陳 殷 張昆侖 胡巧琳

（1.西南交通大學(xué)磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610031 2.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 成都 610031）

1 引言

為了合理地對航天器進(jìn)行設(shè)計(jì)與測試，通常需要在地面模擬必要的空間環(huán)境，其中利用重力平衡裝置建立失重環(huán)境為其重要組成部分之一[1,2]。目前常見的重力平衡方式包括機(jī)械吊裝和氣噴等[3,4]，而采用永磁陣列與反應(yīng)板相對運(yùn)動所產(chǎn)生的排斥力實(shí)現(xiàn)重力平衡的電磁式平衡裝置鮮見報(bào)道。機(jī)械吊裝方式不僅難以實(shí)現(xiàn)航天器任意軌跡的自由移動，且其控制系統(tǒng)復(fù)雜，可靠性較低。氣噴方式會破壞真空環(huán)境，因此其應(yīng)用范圍受到限制[5]。而本文所研究電磁方式克服了現(xiàn)有方案的不足，能實(shí)現(xiàn)真空狀態(tài)下的穩(wěn)定懸浮，并且其結(jié)構(gòu)簡單，安全可靠。該裝置通過電機(jī)帶動永磁陣列旋轉(zhuǎn)，在反應(yīng)板中產(chǎn)生渦流，通過永磁體磁場與感生磁場間相互作用產(chǎn)生懸浮力，其電磁場特性與永磁電機(jī)有類似之處。然而，永磁電機(jī)存在主動控制系統(tǒng)，可保證次級電流恒定，因此其電磁力計(jì)算較為簡單，與本文所研究被動懸浮系統(tǒng)有較大差別[6-8]。在研究其他被動電磁裝置時(shí)，例如電磁飛輪、電動懸浮以及永磁制動器，最常用的方法是有限元計(jì)算[9-13]。文獻(xiàn)[9,10]中建立了基于直線型Halbach 永磁陣列的渦流制動器模型，并設(shè)計(jì)了相關(guān)實(shí)驗(yàn)平臺予以驗(yàn)證。有限元法雖然結(jié)果準(zhǔn)確，但難以顯示不同參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。然而，當(dāng)采用解析法對該類問題研究時(shí)，由于電磁場計(jì)算的復(fù)雜性，通常假設(shè)反應(yīng)板無限厚或無限薄，以簡化研究對象[14,15]。由于趨膚深度與速度關(guān)系密切，因此該方法所能研究的速度區(qū)間非常有限，如文獻(xiàn)[14]中在研究直線型永磁電動懸浮時(shí)用面電流替代反應(yīng)板中體電流分布，最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該解析模型僅在一個(gè)較小的中等速度區(qū)間適用。文獻(xiàn)[16]中給出了電動懸浮的等效電路模型，從能量轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)提出了電磁力計(jì)算公式，但該模型僅適用于軌道為獨(dú)立線圈情況，與本文所研究的反應(yīng)板式懸浮不符。本文借鑒了前人研究成果，在此基礎(chǔ)上提出了盤式永磁陣列與反應(yīng)板之間的動態(tài)解析模型，并用ANSYS 有限元軟件對其準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證，最后對該裝置用于航天器重力平衡時(shí)懸浮力和懸浮剛度等重要指標(biāo)進(jìn)行了分析。

2 解析計(jì)算

2.1 盤式陣列模型

本文所研究電磁重力平衡裝置結(jié)構(gòu)如圖 1 所示，由固定于測試裝置的電機(jī)帶動盤式永磁陣列旋轉(zhuǎn)，使其與固定于地面的無限大反應(yīng)板發(fā)生相對運(yùn)動，在反應(yīng)板中產(chǎn)生渦流。

圖1 電磁重力平衡裝置示意圖Fig.1 The sketch map of the electromagnetic gravity balance device

一臺電機(jī)帶動一組永磁陣列構(gòu)成一個(gè)懸浮單元，不同單元對稱排列，故其在工作平面方向上產(chǎn)生的阻力相互抵消，最終僅表現(xiàn)為垂向懸浮力，從而可達(dá)到平衡重力的目的。

