邱偉

摘 要：該文先通過對彈簧質(zhì)量被忽略和不被忽略兩種情況的研究得出彈簧周期的理論公式，再通過實驗（彈簧質(zhì)量小于振子質(zhì)量）計算出m前的系數(shù)約為0.3～0.35，與理論值相符。實際彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動，它只有在其他級別（n>1）的振動可以忽略的情況下，才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。

關(guān)鍵詞：彈簧質(zhì)量 彈簧振子 周期

中圖分類號：I206.7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0207-04

在彈簧質(zhì)量不可以忽略時對彈簧振子周期的影響，有大批人士從不同角度加以研究[1-10]，他們將彈簧視作質(zhì)量均勻的介質(zhì)，或利用波動方程[1-2]，或?qū)椈煽醋饕幌盗须x散化的小的彈簧振子進行研究[6-7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情況下都得出彈簧振子周期T=，k為彈簧勁度系數(shù)，M為彈簧振子質(zhì)量，m為彈簧質(zhì)量，附加到彈簧振子的m/3叫彈簧的有效質(zhì)量。我們是否也可以猜測彈簧振子的振動模式存在差異？各種模式的振動頻率之間也都不成有理數(shù)的倍數(shù)關(guān)系[8]？文獻[9]對彈簧質(zhì)量m/3修正的問題存在異議，有的認為1/3僅僅是0.346的近似值。文獻[3]采用最優(yōu)化及多元線性回歸，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得。文獻[4]依據(jù)能量分析方法得出有效質(zhì)量應該介于m/3～m/2之間，同時引入有效彈性常量介于之間。文獻[1，2，7]指出存在無窮多的振子，其滿足。本文分別探究了不考慮彈簧質(zhì)量時，和考慮彈簧質(zhì)量時，這兩種情況下產(chǎn)生的差異以及影響，同時還進一步分析了實際彈簧振子周期和理論值得差異，更完善的研究了彈簧振子的振動規(guī)律。

1 未考慮彈簧質(zhì)量（理想彈簧）的彈簧振子周期

如圖1所示，當未考慮彈簧質(zhì)量時，彈簧的原長為，末端系一個質(zhì)量為振動物體。假設水平面是光滑的，沒有摩擦，彈簧和振動物體在放在水平面上，物體受到的力是回復力，物體做往復的周期性運動。其運動過程中忽略空氣摩擦阻力的影響。在下圖中：①圖彈簧未伸長，靜止在水平面上，物體受力。②圖彈簧向右運動，彈簧伸長x，物體受力為。③圖彈簧未伸長靜止在水平面上，物體受力。④圖彈簧向左運動，被壓縮x，物體受力。其中負號（-）表示物體受力與運動方向相反。選彈簧運動的一個周期為研究條件。在一個周期中，如果彈簧所受的力超過了彈簧的最大的承受力，彈簧將受到損壞，將失去它的周期性能。因此在做研究時，要保證彈簧所受的力在正常范圍內(nèi)，這也是保證研究結(jié)果能正確的一個先決條件。對于物體，當彈簧所受的力在正常范圍內(nèi)時，由牛頓第一定律可知，式⑴其中為彈簧的勁度系數(shù)。我們將⑴式轉(zhuǎn)化一下，用除⑴式，設，和都一定時，對于彈簧振子來說，為常數(shù)，所以⑴式可以改寫為式⑵，⑵式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個解為，第二個解為。則⑵式的通解為：令則通解變?yōu)椋?/p>

，為初相，A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得：和的運動形式完全一樣。而和即在t時刻和時刻，振子的運動是一樣的。所以是振動周期，用T來表示T=因為所以，⑶，⑶式就是在不考慮彈簧質(zhì)量的情況下得出的彈簧振子周期公式（圖1）。

2 考慮彈簧質(zhì)量后彈簧振子的周期

如圖2所示，假設彈簧質(zhì)量為，彈簧的自然長度為，物體任然在水平面上振動。彈簧是均勻的其質(zhì)量也是均勻分布的。假設任一點到點的距離為s，（0≤s≤l）。

