劉德志+張偉

摘 要：利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)微分方程理論，確立了馬爾可夫調(diào)制的碳排放期權(quán)價(jià)格隨機(jī)模型，同時(shí)給出了風(fēng)險(xiǎn)中性模型。在此基礎(chǔ)上，得到測(cè)量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫調(diào)制 碳排放 期權(quán) 隨機(jī)

中圖分類號(hào)：F740.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國(guó)際社會(huì)的高度關(guān)注，減少二氧化碳的排放成為各國(guó)面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機(jī)制是《京都議定書(shū)》規(guī)定的有效實(shí)現(xiàn)全球減排的三種靈活機(jī)制之一， 碳排放交易機(jī)制的建立對(duì)于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導(dǎo)減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會(huì)議召開(kāi)之前，我國(guó)作為負(fù)責(zé)任的大國(guó)，首次明確提出了碳減排目標(biāo)，為了在2020年之前實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，我國(guó)必須加快推進(jìn)碳排放交易機(jī)制的建立。

由于碳排放期權(quán)價(jià)格的重要性，因此引起了許多專家學(xué)者的關(guān)注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場(chǎng)已經(jīng)在全球范圍內(nèi)建立，以及交易市場(chǎng)對(duì)國(guó)際市場(chǎng)的現(xiàn)金流產(chǎn)生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應(yīng)的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎(chǔ)上，Insley給出了基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)模型，奠定了隨機(jī)模型基礎(chǔ)。馬爾可夫調(diào)制作為一個(gè)非常重要的研究課題，被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機(jī)模型受到國(guó)際政策、戰(zhàn)爭(zhēng)等突變因素的難題?；谏鲜龀晒?，該文立足于馬爾可夫調(diào)制的隨機(jī)模型，由此來(lái)研究碳排放期權(quán)價(jià)格的確立方法。

1 隨機(jī)模型

設(shè)是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運(yùn)動(dòng)。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉(zhuǎn)到狀態(tài)的概率。

假設(shè)與布朗運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的。易知的每一個(gè)樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個(gè)有限區(qū)間上至多含有有限多個(gè)跳躍點(diǎn)。

設(shè)碳排放的價(jià)格是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，且被約束為一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，考慮如下的隨機(jī)微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時(shí)刻排放一噸的價(jià)格，表示漂移率，表示波動(dòng)率，，且。由于碳排放價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，將進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，和應(yīng)用引理得到

（2）

且方程（2）的風(fēng)險(xiǎn)中性形式為

（3）

其中代表風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，。

2 主要方法和結(jié)論

設(shè)期權(quán)價(jià)格為，即未來(lái)排放一噸的價(jià)格，使得期貨合約的當(dāng)前值等于零，是在風(fēng)險(xiǎn)中性情況下的現(xiàn)貨價(jià)格。進(jìn)一步利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，得到

（4）

對(duì)上式兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)得

（5）

下面進(jìn)一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計(jì)上式中的參數(shù)。因?yàn)榭梢钥吹狡谪泩?bào)價(jià)，利用（4）式可以得到測(cè)量方程，因此不可觀測(cè)的現(xiàn)貨價(jià)格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測(cè)量方程為

（6）

其中是一個(gè)的矩陣，表示每天可以使用的期貨價(jià)格的個(gè)數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，則有；是一個(gè)的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時(shí)間。由于剩余時(shí)間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時(shí)間變化的情況下，上式就是一個(gè)卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關(guān)的誤差矩陣，且設(shè)均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗(yàn)證測(cè)量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關(guān)數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計(jì)出來(lái)的值。

3 結(jié)語(yǔ)

在這篇文章中，我們利用隨機(jī)微分方程和幾何布朗運(yùn)動(dòng)理論建立了碳排放期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)模型，并分析了此模型的風(fēng)險(xiǎn)中性和離散形式。在此基礎(chǔ)上，驗(yàn)證了卡爾曼濾波的條件，從而應(yīng)用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對(duì)隨機(jī)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。由于該文在隨機(jī)模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對(duì)現(xiàn)實(shí)突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實(shí)證部分奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)微分方程理論，確立了馬爾可夫調(diào)制的碳排放期權(quán)價(jià)格隨機(jī)模型，同時(shí)給出了風(fēng)險(xiǎn)中性模型。在此基礎(chǔ)上，得到測(cè)量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫調(diào)制 碳排放 期權(quán) 隨機(jī)