為了增加懸浮效率，永磁體采用盤式Halbach陣列，如圖2 所示。箭頭方向?yàn)橛来朋w磁化方向。該陣列可在增加氣隙磁場的同時(shí)大大削弱漏磁對測試環(huán)境的影響[17]。

圖2 盤式Halbach 陣列Fig.2 Discal Halbach permanent magnet array

當(dāng)半徑ρ 一定時(shí)，磁場在弧向（即θ 方向）上連續(xù)，與無限長直陣列磁場等效，故可將盤式陣列視為若干長直陣列在徑向（即ρ 方向）的積分，如圖3 所示。

圖3 盤式結(jié)構(gòu)展開Fig.3 Stretching of the discal array

由圖3 可知，盤式陣列展開成直線陣列后，極距τ 和線速度v 均為半徑ρ 的函數(shù)。

2.2 直線陣列電磁力計(jì)算

通常情況下，圓盤陣列徑向?qū)挾冗h(yuǎn)大于極距，反應(yīng)板中弧向與軸向電流可忽略[18]，此時(shí)盤式模型可等效為二維直線模型，坐標(biāo)關(guān)系如圖4 所示。

圖4 直線型Halbach 陣列Fig.4 Linear Halbach permanent magnet array

此時(shí)，Halbach 陣列的空間磁場可表示為[19]

式中，p=π/τ，且

式中，Br為永磁體剩磁；d、h、m 分別為懸浮氣隙、永磁體高度和一對極中所包含的模塊數(shù)（圖2、圖4所示均為4 模塊結(jié)構(gòu)）。

當(dāng)永磁體與反應(yīng)板以速度v 發(fā)生相對運(yùn)動時(shí)，感生電流為

寫作標(biāo)量形式即為

由矢量磁位和電位定義可知[20]

又根據(jù)麥克斯韋方程組

將式（5）代入式（6）可得

式中，k 為傳播函數(shù)

由洛倫茲規(guī)范

綜上可得[21]

又二維模型中A 與電流同向，故其僅存在x 分量Ax，由此式（10）可寫作

式中，i=1,2,3 表示圖4 所示不同區(qū)域。

式（11）為偏微分方程組，又在區(qū)域分界面上可得邊界條件：

（1）y→時(shí)∞

（2）y=0 時(shí)

（3）y=L 時(shí)

式中，K12、K23分別為銜接面處電流線密度，又區(qū)域（2）中存在有限電流面密度，故K12=K23=0。

根據(jù)矢量磁位定義有

式（11）的通解為

其中

C1～C6為待定常數(shù)，由邊界條件式（12）～式（15）確定，且反應(yīng)板中磁場為永磁體所產(chǎn)生靜態(tài)磁場與感生磁場的疊加。

故一對極下懸浮力為

2.3 盤式陣列電磁力計(jì)算

由第1.1 節(jié)可知，盤式陣列可等效為極距不同的直線陣列在徑向的積分，且極距和線速度均為半徑的函數(shù)

式中，n、ω 分別為盤式陣列的極對數(shù)和角速度。

此時(shí)式（18）中Je、均為ρ 的函數(shù)，故盤式陣列所產(chǎn)生電磁力可表示為

式中，r1、r2為永磁盤的內(nèi)外半徑。

3 有限元計(jì)算

本文采用ANSYS 有限元軟件建立了盤式永磁陣列與反應(yīng)板的三維有限元模型，如圖5 所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

為了提高網(wǎng)格質(zhì)量，保證計(jì)算精度，圖5 中采用掃描方式劃分網(wǎng)格，其中模型參數(shù)見表。

表 模型參數(shù)Tab. Parameters of the model

如圖1 所示，在一個(gè)包含N 個(gè)懸浮單元的重力平衡系統(tǒng)中，垂向力為單元懸浮力的線性疊加，即

因此本文以單一懸浮單元為例，有限元與解析計(jì)算結(jié)果如圖6 所示。本文中ANSYS 分析方法為節(jié)點(diǎn)法（MPV），使用單位為SOLID97，考慮到模型中材料均為線性特性，故采用SOLVE 線性求解方式。