假設到d之間有一個彈簧元，它的質(zhì)量是：如果彈簧振子產(chǎn)生了一個的位移，dM也將發(fā)生一個位移。如果把dM的位移和的位移相比，很容易得到dM的位移遠小于的結(jié)果（其中的位移對應的是整個彈簧的伸長量，dM的位移只是對應彈簧中任一點到o點的伸長量）。又因為0≤s≤l，所以dM的位移必然小于的位移。為了簡單合理的計算出dM的位移，我們假定彈簧各部分所發(fā)生的位移與它們到固定點o的距離成正比。則dM發(fā)生的位移當時，，即為位移；當時，，即為固定點所在位置；顯然是符合的。下面我們計算dM這一小段彈簧元的動能：將上式兩邊

積分，右邊只對積分，其余看作常數(shù)，便可使彈簧在任意給定時刻的總動能為：其系統(tǒng)的總

能量為：

即：式⑷，式，為彈簧振子的彈性勢能。⑷式和忽略彈簧質(zhì)量時的能量表達式一樣。未考慮彈簧質(zhì)量時，系統(tǒng)的能量表達式為：式⑸，而其微分式為：周期是：對比分析，我們可以得到，考慮彈簧質(zhì)量后的運動微分式：式⑹，將除⑹式兩邊，并設，k和都一定時，對于彈簧振子來說，為常數(shù)，所以⑴式可以改寫為式⑺，⑺式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個解為，第二個解為。

⑺式的通解為： 令則通解變即

，為初相，A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得：和的運動形式完全樣，而和即在t時刻和時刻振子的運動是一樣的。振動周期因為所以因此式⑻即式⑼由此得出考慮了彈簧質(zhì)量后的彈簧振子周期公式。其值大于未考慮彈簧質(zhì)量時的周期。這個公式我們也可以看成是在的基礎上加上后得出來的周期公式。

3 雷利法進一步論證

前面已經(jīng)求證出不忽略彈簧質(zhì)量時的振子周期公式，為了使結(jié)論具有更可靠性，我們可以利用雷利法再次論證一下，驗證一下結(jié)果是否同樣。我們把彈簧看作是均勻的彈性桿，同時只有縱向振動。設彈簧長為L，橫截面積為S，其質(zhì)量為m，在振幅不怎么大的情況下，其密度可以表示為當有外力時，彈簧受力，

伸長，可以算的勁度系數(shù)：。又根據(jù)楊氏模量E的定義：，將式帶入式可以得到，。彈性桿做縱向運動時，其波動方程可以表示為，如（圖3）：

E為楊氏模量，為彈簧密度，x為彈簧上一點到原點y的位移。根據(jù)前面的密度表達式，可以將波動方程化為：其中現(xiàn)在考慮邊界條件，當彈簧沒有位移時得到一個邊界條件⑴由于M的運動由彈簧的彈性力決定，依據(jù)牛頓第二定律： 消

去E后可以得到另外一個邊界條件：⑵時，，采用

分離變量法可以解滿足以上兩個邊界條件的波動方程。令，將波動方程化，它們

等于一個與和無關(guān)的常數(shù)。即：，可以

將這個方程化為兩方程。①和②解①和②得和

，將和帶入波動方程可以解根據(jù)邊界條

件⑴得，

進而推出

再根據(jù)邊界條件⑵

帶入式，依據(jù)此式得到：，其中，又可以化為這是一個超越方程，可以用如（圖4）求解。

圖中標出的是的前三個解，假如<，用級數(shù)展開的右邊解。在時。

取前面兩項得

，從這個式子我們可以得到，，進而，所以彈簧振子周期為，得出的結(jié)果和前面討論的一樣。下表是對不同的值，式所引起的誤差（表1）。

4 實際彈簧振子的周期

如果彈簧的長度比較長，而且質(zhì)量和彈簧振子的質(zhì)量相差不多。在這種情況下，對彈簧的周期性研究變得更復雜了。此時，彈簧的變化并非是呈線性變化，要解決實際彈簧振子的周期可以借助彈簧的縱波解來輔助研究。根據(jù)縱波的傳播方程，我們可以得到考慮彈簧質(zhì)量時運動方程實際上是由多個簡諧振動合成的，其運動方程如下：其中，，