中圖分類號(hào)：F740.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國(guó)際社會(huì)的高度關(guān)注，減少二氧化碳的排放成為各國(guó)面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機(jī)制是《京都議定書(shū)》規(guī)定的有效實(shí)現(xiàn)全球減排的三種靈活機(jī)制之一， 碳排放交易機(jī)制的建立對(duì)于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導(dǎo)減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會(huì)議召開(kāi)之前，我國(guó)作為負(fù)責(zé)任的大國(guó)，首次明確提出了碳減排目標(biāo)，為了在2020年之前實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，我國(guó)必須加快推進(jìn)碳排放交易機(jī)制的建立。

由于碳排放期權(quán)價(jià)格的重要性，因此引起了許多專家學(xué)者的關(guān)注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場(chǎng)已經(jīng)在全球范圍內(nèi)建立，以及交易市場(chǎng)對(duì)國(guó)際市場(chǎng)的現(xiàn)金流產(chǎn)生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應(yīng)的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎(chǔ)上，Insley給出了基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)模型，奠定了隨機(jī)模型基礎(chǔ)。馬爾可夫調(diào)制作為一個(gè)非常重要的研究課題，被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機(jī)模型受到國(guó)際政策、戰(zhàn)爭(zhēng)等突變因素的難題?；谏鲜龀晒撐牧⒆阌隈R爾可夫調(diào)制的隨機(jī)模型，由此來(lái)研究碳排放期權(quán)價(jià)格的確立方法。

1 隨機(jī)模型

設(shè)是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運(yùn)動(dòng)。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉(zhuǎn)到狀態(tài)的概率。

假設(shè)與布朗運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的。易知的每一個(gè)樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個(gè)有限區(qū)間上至多含有有限多個(gè)跳躍點(diǎn)。

設(shè)碳排放的價(jià)格是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，且被約束為一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，考慮如下的隨機(jī)微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時(shí)刻排放一噸的價(jià)格，表示漂移率，表示波動(dòng)率，，且。由于碳排放價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，將進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，和應(yīng)用引理得到

（2）

且方程（2）的風(fēng)險(xiǎn)中性形式為

（3）

其中代表風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，。

2 主要方法和結(jié)論

設(shè)期權(quán)價(jià)格為，即未來(lái)排放一噸的價(jià)格，使得期貨合約的當(dāng)前值等于零，是在風(fēng)險(xiǎn)中性情況下的現(xiàn)貨價(jià)格。進(jìn)一步利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，得到

（4）

對(duì)上式兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)得

（5）

下面進(jìn)一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計(jì)上式中的參數(shù)。因?yàn)榭梢钥吹狡谪泩?bào)價(jià)，利用（4）式可以得到測(cè)量方程，因此不可觀測(cè)的現(xiàn)貨價(jià)格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測(cè)量方程為

（6）

其中是一個(gè)的矩陣，表示每天可以使用的期貨價(jià)格的個(gè)數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，則有；是一個(gè)的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時(shí)間。由于剩余時(shí)間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時(shí)間變化的情況下，上式就是一個(gè)卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關(guān)的誤差矩陣，且設(shè)均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗(yàn)證測(cè)量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關(guān)數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計(jì)出來(lái)的值。

3 結(jié)語(yǔ)

在這篇文章中，我們利用隨機(jī)微分方程和幾何布朗運(yùn)動(dòng)理論建立了碳排放期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)模型，并分析了此模型的風(fēng)險(xiǎn)中性和離散形式。在此基礎(chǔ)上，驗(yàn)證了卡爾曼濾波的條件，從而應(yīng)用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對(duì)隨機(jī)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。由于該文在隨機(jī)模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對(duì)現(xiàn)實(shí)突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實(shí)證部分奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)微分方程理論，確立了馬爾可夫調(diào)制的碳排放期權(quán)價(jià)格隨機(jī)模型，同時(shí)給出了風(fēng)險(xiǎn)中性模型。在此基礎(chǔ)上，得到測(cè)量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫調(diào)制 碳排放 期權(quán) 隨機(jī)

