不難評(píng)價(jià)本文算法的優(yōu)越性和工程實(shí)用性。

4 結(jié)論

為解決電磁場(chǎng)逆問(wèn)題的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，本文提出了一種摒棄復(fù)雜遺傳算子和操作的矢量 QEA算法，并通過(guò)實(shí)例計(jì)算說(shuō)明了算法的有效性和優(yōu)越性。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，無(wú)論從計(jì)算效率還是從最優(yōu)解的質(zhì)量方面來(lái)看，改進(jìn)算法的性能都優(yōu)于原算法。

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