宋和平王國利

①(江蘇大學計算機科學與通信工程學院 鎮(zhèn)江 212013)②(中山大學信息科學與技術(shù)學院 廣州 510006)

1 引言

近年來，稀疏信號處理成為信號處理和應用數(shù)學等領域的一個新研究熱點，特別是新興發(fā)展的壓縮傳感(Compressed sensing, CS)理論[1,2]。壓縮傳感為稀疏信號處理提供了一個新的方向，可以通過欠采樣的線性測量重構(gòu)稀疏信號。壓縮傳感開創(chuàng)了很多新的應用，為此，多個國際期刊專門為壓縮傳感出版了?？偨Y(jié)了當前的研究進展[35]-。

壓縮傳感由欠采樣的線性測量重構(gòu)未知稀疏信號，其稀疏信號重構(gòu)是求解一個帶稀疏約束的欠定線性問題即0?優(yōu)化問題。然而，0?問題是個NP難的非凸組合問題。為此，壓縮傳感的奠基工作[1,2]提出用1?問題代替0?問題，即基追蹤(Basis Pursuit,BP)問題[6]。此后，很多研究人員提出各種稀疏信號重構(gòu)的計算方法[7]。一般地可以分為3種：凸松弛算法、貝葉斯推理和貪婪算法。凸松弛算法將稀疏信號重構(gòu)的0?問題替換為凸優(yōu)化問題，如BP算法[6]等。貝葉斯推理算法由稀疏先驗模型求解最大后驗估計，如貝葉斯壓縮傳感(Bayesian Compressive Sensing, BCS)[8]等。凸松弛算法依賴于最優(yōu)化算法的實現(xiàn)，相對來說計算比較復雜耗時；貝葉斯推理算法依賴于信號的先驗假設，而且算法參數(shù)比較多。貪婪算法具有易于設計實現(xiàn)、計算復雜度相對低的特點，吸引了很多研究者的關注。常見的算法有正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[9]、子空間追蹤(Subspace Pursuit, SP)[10]、壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit, CoSaMP)[11]、分階段正交匹配追蹤(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit,StOMP)[12]和迭代硬閾值化算法(Iterative Hard Thresholding, IHT)[13]等。迭代硬閾值化是一種簡單實用的稀疏信號重構(gòu)方法，但其收斂速度比較慢。最近，文獻[14]提出一種新的加速算法雙超松弛閾值化算法(Double OverRElaxation thresholding,DORE)。DORE算法是一種基于條件期望值最大化(Expectation Conditional Maximization Either,ECME)迭代的加速算法，其中 ECME由方差未知的高斯模型推導。對稀疏度k未知情況，文獻[14]提出一種自動雙超松弛閾值化算法(Automatic Double OverRElaxation thresholding, ADORE)。借用文獻[15]的概念，本文把這一類算法分為單階段閾值化(One-Stage Thresholding, OST)和雙階段閾值化(Two-Stage Thresholding, TST)①閾值化(Thresholding)是一種非線性函數(shù)，如 MATLAB 函數(shù)wthresh，定義硬閾值化；軟閾值化。本文所述的雙階段閾值化是文獻[15]中TST概念的推廣。。

鑒于單次求解 BP問題的稀疏重構(gòu)結(jié)果不夠理想，特別是對測量次數(shù)相對較少的情況，文獻[16]提出一種迭代改進 BP的算法迭代支持集檢測(Iterative Support Detection, ISD)，其思想是通過迭代支持集檢測來改善 BP算法的重構(gòu)結(jié)果。ISD是一個算法框架，具體實現(xiàn)依賴于支持集檢測方法。本文借鑒ISD算法中支持集檢測的思想，把ISD算法應用于貪婪算法，提出一種新的稀疏信號重構(gòu)算法框架閾值化迭代檢測估計(Iterative Detection Estimation with Thresholding, IDET)。IDET算法框架為設計新的貪婪算法提供了思路，設計新的貪婪算法包括兩個方面：(1)選擇 OST算法的迭代步作為支持集檢測的參考；(2)根據(jù)稀疏信號的特征設計支持集檢測方法。同時，本文提出該算法框架的實現(xiàn)算法。該實現(xiàn)算法首先檢測IHT算法的迭代步得到一個支持集，然后通過求解支持集上的最小二乘問題來估計待重構(gòu)的稀疏信號，迭代上述兩個步驟直至滿足停止條件。IDET算法的關鍵在于支持集檢測，本文提出3種適用于快速衰減信號[16]的支持集檢測方法?？焖偎p信號是指信號的絕對值從大到小衰減很快，常見的有稀疏高斯信號、稀疏拉普拉斯信號和一些冪律衰減信號。

