近年來中考試題中開放性、創(chuàng)新性題目明顯增多，這些創(chuàng)新題對同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)具有重要的意義?，F(xiàn)就梯形創(chuàng)新題舉例說明。

一、探索型

例1 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB＜CD，且∠ABC為銳角，若AD=3，BC=11，E為BC上一點(diǎn)。

問：當(dāng)CE為何值時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形？ 請說明理由。

分析 本題是一道條件型探索題， 要使四邊形ABED是等腰梯形，則只要滿足AB=DE即可。

解 當(dāng)CE=AD=3時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形。

理由如下：在BC上截取CE=AD，連結(jié)DE、AE，

∵ AD∥BC， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∴ AE=CD=BD。

∵ BE=11-3=8＞3，即BE＞AD， ∴ AB不平行于DE， ∴ 四邊形ABED是梯形。

∵ AE∥CD，CD=BD，∴ ∠AEB=∠C=∠DBC。

在△ABE和△DEB中，AE=DB，∠AEB=∠DBE ，BE=EB，∴ △ABE≌△DEB， 則AB=DE， 即四邊形ABED是等腰梯形。

二、開放型

例2閱讀下題和分析過程，并按要求進(jìn)行證明。

已知，四邊形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC。請說明四邊形ABCD是等腰梯形。

分析：因?yàn)锳B＝DC，所以要說明四邊形ABCD是等腰梯形，只要說明四邊形ABCD是梯形即可。又因?yàn)锳D≠BC，故只需說明AD∥BC即可。要說明AD∥BC，現(xiàn)有圖2所示的四種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種，對原題進(jìn)行說明。

解法1 由已知可得△ABC≌△DCB，∴ ∠ABC＝∠DCB。

在圖2（1）中，作AE∥DC交BC于E。

∵ AE∥DC，∴ ∠AEB＝∠DCE。

則∠ABC＝∠AEB，即AB＝AE。∵ AB＝DC，∴ AE＝DC。

∴四邊形AECD為平行四邊形，∴ AD∥BC。

又∵ AB＝DC，AD≠BC，∴ 四邊形ABCD是等腰梯形。

解法2 在圖2（2）中，過A、D分別作BC的垂線交BC于E、F。

∵ ∠AEB＝∠DFC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，

∴ Rt△ABE≌Rt△DCF，則AE＝DF。

∵ AE⊥BC，DF⊥BC，∴ AE∥DF。

則四邊形AEFD是平行四邊形，∴ AD∥BC。

又∵ AB＝DC，AD≠BC，∴ 四邊形ABCD是等腰梯形。

至于圖2（3）、圖2（4）的證明，請同學(xué)們自己完成。

三、說理型

例3 把兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖3所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由。

分析 根據(jù)已知條件可知四邊形DECB是直角梯形，由于M是BD的中點(diǎn)，若作梯形的中位線，可得MN=EC，這樣可得到△EMC為直角三角形，再根據(jù)EN=NC，可知△EMC為等腰直角三角形。

解 作MN//DE交CE于點(diǎn)N，

∵ M為DB的中點(diǎn)，∴ MN=（DE+BC）。

又∵ DE=AC，EA=BC，∴ MN=（AE+AC）=EC，則△EMC為直角三角形，又EN=CN，MN⊥CE， EM=CM。∴ △EMC是等腰直角三角形。

四、設(shè)計(jì)型

例4 如圖4，有一塊梯形狀的農(nóng)田，現(xiàn)要平均分給兩個(gè)農(nóng)戶，試設(shè)計(jì)兩種方案，并給予合理的解釋。

分析 本題是一道方案設(shè)計(jì)型作圖題，也是一道開放型作圖題，作法不止一種。將梯形分割為兩部分的形狀不限。

方案1 設(shè)梯形的上、下底分別為a、b，高為h。如圖5，連結(jié)梯形的上、下底的中點(diǎn)E，F(xiàn)。

則S四邊形ABFE=S四邊形EFCD=。

方案2 如圖6，分別量出梯形的上、下底a、b的長， 在下底BC上截取BE=（a+b）， 連結(jié)AE，

則S△ABE=S四邊形AECD=。