圖6 有限元法與解析計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Comparison of the results between analytic calculation and FEM

由圖6 可知，解析計(jì)算與有限元模型有相當(dāng)高的吻合度，其平均相對誤差僅為4.39%。故本文所提出解析模型是準(zhǔn)確有效的。有限元計(jì)算為三維計(jì)算，此時(shí)反應(yīng)板中除了存在徑向電流外，還有弧向電流和軸向電流，這與二維解析計(jì)算假設(shè)不符，因此其是造成兩者誤差的主要原因。

4 不同參數(shù)對懸浮性能影響

4.1 氣隙與懸浮力關(guān)系

當(dāng)懸浮高度變化時(shí)，氣隙磁場將發(fā)生變化，會造成電磁力的改變，其將直接決定該重力平衡裝置的穩(wěn)定性。由圖6 可知，隨著轉(zhuǎn)速上升，懸浮力趨于穩(wěn)定，圖7 為轉(zhuǎn)速1 500r/min 時(shí)，氣隙與電磁力曲線。

圖7 懸浮力隨氣隙變化Fig.7 The levitation force with different air gaps

由圖7 看出，隨著氣隙增大懸浮力成指數(shù)衰減，裝置處在某一平衡位置時(shí)懸浮力與重力相等，當(dāng)外力擾動使氣隙增大時(shí)，懸浮力減小，此時(shí)被測裝置在重力作用下朝氣隙減小方向運(yùn)動，從而消除外力帶來的狀態(tài)改變；反之亦然，因此該裝置是自穩(wěn)定的。

4.2 氣隙與懸浮剛度關(guān)系

為了表征該裝置的抗干擾能力，引入懸浮剛度S，其定義為

其表征了氣隙變化一個(gè)單位時(shí)，懸浮力的變化量，該值越大懸浮穩(wěn)定性越強(qiáng)，圖8 為懸浮剛度隨氣隙變化關(guān)系。

圖8 懸浮剛度隨氣隙變化Fig.8 The levitation stiffness with different air gaps

由圖8 可知，隨著氣隙增加懸浮剛度降低，故懸浮穩(wěn)定性降低，系統(tǒng)抗干擾能力也同時(shí)降低。結(jié)合圖7、圖8 可得出結(jié)論，在保證反應(yīng)板平整度的基礎(chǔ)上，應(yīng)盡量選擇較小的懸浮氣隙。

4.3 反應(yīng)板厚度與懸浮力關(guān)系

本文所研究裝置需在實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)鋪設(shè)反應(yīng)板，反應(yīng)板厚度直接關(guān)系到其經(jīng)濟(jì)性，圖9 為不同反應(yīng)板厚度下，電磁力隨速度變化曲線。

圖9 反應(yīng)板厚度對懸浮力的影響Fig.9 The levitation force with different metal plate thicknesses

由圖9 看出，低速時(shí)反應(yīng)板越厚懸浮力越大，達(dá)到一定速度后，厚度對電磁力影響減弱。這是因?yàn)榈退贂r(shí)反應(yīng)板越厚電阻越小，產(chǎn)生的電流越大，因此電磁力越大。而高速時(shí)由于存在趨膚效應(yīng)，電流僅分布于反應(yīng)板表面，因而厚度對力影響較弱[21]。故在保證機(jī)械強(qiáng)度的基礎(chǔ)上可適當(dāng)減小反應(yīng)板厚度，以增加其經(jīng)濟(jì)性。

5 結(jié)論

在查閱國內(nèi)外相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有重力平衡裝置存在的缺陷，提出了基于盤式永磁陣列的新方案，實(shí)現(xiàn)了真空下的自穩(wěn)定懸浮，并推導(dǎo)出了電磁力計(jì)算的公式，通過仿真分析，證明了該解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性。此外，還就懸浮氣隙、反應(yīng)板厚度等不同參數(shù)對電磁力的影響進(jìn)行了分析。本文所研究裝置克服了現(xiàn)有方案存在的多種問題，具有較高的實(shí)用價(jià)值。且電磁力公式推導(dǎo)合理，結(jié)果準(zhǔn)確，對電磁減重在航天領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用具有一定積極意義。

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