2 基于閾值化的稀疏重構(gòu)算法

本文關注的是迭代貪婪算法，借用文獻[15]的概念，把這一類算法分為單階段閾值化OST和雙階段閾值化 TST算法。OST算法是本文對應文獻[15]中TST提出的概念，是指對算法迭代步進行一次閾值化就能重構(gòu)稀疏信號的算法。下面將分別介紹OST算法和TST算法。另外，本節(jié)將介紹相關的迭代支持集檢測ISD算法。

2.1 單階段閾值化

文獻[14]由高斯概率框架推導出ECME迭代：

2.2 雙階段閾值化

考慮壓縮傳感的稀疏信號重構(gòu)問題，雙階段閾值化TST算法的目的是檢測一個支持集I來近似測量向量。待重構(gòu)的稀疏信號初始賦值為,TST算法迭代計算下面兩個步驟：

(1)支持集檢測：檢測信號x的支持集I，即選擇測量矩陣A的哪些列去生成測量向量y，或者說確定用信號x的哪些分量來稀疏表示x。

(2)信號估計：通過求解支持集I上的最小二乘問題來更新待重構(gòu)的稀疏信號x，其中支持集定義為表示集合I在上的補集。TST算法的支持集檢測和信號估計分別被認為是一次閾值化，不同算法在支持集檢測上各不相同，如OMP, SP, CoSaMP,StOMP等算法分別采用不同的策略進行支持集檢測；信號估計都采用支持集上的最小二乘法。

2.3 迭代支持集檢測

迭代支持集檢測 ISD算法[16]的提出是基于 BP算法的稀疏重構(gòu)結(jié)果，其思想是通過迭代支持集檢測來改善 BP算法的重構(gòu)性能。初始一個支持集, ISD算法迭代計算下面兩個步驟：

(2)支持集檢測： 以第(1)步重構(gòu)結(jié)果x作為參考檢測得到一個支持集I。

迭代支持集檢測(ISD)是一個算法框架，具體實現(xiàn)依賴于支持集檢測方法。文獻[16]針對快速衰減信號提出幾種有效的支持集檢測方法。這里只介紹其中一種簡單實用的閾值化方法(如不作特別說明，下文中ISD算法特指由式(4)定義的方法)。

3 閾值化迭代檢測估計

鑒于ISD算法在理論和應用上的成功，本文把ISD算法中支持集檢測的思想應用到雙階段閾值化TST算法，提出一種新的稀疏信號重構(gòu)算法框架閾值化迭代檢測估計(IDET)，其算法流程如圖1所示。閾值化迭代檢測估計IDET屬于TST算法，它利用 OST算法作為其中支持集檢測的參考。IDET算法設計的關鍵在于：(1)選擇合適的OST算法迭代步作為支持集檢測的參考；(2)根據(jù)稀疏信號的特征設計支持集檢測方法。由于ECME的迭代步需要計算存儲逆矩陣，特別不適用于大規(guī)模應用，本文采用較為簡單的IHT迭代步作為支持集檢測的參考，設計IDET的實現(xiàn)算法。該實現(xiàn)算法首先檢測IHT算法的迭代步得到一個支持集I，然后通過求解支持集I上的最小二乘問題來估計待重構(gòu)的稀疏信號，迭代上述兩個步驟直至滿足停止條件。

IDET算法的關鍵在于支持集檢測，根據(jù)文獻[16]對稀疏信號特征的觀察，本文相應的只設計適用于快速衰減信號的支持集檢測方法，提出3種不同的方法。綜上，提出的IDET實現(xiàn)算法描述為：

圖1 閾值化迭代檢測估計(IDET)的算法流程圖

(2)支持集檢測：更新信號估計：

檢測支持集I：

(3)信號估計：估計信號：

更新殘差信號：。

本文提出了3種支持集檢測方法，相應的IDET實現(xiàn)算法命名為IDET-k, IDET-β和IDET-γ，其中是閾值化參數(shù)。

評注：

(1)IDET算法是本文借鑒ISD算法思想提出的算法框架，其實現(xiàn)算法采用OST算法IHT的迭代步作為參考來檢測支持集I。文獻[20]是本文算法框架的特例，該算法由基于 Bernoulli-Gaussian模型的二值假設檢驗推導的迭代步也是IHT的迭代步，但其不涉及支持集檢測方法的設計。OMP, SP,CoSaMP等方法采用殘差信號與測量矩陣的相關度作為檢測支持集的參考，而是最小二乘的負梯度。IDET實現(xiàn)算法中支持集檢測參考的是最小二乘的梯度下降迭代步，梯度下降迭代步由于提供了稀疏信號估計在算法設計上更為靈活，可以根據(jù)稀疏信號的不同特點設計不同的支持集檢測方法。

關于Beats1的運行模式研究，不僅需要分析其優(yōu)勢，還應分析其不足，以便形成更客觀和更全面的認識，探索具有良好前景的發(fā)展途徑。 例如： 目前電臺產(chǎn)業(yè)的主要用戶群體是中老年人，而使用蘋果公司產(chǎn)品的主要是青年群體，如何進一步吸引青年群體對音樂的電臺模式的興趣已成為亟待解決的問題； 另外，網(wǎng)絡科技的高速發(fā)展帶來了音樂產(chǎn)品頻繁的更新?lián)Q代，Beats1如何適應產(chǎn)品的快速變化也是不容忽視的方面。 這些都是筆者下一步研究中需要深入探索的課題。

(2)IDET-β算法的支持集檢測方法與ISD算法類似，都是通過與指數(shù)遞減的閾值相比保留絕對值較大的分量。IDET-γ算法的支持集檢測方法則保留當前檢測到的支持集I，下次迭代在支持集I的補集上作檢測。這兩種支持集檢測方法都不像IDET-k一樣每次迭代確定支持集的勢為k，適用于稀疏度k未知的應用。

(3)IDET算法思想與ISD算法類似，關鍵的區(qū)別在于支持集檢測方法。它們最大的不同之處在于支持集檢測參考的是不同的稀疏重構(gòu)方法。IDET算法支持集檢測參考的是OST，而ISD算法支持集檢測參考的是BP。由此可見IDET算法比ISD算法在計算復雜度上更具優(yōu)勢。IDET估計信號采用的是支持集I上的最小二乘法，而ISD估計信號是在支持集I的補集上求解BP。由此可見IDET算法比ISD算法更適合于大規(guī)模應用。

(4)IDET算法可認為是一種與 DORE不同的OST加速算法。DORE先通過IHT估計稀疏信號，然后通過兩步超松弛加速算法，最后進行一次硬閾值化來保證重構(gòu)的稀疏信號是k稀疏的。DORE需要知道先驗稀疏度k，而 IDET-β,IDET-γ不需要這個強條件，只需給定一個閾值化參數(shù)即可。采用自動雙超松弛閾值化ADORE需要很多次的DORE來估計稀疏度k。

(5)閾值化迭代檢測估計的IDET-β和IDET-γ跟閾值化參數(shù)有關。閾值化參數(shù)越大稀疏重構(gòu)效果越好，相應地其支持集I增加地越慢，這樣需要更多的迭代次數(shù)(見實驗部分)。

(6)與其他貪婪算法，如OMP, SP, CoSaMP等不同，閾值化迭代檢測估計的 IDET-k每次迭代確定支持集的勢為k，而不是逐次增加 1或多個(k,2k)索引到支持集I后再進行一次硬閾值化。IDET-β的支持集I是非遞增或嵌套的，而 IDET-γ的支持集I是遞增或嵌套的。

(7)正如ISD算法所討論，閾值化迭代檢測估計的IDET-β和IDET-γ只適用于快速衰減信號，對那些信號絕對值衰減很慢甚至不衰減(如二值 0/+1、三值0/-1/+1信號)情況不適用，閾值化迭代檢測估計的 IDET-k沒有這個限制?？傮w來說，閾值化迭代檢測估計IDET算法對非快速衰減信號沒有顯示出比1?最優(yōu)化更好的稀疏重構(gòu)性能[15,21]，但可以通過線性或非線性映射把非快速衰減信號轉(zhuǎn)化為適用于IDET算法的快速衰減信號[22]。