中圖分類號(hào)：F740.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國(guó)際社會(huì)的高度關(guān)注，減少二氧化碳的排放成為各國(guó)面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機(jī)制是《京都議定書(shū)》規(guī)定的有效實(shí)現(xiàn)全球減排的三種靈活機(jī)制之一， 碳排放交易機(jī)制的建立對(duì)于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導(dǎo)減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會(huì)議召開(kāi)之前，我國(guó)作為負(fù)責(zé)任的大國(guó)，首次明確提出了碳減排目標(biāo)，為了在2020年之前實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，我國(guó)必須加快推進(jìn)碳排放交易機(jī)制的建立。

由于碳排放期權(quán)價(jià)格的重要性，因此引起了許多專家學(xué)者的關(guān)注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場(chǎng)已經(jīng)在全球范圍內(nèi)建立，以及交易市場(chǎng)對(duì)國(guó)際市場(chǎng)的現(xiàn)金流產(chǎn)生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應(yīng)的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎(chǔ)上，Insley給出了基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)模型，奠定了隨機(jī)模型基礎(chǔ)。馬爾可夫調(diào)制作為一個(gè)非常重要的研究課題，被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機(jī)模型受到國(guó)際政策、戰(zhàn)爭(zhēng)等突變因素的難題?；谏鲜龀晒?，該文立足于馬爾可夫調(diào)制的隨機(jī)模型，由此來(lái)研究碳排放期權(quán)價(jià)格的確立方法。

1 隨機(jī)模型

設(shè)是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運(yùn)動(dòng)。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉(zhuǎn)到狀態(tài)的概率。

假設(shè)與布朗運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的。易知的每一個(gè)樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個(gè)有限區(qū)間上至多含有有限多個(gè)跳躍點(diǎn)。

設(shè)碳排放的價(jià)格是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，且被約束為一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，考慮如下的隨機(jī)微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時(shí)刻排放一噸的價(jià)格，表示漂移率，表示波動(dòng)率，，且。由于碳排放價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，將進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，和應(yīng)用引理得到

（2）

且方程（2）的風(fēng)險(xiǎn)中性形式為

（3）

其中代表風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，。

2 主要方法和結(jié)論

設(shè)期權(quán)價(jià)格為，即未來(lái)排放一噸的價(jià)格，使得期貨合約的當(dāng)前值等于零，是在風(fēng)險(xiǎn)中性情況下的現(xiàn)貨價(jià)格。進(jìn)一步利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，得到

（4）

對(duì)上式兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)得

（5）

下面進(jìn)一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計(jì)上式中的參數(shù)。因?yàn)榭梢钥吹狡谪泩?bào)價(jià)，利用（4）式可以得到測(cè)量方程，因此不可觀測(cè)的現(xiàn)貨價(jià)格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測(cè)量方程為

（6）

其中是一個(gè)的矩陣，表示每天可以使用的期貨價(jià)格的個(gè)數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，則有；是一個(gè)的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時(shí)間。由于剩余時(shí)間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時(shí)間變化的情況下，上式就是一個(gè)卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關(guān)的誤差矩陣，且設(shè)均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗(yàn)證測(cè)量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關(guān)數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計(jì)出來(lái)的值。

3 結(jié)語(yǔ)

在這篇文章中，我們利用隨機(jī)微分方程和幾何布朗運(yùn)動(dòng)理論建立了碳排放期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)模型，并分析了此模型的風(fēng)險(xiǎn)中性和離散形式。在此基礎(chǔ)上，驗(yàn)證了卡爾曼濾波的條件，從而應(yīng)用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對(duì)隨機(jī)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。由于該文在隨機(jī)模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對(duì)現(xiàn)實(shí)突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實(shí)證部分奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint