一個形變色散耗散方程的精確解
2014-11-14 23:54:16王澤軍代冬巖孫濤鄭生森
科技資訊 2014年12期
王澤軍+代冬巖+孫濤+鄭生森
摘 要：根據(jù)試探方程法的一種解法，獲得了一個非線性的形變色散耗散方程的精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造。
關(guān)鍵詞：試探方程法 精確解 形變色散耗散方程
中圖分類號：O175.29 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非線性色散耗散方程為：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷離子和熱電子組成的二流體等離子模型時提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用雙曲正切函數(shù)法求出當時的一個行波解[3]。若方程式（1）發(fā)生形變時，即對流項變?yōu)?，形變方程為?/p>
（2）
本文將運用試探方程法[4，5]其中的一種解法，得出方程式（2）的部分精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造，可以應(yīng)用在方程的實際分析上。
1 應(yīng)用試探方程法求精確解
將，代入方程式（2）進行行波變換，得到一個相應(yīng)的常微分方程
（3）
再對方程式（3）進行積分，得到：
（4）
首先，運用試探方程法，把設(shè)成多項式的形式，即令
（5）
其中系數(shù)為常數(shù)，則相應(yīng)的
（6）
將式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原則得出，所以此時得到的試探方程
（7）
方程式（4）中對應(yīng)的其他項為：
（8）
（9）
其次，將式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式兩端恒等原則，得到：
（10）
解出試探方程里多項式的系數(shù)，分別為：
（11）
或 （12）
最后，將試探方程式（7）化為積分形式：
（13）
根據(jù)多項式根的情況進行分類積分，求出相應(yīng)的精確解。
情形1：，則：
，得到方程式（4）
的精確解為：
（14）
情形2：，則，得到方程式（4）的精確解為：
（15）
情形3：，有一對共軛復(fù)根，方程式（4）的精確解為：
（16）
2 給出解的具體構(gòu)造
把參數(shù)、、和任意常數(shù)取值?？梢匀?，，，當時，得到相應(yīng)情形1的精確解為：（如圖1）
（17）
當時，得到相應(yīng)情形2的精確解為：（如圖2）
（18）
當時，得到相應(yīng)情形3的精確解為：（如圖3）
（19）
可見，如果根據(jù)實際背景給出參數(shù)值，可以對方程進行更加深入的研究。
參考文獻
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
摘 要：根據(jù)試探方程法的一種解法，獲得了一個非線性的形變色散耗散方程的精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造。
關(guān)鍵詞：試探方程法 精確解 形變色散耗散方程
中圖分類號：O175.29 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非線性色散耗散方程為：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷離子和熱電子組成的二流體等離子模型時提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用雙曲正切函數(shù)法求出當時的一個行波解[3]。若方程式（1）發(fā)生形變時，即對流項變?yōu)椋巫兎匠虨椋?/p>
（2）
本文將運用試探方程法[4，5]其中的一種解法，得出方程式（2）的部分精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造，可以應(yīng)用在方程的實際分析上。
1 應(yīng)用試探方程法求精確解
將，代入方程式（2）進行行波變換，得到一個相應(yīng)的常微分方程
（3）
再對方程式（3）進行積分，得到：
（4）
首先，運用試探方程法，把設(shè)成多項式的形式，即令
（5）
其中系數(shù)為常數(shù)，則相應(yīng)的
（6）
將式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原則得出，所以此時得到的試探方程
（7）
方程式（4）中對應(yīng)的其他項為：
（8）
（9）
其次，將式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式兩端恒等原則，得到：
（10）
解出試探方程里多項式的系數(shù)，分別為：
（11）
或 （12）
最后，將試探方程式（7）化為積分形式：
（13）
根據(jù)多項式根的情況進行分類積分，求出相應(yīng)的精確解。
情形1：，則：
，得到方程式（4）
的精確解為：
（14）
情形2：，則，得到方程式（4）的精確解為：
（15）
情形3：，有一對共軛復(fù)根，方程式（4）的精確解為：
（16）
2 給出解的具體構(gòu)造
把參數(shù)、、和任意常數(shù)取值?？梢匀?，，，當時，得到相應(yīng)情形1的精確解為：（如圖1）
（17）
當時，得到相應(yīng)情形2的精確解為：（如圖2）
（18）
當時，得到相應(yīng)情形3的精確解為：（如圖3）
（19）
可見，如果根據(jù)實際背景給出參數(shù)值，可以對方程進行更加深入的研究。
參考文獻
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
摘 要：根據(jù)試探方程法的一種解法，獲得了一個非線性的形變色散耗散方程的精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造。
關(guān)鍵詞：試探方程法 精確解 形變色散耗散方程
中圖分類號：O175.29 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非線性色散耗散方程為：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷離子和熱電子組成的二流體等離子模型時提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用雙曲正切函數(shù)法求出當時的一個行波解[3]。若方程式（1）發(fā)生形變時，即對流項變?yōu)?，形變方程為?/p>
（2）
本文將運用試探方程法[4，5]其中的一種解法，得出方程式（2）的部分精確解，并給出實際參數(shù)得到相應(yīng)解的具體構(gòu)造，可以應(yīng)用在方程的實際分析上。
1 應(yīng)用試探方程法求精確解
將，代入方程式（2）進行行波變換，得到一個相應(yīng)的常微分方程
（3）
再對方程式（3）進行積分，得到：
（4）
首先，運用試探方程法，把設(shè)成多項式的形式，即令
（5）
其中系數(shù)為常數(shù)，則相應(yīng)的
（6）
將式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原則得出，所以此時得到的試探方程
（7）
方程式（4）中對應(yīng)的其他項為：
（8）
（9）
其次，將式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式兩端恒等原則，得到：
（10）
解出試探方程里多項式的系數(shù)，分別為：
（11）
或 （12）
最后，將試探方程式（7）化為積分形式：
（13）
根據(jù)多項式根的情況進行分類積分，求出相應(yīng)的精確解。
情形1：，則：
，得到方程式（4）
的精確解為：
（14）
情形2：，則，得到方程式（4）的精確解為：
（15）
情形3：，有一對共軛復(fù)根，方程式（4）的精確解為：
（16）
2 給出解的具體構(gòu)造
把參數(shù)、、和任意常數(shù)取值?？梢匀。?，，當時，得到相應(yīng)情形1的精確解為：（如圖1）
（17）
當時，得到相應(yīng)情形2的精確解為：（如圖2）
（18）
當時，得到相應(yīng)情形3的精確解為：（如圖3）
（19）
可見，如果根據(jù)實際背景給出參數(shù)值，可以對方程進行更加深入的研究。
參考文獻
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