，n=1，2，3，4，5……是超越方程的根，是彈簧的原長，M是彈簧振子的質(zhì)量，m是彈簧的質(zhì)量。由此結(jié)論，可以得出彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動，它只有在其他級別（n>1）的振動可以忽略的情況下，才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。例如，可以求得第一級振動的振幅是第二級的約5000倍，更遠大于第三極等更高級的振動，所以這時彈簧振子的運動可近似看作簡諧運動，此時彈簧振子的周期為彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量0.3 m。當時，第一級的振動的振幅是第二級的約80倍，第一級振動還是遠大于其他級振動，因此，還可以當做簡諧運動，此時周期為即，彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量為0.35 m。

5 討論

為了驗證實際中的彈簧振子周期m的系數(shù)通常是否約為0.30～0.35，我們通過實驗可以證得。我們做了一個豎直振動實驗，如下圖的力傳感器：M=20 g，取為彈簧振子質(zhì)量，k=2 N/m，取為彈簧的勁度系數(shù)（表1、2）。

在（圖5）中，將力傳感器系于彈簧上。傳感器將根據(jù)彈簧上下振動的振幅，測得力后，將數(shù)據(jù)傳給計算機。經(jīng)過計算機計算后，得到彈簧振子的周期。

在上面的兩個表中，在彈簧質(zhì)量和勁度系數(shù)不變的情況下，我們測得了實驗周期的最小值和最大值。根據(jù)周期公式其中n為m的系數(shù)。將實驗測得的兩表中的周期T，彈簧振子質(zhì)量M，彈簧質(zhì)量m，勁度系數(shù)k，代入公式，計算后分別得出表一的n約為0.294，表二中n約為0.346。雖然實驗過程中存在一些誤差，但這些誤差是不可避免的。我們可以看出n的值非常接近0.3和0.35。這說明我們的理論推論是正確的。

6 結(jié)語

對于彈簧振子的周期研究，當不考慮彈簧的質(zhì)量時得出的周期公式②當計及彈簧質(zhì)量時的周期公式是 。第一種情況只有在M很大遠遠超過m時，m可以忽略時才可以使用。而第二種情況則是在M和m相差不大，m不可以忽略的情況下使用，我們可以把這種情況看作是在M的基礎上加上m/3。當然這兩種情況都把空氣摩擦、材料因素等次要因素都忽略了。在實際中，在彈簧質(zhì)量不可忽略的情況下彈簧振子周期公式中m前的系數(shù)n約在0.30～0.35之間而不是1/3。這是因為實驗時存在空氣摩擦阻力等因素的影響而不同。

參考文獻

[1] 丁履成，司明楊.有質(zhì)量的彈簧振動問題[J].大學物理，1985，4（9）：15-18.

[2] 羅蔚茵.關(guān)于彈簧振子固有頻率的進一步討論[J].大學物理，1985（11）：9-11.

[3] 馬葭生.用最優(yōu)化及多元線性回歸方法總結(jié)彈簧振子周期經(jīng)驗公式[J].物理實驗，1986（46）.

[4] Leclerc M.振動彈簧的有效彈性常數(shù)和有效質(zhì)量[J].李國強，譯.大學物理， 1990，9（6）：10-11.

[5] 孫彥清.小振動系統(tǒng)彈簧質(zhì)量影響因子的測量[J].漢中師范學院， 2003，6（21）：50-52.

[6] 劉大鵬，關(guān)榮華.彈簧質(zhì)量對彈簧諧振子圓頻率的影響[J].大學物理，1995，4（10）：22-24.

[7] Nune Da Silva J M.負荷彈簧的重整華振動研究[J].孫厚謙，洪林，譯.大學物理，1995，14（10）：28-30.

[8] 黃兆梁.彈簧質(zhì)量對振動的影響[J].大學物理，1998，3（17）：12-16.

[9] 陳美華，蔣毅.彈簧振子計及彈簧質(zhì)量的誤差分析[J].嘉應學院學報，2006，24（6）：27-30.

[10] 肖波齊.基于Matlab 的彈簧振子簡諧運動研究[J].陜西科技大學學報，2009，12（27）：116-120.

[11] 曹羅平，鄒雪青.考慮彈簧質(zhì)量后彈簧振子的周期[J].中專物理教學，1994（S1）.