李 琪， 張 文

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 撫州 344000)

尋找孤子方程的精確解是數(shù)學(xué)物理和孤立子理論中一個重要的研究課題。一些研究方法，如反散射變換法，達(dá)布變換，貝克隆變換，Hirota 方法，朗斯基技巧，變量分離法和Painlevé 分析等可以用來求解。其中獲得孤子解的直接而有效的方法是Hirota 方法(Hirota，1971)。該方法引入雙線性導(dǎo)數(shù)，尋找合適的變量變換，化孤子方程為雙線性導(dǎo)數(shù)方程，然后將擾動展開式代入到雙線性導(dǎo)數(shù)方程中，在一定條件下該展開式截斷至有限項，得到線性指數(shù)函數(shù)形式的單孤子解，雙孤子解的精確表達(dá)式和N-孤子解的一般表達(dá)式。Hirota 方法已廣泛應(yīng)用在連續(xù)孤子可積系統(tǒng)，并已推廣至高維和離散可積系統(tǒng)。孤子方程的精確解、可積性分析及數(shù)值模擬方法的應(yīng)用也是研究的熱點(高云，2010;李琪，2009;張文，2012)。

非線性薛定諤方程具有深刻的應(yīng)用背景，特別是近年來在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了連續(xù)、離散、耦合和向量非線性薛定諤方程，甚至已有研究高階和耦合情形(Ankiewicz，2010;Akhmediev，2011)。比如，Ivancevic 期權(quán)定價模型正是一個非線性薛定諤方程，此方程的怪波解精確的闡釋了金融風(fēng)暴。此方程的有理分式形式的爆破解描述了海洋怪波產(chǎn)生的機(jī)理。多維非線性薛定諤方程描述了兩個原子的偶極子相互作用的Bose-Einstein 凝聚問題(郭柏靈，2011;Guo，2011)。非線性薛定諤方程是著名的AKNS 譜問題的一個相容性條件。作為AKNS 譜問題的離散情形，與Ablowitz-Ladik 譜問題(Ablowitz，1991，2004)聯(lián)系的相關(guān)問題如可積分解(耿獻(xiàn)國，2007)，Ablowitz-Ladik 族的對稱(Zhang，2010a，b)得到探討。本文第1 節(jié)由譜問題

導(dǎo)出一個微分差分方程(空間離散)

及其相應(yīng)的Lax 對。第2 節(jié)給出方程的雙線性導(dǎo)數(shù)形式和N-孤子解，并分析單孤子的形狀和雙孤子的相互作用及退化情形。

1 微分差分方程的推導(dǎo)

考慮離散譜問題(1)和時間發(fā)展式

其中，φn= φ(t，n)，Qn= Q(t，n)，Rn= R(t，n)(n ∈Z)是依賴于變量t 和n 的光滑函數(shù)，當(dāng)| n| 趨于無窮時，φn，Qn和Rn充分快趨于零。An，Bn，Cn和Dn是依賴于t，n 和譜參數(shù)z 的未知函數(shù)。E表示平移算子，即E(fn)= fn+1- fn。首先，由相容性條件

得到零曲率方程

若把方程(1)和(3)中的矩陣和代入零曲率方程(4)，則有

這里算子L1和L2分別定義為

A0和D0是與n 無關(guān)的常數(shù)。為推導(dǎo)出方程(2)，假設(shè)z 與t 無關(guān)，且

從而得到方程(2)，且該方程相應(yīng)的Lax 對(1)和(3)中

2 微分差分方程的N-孤子解

本節(jié)中，定義微分算子Dn和eDn為

為得到方程(2)的N-孤子解，作變量變換

則方程(2)可化為雙線性導(dǎo)數(shù)形式

假設(shè)f(t，n)，g(t，n)和h(t，n)按ε 展成無窮級數(shù)

若代入方程(7)，并比較ε 的同次冪系數(shù)得

為得到方程(2)的單孤子解，由方程(9a)和(10a)，若取

代入(11)，得到

從而解得

為得到方程(2)的雙孤子解，由方程(8a)和(9a)，若取

代入(11b)，得

從而解得

從而得到方程(2)的雙孤子解為

一般的，方程(2)的N-孤子解可表示為

其中

A1(μ)，A2(μ)和A3(μ)表示取遍μj=0，1 所有可能的組合，還須分別滿足條件

3 結(jié)論

本文給出與離散Ablowitz-Ladik 譜問題相關(guān)的方程(1.2)及其Lax 對，通過Hirota 雙線性導(dǎo)數(shù)法，得到方程(1.2)的單孤子，雙孤子和N-孤子解，并對單孤子的形狀和雙孤子的相互作用進(jìn)行分析。此研究結(jié)果有助于推廣Hirota 雙線性導(dǎo)數(shù)法到離散Ablowitz-Ladik 方程族，得到整個方程族的-孤子解，從而進(jìn)一步分析解的性質(zhì)和應(yīng)用。

高云，樂勵華. 2010. Zakharov-Kuznetsov 方程新的周期解和孤立波解［J］. 東華理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，33(4):393-397.

郭柏靈. 2011. 非線性Schr?dinger 方程(I):Bose-Einstein 凝聚和怪將波現(xiàn)象［J］. 數(shù)學(xué)進(jìn)展，40(4):393-399.

李琪. 2009. 含自相容源的可積系統(tǒng)［J］. 東華理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，32(1):93-96.

張文，阮周生，邱淑芳，等，2012. 二維單裂隙-孔隙雙重介質(zhì)的核素遷移數(shù)學(xué)模型及參數(shù)反演［J］. 東華理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，35(4):422-427.

Ablowitz M J，Clarkson P A. 1991. Solitons，Nonlinear Evolution Equation and Inverse Scattering［M］. Cambridge:Cambridge University Press.

Ablowitz M J，Prinari B，Trubatch A D. 2004. Discrete and Continuous Nonlinear Schr?dinger Systems［M］. Cambridge:Cambridge University Press.

Akhmediev N，Ankiewicz A. 2011. Modulation instability，F(xiàn)ermi-Pasta-Ulam recurrence，rogue waves，nonlinear phase shift，and exact solutions of the Ablowitz-Ladik equation［J］. Physical Review E，83(4):046603-10.

Ankiewicz A，Akhmediev N，Soto-Crespo J M. 2010. Discrete rogue waves of the Ablowitz-Ladik and Hirota equations［J］. Physical Review E，82(8):026602-7.

Geng X G，Dai H H，Zhang J Y. 2007. Decomposition of the discrete Ablowitz-Ladik hierarchy［J］. Studies in Applied Mathematics，118(3):281-312.

Guo B L，Ling L M. 2011. Rogue Wave，Breathers and Bright-Dark-Rogue Solutions for the Coupled Schr?dinger Equations［J］. Chinese Physics Letters，28(11):110202-4.

Hirota R. 1971. Exact solution of the KdV equation for multiple collisions of solitons［J］. Physical Review Letters，27(18):1192-4.

Zhang D J，Chen S T. 2010. Symmetries for the Ablowitz–Ladik Hierarchy:Part I. Four-Potential Case［J］. Studies in Applied Mathematics，125(4):393-418.

Zhang D J，Chen S T. 2010. Symmetries for the Ablowitz–Ladik Hierarchy:Part II. Integrable Discrete Nonlinear Schr?dinger Equations and Discrete AKNS Hierarchy［J］. Studies in Applied Mathematics，125(4):419-443.