汪秋分，宋海洲

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

設(shè)G是一個(gè)簡單的連通圖［1］，G＝（V，E）.其頂點(diǎn)集V＝｛v1，v2，…，vn｝，邊集E＝｛e1，e2，…，em｝.記頂點(diǎn)vi的度為di，i＝1，2，…，n.記D（G）＝diag｛d1，d2，…，dn｝和A（G）分別為G的度對角矩陣和鄰接矩陣［2］，則L（G）＝D（G）－A（G）為G的拉普拉斯矩陣［3］.顯然，L（G）是半正定、對稱和奇異的.稱L（G）的特征值為G的拉普拉斯特征值，記為μ（G）＝μ1（G）≥μ2（G）≥…≥μn（G）＝0.特別的，稱μ（G）為G的拉普拉斯譜半徑［4］.樹是含n個(gè)頂點(diǎn)，n－1條邊的簡單連通圖.圖G中所有的度為1的頂點(diǎn)稱為圖G的懸掛點(diǎn)［5］.記NG（v）表示圖G中與v相鄰接的頂點(diǎn)集，dv表示圖G中頂點(diǎn)v的度.有關(guān)圖的拉普拉斯譜半徑的結(jié)果有很多，如郭繼明［6］的加邊或嫁接邊對圖的拉普拉斯譜半徑的影響，袁西英等［7］的樹的運(yùn)算及其Laplace譜，郭繼明［8］的樹的拉普拉斯譜半徑，譚尚旺［9］的關(guān)于樹的拉普拉斯譜半徑，張曉東［10］的給定度序列的樹的拉普拉斯譜半徑，等等.本文給出了圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)及應(yīng)用，并得到了一些有關(guān)圖的移接變形對拉普拉斯譜半徑影響的結(jié)果.

1 相關(guān)定義與性質(zhì)

1.1 圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的定義

介紹其定義之前，先證明一個(gè)定理.

定理1設(shè)G＝（V，E）是一個(gè)簡單的連通圖，且｜V｜＝n.記L（G）為圖G的拉普拉斯矩陣，有時(shí)也簡記為L，μ（G）為圖G的拉普拉斯譜半徑.則對于向量x∈Rn×1，有

1）μ（G）＝為L（G）的n個(gè)特征值；

2）μ（G）＝

3）若‖x‖＝1，且x′L（G）x＝μ（G），則L（G）x＝μ（G）x.

證明 1）由拉普拉斯譜半徑的定義容易證明.

2）由于L（G）是一個(gè)實(shí)對稱矩陣，因此，存在一個(gè)正交矩陣P，使得P－1LP＝diag（μ1，μ2，…，μn），其中，μ1，μ2，…，μn為L（G）的n個(gè)實(shí)特征值.

令diag（μ1，μ2，…，μn）＝D，P＝（P1，P2，…，Pn），x＝Py，則有

又由于P是正交矩陣，并且有x＝Py.因此，當(dāng)‖x‖＝1時(shí)，有‖y‖＝1.不失一般性，可假設(shè)μ1≤μ2≤…≤μn.因而有

令y＊＝en＝（0，0，…，0，1）′n×1，記x＊＝Py＊＝Pn，則上面不等式等號成立.因此有

3）設(shè)μ1，μ2，…，μn為L（G）的n個(gè)特征值，P，D，y的含義同2）.不失一般性，可設(shè)μ1≤μ2≤…≤μn.則由1）可知μ（G）＝μn.又由于x′L（G）x＝μ（G），因此x′L（G）x＝y(tǒng)′Dy＝μ（G）＝μn.即有y′Dy＝μn.

易知L（G）是一個(gè)實(shí)對稱半正定矩陣，且μ1＝0，μn＞0.不妨假設(shè)實(shí)數(shù)s（1≤s≤n）是滿足μs＜μs＋1且μs＋1＝μn的最大自然數(shù).所以y＝（01×s，Z）1×n，其中，實(shí)向量Z∈R1×（n－s）且‖Z‖＝1.記Z＝（ys＋1，ys＋2，…，yn），則有可知x是L（G）的對應(yīng)于的特征向量，因此有L（G）x＝μ（G）x.

下面給出圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的定義.

定義1設(shè)G＝（V，E）是一個(gè)簡單的連通圖.若向量x∈Rn×1滿足‖x‖＝1，且x′L（G）x＝μ（G），則稱x為圖G的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量.

1.2 圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)

下面給出有關(guān)圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的一些性質(zhì).

定理2設(shè)T是一棵樹，其頂點(diǎn)集V＝｛v1，v2，…，vn｝.記L（T）為T的拉普拉斯矩陣，μ（T）為T的拉普拉斯譜半徑.若x為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，且x＝（x1，x2，…，xn）′.則有：1）x為實(shí)向量；2）｜x｜＞0，其中，｜x｜＝（｜x1｜，｜x2｜，…，｜xn｜）′.