4 計算復雜度分析

閾值化迭代檢測估計的 IDET-k, IDET-β和IDET-γ算法主要的計算步驟為矩陣向量乘法(matrix-vector multiplication)。迭代硬閾值化IHT迭代的計算復雜度為 O ( m n)，那么算法 IDET-k,IDET-β和 IDET-γ的更新稀疏信號的計算復雜度為。閾值化步驟的計算復雜度為 O ( n l gk)②)算法IDET-k的支持集檢測需找出前k個最大值即計算復雜度為O(nlgk) , IDET-β和IDET-γ的支持集檢測只需兩次遍歷查找即計算復雜度為O(2n)，求解支持集上的最小二乘所采用的近似共軛梯度法的計算復雜度為為近似共軛梯度法迭代次數(shù))③算法IDET-β和IDET-γ支持集I變化不一，但|I|≤k，這里以|I|≤k計算。實驗部分近似共軛梯度法迭代次數(shù)設為20。，更新殘差信號的計算復雜度為，那么每次迭代所需計算復雜度總和為。雙超松弛閾值化法(DORE)算法兩次硬閾值化的計算復雜度為，兩次超松弛步驟的計算復雜度為，那么每次迭代所需計算復雜度總和為。IDET算法和DORE算法需存儲測量矩陣A，其所需的存儲量為。OMP, SP等TST算法的計算復雜度分析參考文獻[23]。

5 實驗結(jié)果

本節(jié)介紹仿真實驗，所有代碼均由 MATLAB實現(xiàn)④所有代碼可在https://github.com/songhp/IDET/下載。，部分采用了文獻[14,21]提供的代碼，運行環(huán)境為MATLAB v7.6，計算機操作系統(tǒng)為Windows XP, 2.53 GHz Intel Celeron CPU, 2 GB內(nèi)存。實驗比較算法選擇 OST的加速算法 DORE算法和TST算法中性能較好的SP算法[15,21]，IDET算法不與1?最優(yōu)化(如ISD算法)和其他OST/TST算法(如OMP算法等)比較，這些算法已經(jīng)在文獻[14,15,21]中有詳細的比較。算法評價有兩組：相變(phase transitions)曲線和 Shepp-Logan Phantom 圖像重構(gòu)，更多的實驗比較見文獻[23]。

5.1 相變曲線

在實驗中，所有測量矩陣A都采用均勻球面矩陣集(Uniform spherical ensemble)，即測量矩陣A是隨機高斯矩陣并對A歸一化。實驗所用k稀疏的信號x是隨機選擇勢為k的支持集，相應的元素值由高斯分布均勻生成。為公平比較算法，實驗中迭代停止條件設最大迭代次數(shù)為100或相對誤差為：。定義為稀疏性度量(sparsity),為不確定性度量(indeterminacy)，那么得到評價稀疏信號重構(gòu)的 2維相平面。對每一個δ，通過插值找到稀疏重構(gòu)概率大于0.50的所有ρ，這樣得到相變曲線。曲線之下表示稀疏重構(gòu)成功，反之則失敗。越高的相變曲線表示算法重構(gòu)能力越好。本實驗采用文獻[21]所用代碼生成相變曲線。確定稀疏信號維數(shù)，線性選取16 對。每對實驗運行 100 次。采用是真實稀疏信號)判定稀疏重構(gòu)準確。