證明 1）由題意可知：L（T）是實(shí)對稱矩陣.又μ（T）也為實(shí)數(shù)，因此，x為實(shí)向量.

2）反證法.假設(shè)｜x｜＞0不成立，必然存在一個(gè)頂點(diǎn)集H＝｛vj1，vj2，…，vjt｝，使xjl＝0（l＝1，2，…，t），其中，1≤t≤n，1≤j≤n，xj為頂點(diǎn)vj對應(yīng)于一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量的分量.

又由于x為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，因而有‖x‖＝1.所以x≠0，且存在頂點(diǎn)v∈V（T）使得xv＝0，及頂點(diǎn)u∈NT（v）使得xu≠0.

設(shè)T是以頂點(diǎn)v為根節(jié)點(diǎn)的根樹，記NT（v）＝｛w1，w2，…，ws｝.另記Ti為由wi及wi的所有子孫組成的子樹，i＝1，2，…，s.令yv＝xv＝0，ywi＝｜xwi｜，當(dāng)xwi≥0時(shí)，有yj＝xj（vj∈Ti），當(dāng)xwi＜0時(shí)，有yj＝－xj（vj∈Ti），i＝1，2，…，s.

因此，有ywi≥0，i＝1，2，…，s，‖y‖＝1且y′L（T）y＝x′L（T）x＝μ（T）.由定義1可知，y是T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量.根據(jù)定理1可得L（T）y＝μ（T）y.又已知L（T）＝D（T）－A（T），則（D（T）－A（T））y＝μ（T）y.故（（D（T）－μ（T）I）y）v＝（A（T）y）v.因此可得

然而ywi≥0，且存在i0＝∈｛1，2，…，s｝，使得wi0＝u滿足yu＞0.因而，從而導(dǎo)致矛盾，原命題成立.

定理3設(shè)T是一棵樹，v是T的一個(gè)頂點(diǎn)，v1，v2，…，vs是與v相鄰的懸掛點(diǎn).若x＝（x1，x2，…，xn）′為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，這里xi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n，則xvj＝xvi，1≤i＜j≤s.

證明 由于x＝（x1，x2，…，xn）′為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，由定理1及定義1可得

又已知L（T）＝D（T）－A（T），則有（D（T）－A（T））x＝μ（T）x，所以可得（（D（T）－μ（T）I）x）vi＝（A（T）x）vi＝xv，i＝1，2，…，s.從而有（1－μ（T））xv1＝xv，（1－μ（T））xv2＝xv，…，（1－μ（T））xvs＝xv.因此xvj＝xvi（1≤i＜j≤s）.

定理4設(shè)T＝（V，E）是一棵樹，其頂點(diǎn)集V（T）＝｛v1，v2，…，vn｝，邊集記為E（T）.若x＝（x1，x2，…，xn）′為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，xi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n.則有：1）對于任意邊uv∈E（T），有

證明 1）由于x為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，由定義1可得

對任意uv∈E（T），由定理2可得｜xu｜＞0且｜xv｜＞0，所以有xuxv≠0.

設(shè)存在邊uv∈E（T）使得xuxv＞0.設(shè)T是以r為根節(jié)點(diǎn)的根樹，可設(shè)頂點(diǎn)u是頂點(diǎn)v的父節(jié)點(diǎn)（圖1）.設(shè)T1＝（V1，E1）是由v及v的所有子孫組成的k層子樹（圖2）.不失一般性，假設(shè)xu＞0，故xv＞0.

取y＝（y1，y2，…，yn）′，令yi＝xi（i?V1），yw1＝－｜xw1｜（w1是T1的第1層上的頂點(diǎn)，即w1＝v），yw2＝（－1）2｜xw2｜（任意w2是T1的第2層上的頂點(diǎn)），…，ywk＝（－1）k｜xwk｜（任意wk是T1的第k層上的頂點(diǎn)）.則有‖y‖＝‖x‖＝1，且有

圖1 頂點(diǎn)u是頂點(diǎn) v的父節(jié)點(diǎn) Fig.1 Vertex uis the father vertex of vertex v

圖2 v及v的所有子孫 組成的k層子樹Fig.2 Subtree with klevels obtained fromv and v′s descendants

因此，存在一個(gè)單位向量y＝（y1，y2，…，yn）′，使μ（T）＜y′L（T）y.這與定理1矛盾，故有xuxv＜0.

2）由于x為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，因而有（D（T）－A（T））x＝μ（T）x.因此（dvi－所 以 有從 而，所以

2 圖的拉普拉斯譜半徑對應(yīng)的特征向量的應(yīng)用

2.1 加邊對圖的拉普拉斯譜半徑的影響

定理5設(shè)u，v是樹T的兩個(gè)頂點(diǎn).記頂點(diǎn)u，v之間的距離為d（u，v）＝k，其中，k為奇數(shù)且k≥3.若G是由T添加新邊設(shè)uv后所得到的圖，則有μ（G）＞μ（T）.