實驗測試閾值化參數(shù)β對算法 IDET-β的影響，設β=0.7,0.8,0.9，選取δ=0.05, 0.20, 0.35, 0.50，閾值化參數(shù)β對算法IDET-β的影響如圖2所示，相應的相變曲線如圖3所示。從圖中可以看出，β越大稀疏信號重構(gòu)的準確重構(gòu)率越高，稀疏重構(gòu)性能越好。同樣地，測試閾值化參數(shù)γ對算法IDET-γ的影響，設γ=0.7,0.8,0.9，選取δ=0.05, 0.20, 0.35,0.50，閾值化參數(shù)γ對算法 IDET-γ的影響如圖 4所示，相應的相變曲線如圖3所示。從圖中可以看出，γ越大稀疏信號重構(gòu)的準確重構(gòu)率越高，稀疏重構(gòu)性能越好。圖5實驗對比了DORE, SP算法與IDET-k算法的準確重構(gòu)率，可以看出 IDET-k比DORE準確重構(gòu)率高，稀疏重構(gòu)性能更好；在m/n比較大時，SP比IDET-k稀疏重構(gòu)性能更好。從圖3可以看出，所有算法中DORE算法稀疏重構(gòu)性能最差，閾值化迭代檢測估計的IDET-β, IDET-γ依賴于閾值化參數(shù)，參數(shù)越大算法稀疏重構(gòu)性能越好；SP算法在m/n＞0.4時顯示出更好的稀疏重構(gòu)性能。

圖2 算法IDET-β不同閾值化參數(shù)的準確重構(gòu)率比較

圖3 算法DORE, SP,IDET的相變曲線比較

圖4 算法IDET-γ不同閾值化參數(shù)的準確重構(gòu)率比較

圖5 算法DORE, SP與IDET -k的準確重構(gòu)率比較

5.2 圖像重構(gòu)

本小節(jié)實驗比較IDET算法與DORE, SP算法重構(gòu)Shepp-Logan Phantom圖像。測量向量y是2維離散傅里葉變換射線采樣系數(shù)。測量矩陣是采樣矩陣(部分離散傅里葉變換矩陣)，是稀疏化矩陣(逆 Harr小波變換)。Shepp-Logan Phantom圖像的Harr小波變換系數(shù)是稀疏的。稀疏重構(gòu)性能評價標準采用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)、迭代次數(shù)和 CPU運行時間。峰值信噪比，其中0x是Harr小波變換系數(shù)，分別表示Shepp-Logan Phantom圖像的最大值、最小值。為公平比較算法，實驗中迭代停止條件設最大迭代次數(shù)為1000或相對誤差為：。對圖像大小為256×256，設e =0.01, β=0.8, γ=0.8。圖 6顯示的是圖像射線采樣數(shù)為35～50時IDET算法與DORE, SP算法的重構(gòu)結(jié)果比較。IDET的3個實現(xiàn)算法IDET-k, IDET-β, IDET-γ重構(gòu)圖像的 PSNR都要比 DORE, SP算法大。算法 SP,IDET-β迭代次數(shù)要比其他算法少，IDET-k在射線采樣數(shù)比較高時，其迭代次數(shù)下降很明顯。算法IDET-γ和DORE在很多情況下維持比較高的迭代次數(shù)，但就 CPU 運行時間而言，IDET-γ跟 SP,IDET-β, IDET-k一樣要比DORE算法少很多。

圖6 重構(gòu)Shepp-Logan Phantom圖像的峰值信噪比PSNR、迭代次數(shù)和CPU運行時間比較

6 結(jié)束語

本文研究壓縮傳感的稀疏信號重構(gòu)算法，把貪婪算法分為兩類：OST與TST。受ISD算法思想的啟發(fā)，本文提出一種結(jié)合OST和TST的貪婪算法框架IDET。IDET算法與傳統(tǒng)的TST不同之處在于采用OST作為支持集檢測的參考，可以根據(jù)稀疏信號的特征設計相應的支持集檢測方法。針對快速衰減信號，IDET的實現(xiàn)算法設計了 3種檢測IHT迭代步的方法。實驗結(jié)果表明，IDET實現(xiàn)算法比 DORE算法、SP算法(大多數(shù)情況下)具有更好的稀疏重構(gòu)性能。貪婪算法以其快速、易于實現(xiàn)(特別是對大規(guī)模應用)的特點在壓縮傳感研究領域得到廣泛的關注，如國內(nèi)的研究[24]。IHT之類的OST算法實現(xiàn)簡單，但其收斂比較慢。本文提出的IDET實現(xiàn)算法是一種比DORE算法更具優(yōu)勢的IHT加速算法。根據(jù)IDET算法思想，我們可以設計更多的OST加速算法。ISD算法在理論與實踐上表明重構(gòu)相同稀疏度的稀疏信號所需的測量次數(shù)比 BP算法更少，為此，研究IDET算法在理論上減少測量次數(shù)成為新的方向。

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