證明 設(shè)x＝（x1，x2，…，xn）′為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，xi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n.由于k為奇數(shù)且k≥3，由前面定理4可得：xuxv＜0.記T與G的邊集分別為E（T）和E（G），因此有

即μ（G）＞μ（T）.

2.2 嫁接對圖的拉普拉斯譜半徑的影響

定理6設(shè)u，v是樹T的兩個(gè)頂點(diǎn)，T＝（V（T），E（T）），且有NT（v）／（NT（u）∪｛u｝）＝｛v1，v2，…，vs｝，1≤s≤dv，設(shè)x＝（x1，x2，…，xn）′為T的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，xi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n，T＊是由T刪除邊vvi，添加邊uvi后所得到的樹（1≤i≤s）（圖3）.若｜xu｜≥｜xv｜，則μ（T）＜μ（T＊）.

證明 對于樹T，設(shè)T＝（V，E）形成一根樹，且頂點(diǎn)v是v1，v2，…，vs的父節(jié)點(diǎn).令T1是由頂點(diǎn)v，v1，v2，…，vs及v1，v2，…，vs的所有子孫組成的子樹，T1＝（V1，E1）.類似的，對于樹T＊，設(shè)T＊＝（V＊，E＊）形成一根樹，u為其根節(jié)點(diǎn)，并且頂點(diǎn)u是v1，v2，…，vs的父節(jié)點(diǎn).令T＊1是由頂點(diǎn)u，v1，v2，…，vs及v1，v2，…，vs的所有子孫組成的子樹，且T＊1的層次（高度加1）為k.記E′1＝E1／｛vv1，vv2，…，vvs｝.

令yi＝xi（vi∈V／V（T1）），yv＝xv，yw1＝－sgn（xu）｜xw1｜（任意w1是T＊1的第2層上的頂點(diǎn)），yw2＝（－1）2sgn（xu）｜xw2｜（任意w2是T＊1的第3層上的頂點(diǎn)），…，ywk－1＝（－1）k－1sgn（xu）｜xwk－1｜（任意wk－1是T＊1的第k層上的頂點(diǎn)）.則可得‖y‖＝1，且

圖3 樹T和樹T＊Fig.3 Tree Tand T＊

即有y′L（T＊）y≥x′L（T）x.因此

故有μ（T）≤μ（T＊）.

若μ（T）＝μ（T＊），則式（1）中等號成立，故有μ（T）＝y(tǒng)′L（T＊）y＝μ（T＊）.因而，由定理1可以得L（T＊）y＝μ（T＊）y.又L（T＊）＝D（T＊）－A（T＊），所以

式（2）中：dT＊（v）為頂點(diǎn)v在樹T＊中的度.

又L（T）x＝μ（T）x，類似的有

由式（2）～（3）可得

不失一般性，設(shè)xv＞0.

若xu＞0，由定理4可得因而有μ（T）＞μ（T＊），這與假設(shè)矛盾.

若xu＜0，由定理4可得有μ（T）＞μ（T＊），這也與假設(shè)矛盾.

綜上所述，若｜xu｜≥｜xv｜，則μ（T）＜μ（T＊）.

推論1設(shè)T＊是如定理6所定義的樹，若y＝（y1，y2，…，yn）′為T＊的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，yi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n，則｜yu｜＞｜yv｜.

證明 反證法.若｜yu｜≤｜yv｜，由定理6可得μ（T）＞μ（T＊）.這與定理6結(jié)論矛盾，顧原命題成立.

推論2設(shè)G＝（V，E）為含n個(gè)頂點(diǎn)的樹，r，s，t是G的三個(gè)不同的頂點(diǎn)，且rs∈E（G），rt?E（G）.設(shè)G＊是由G刪除邊rs添加邊rt后所得到的樹.設(shè)x＝（x1，x2，…，xn）′為G的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，xi對應(yīng)于頂點(diǎn)vi，1≤i≤n；x＊＝（x＊1，x＊2，…，x＊n）′為G＊的一個(gè)規(guī)范拉普拉斯譜向量，x＊i對應(yīng)于頂點(diǎn)v＊i，1≤i≤n.若｜xt｜≥｜xs｜，則｜x＊t｜＞｜x＊s｜.

證明 顯然，由題意可知，G是由G＊刪除邊rt添加邊rs后所得到的樹.假設(shè)｜x＊t｜≤｜x＊s｜，由定理6可得μ（G）＞μ（G＊）.又｜xt｜≥｜xs｜，由定理6得μ（G）＜μ（G＊）.這樣導(dǎo)致矛盾，因此原命題成立.

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