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        彈簧振動周期研究

        2014-11-11 03:17:51邱偉
        科技創(chuàng)新導報 2014年25期

        邱偉

        摘 要:該文先通過對彈簧質(zhì)量被忽略和不被忽略兩種情況的研究得出彈簧周期的理論公式,再通過實驗(彈簧質(zhì)量小于振子質(zhì)量)計算出m前的系數(shù)約為0.3~0.35,與理論值相符。實際彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動,它只有在其他級別(n>1)的振動可以忽略的情況下,才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。

        關(guān)鍵詞:彈簧質(zhì)量 彈簧振子 周期

        中圖分類號:I206.7 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2014)09(a)-0207-04

        在彈簧質(zhì)量不可以忽略時對彈簧振子周期的影響,有大批人士從不同角度加以研究[1-10],他們將彈簧視作質(zhì)量均勻的介質(zhì),或利用波動方程[1-2],或?qū)椈煽醋饕幌盗须x散化的小的彈簧振子進行研究[6-7]。在相同相位,且振幅和平衡位置成正比的情況下都得出彈簧振子周期T=,k為彈簧勁度系數(shù),M為彈簧振子質(zhì)量,m為彈簧質(zhì)量,附加到彈簧振子的m/3叫彈簧的有效質(zhì)量。我們是否也可以猜測彈簧振子的振動模式存在差異?各種模式的振動頻率之間也都不成有理數(shù)的倍數(shù)關(guān)系[8]?文獻[9]對彈簧質(zhì)量m/3修正的問題存在異議,有的認為1/3僅僅是0.346的近似值。文獻[3]采用最優(yōu)化及多元線性回歸,并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得。文獻[4]依據(jù)能量分析方法得出有效質(zhì)量應該介于m/3~m/2之間,同時引入有效彈性常量介于之間。文獻[1,2,7]指出存在無窮多的振子,其滿足。本文分別探究了不考慮彈簧質(zhì)量時,和考慮彈簧質(zhì)量時,這兩種情況下產(chǎn)生的差異以及影響,同時還進一步分析了實際彈簧振子周期和理論值得差異,更完善的研究了彈簧振子的振動規(guī)律。

        1 未考慮彈簧質(zhì)量(理想彈簧)的彈簧振子周期

        如圖1所示,當未考慮彈簧質(zhì)量時,彈簧的原長為,末端系一個質(zhì)量為振動物體。假設水平面是光滑的,沒有摩擦,彈簧和振動物體在放在水平面上,物體受到的力是回復力,物體做往復的周期性運動。其運動過程中忽略空氣摩擦阻力的影響。在下圖中:①圖彈簧未伸長,靜止在水平面上,物體受力。②圖彈簧向右運動,彈簧伸長x,物體受力為。③圖彈簧未伸長靜止在水平面上,物體受力。④圖彈簧向左運動,被壓縮x,物體受力。其中負號(-)表示物體受力與運動方向相反。選彈簧運動的一個周期為研究條件。在一個周期中,如果彈簧所受的力超過了彈簧的最大的承受力,彈簧將受到損壞,將失去它的周期性能。因此在做研究時,要保證彈簧所受的力在正常范圍內(nèi),這也是保證研究結(jié)果能正確的一個先決條件。對于物體,當彈簧所受的力在正常范圍內(nèi)時,由牛頓第一定律可知,式⑴其中為彈簧的勁度系數(shù)。我們將⑴式轉(zhuǎn)化一下,用除⑴式,設,和都一定時,對于彈簧振子來說,為常數(shù),所以⑴式可以改寫為式⑵,⑵式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程,其特征根為解特征根方程得到:第一個解為,第二個解為。則⑵式的通解為:令則通解變?yōu)椋?/p>

        ,為初相,A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得:和的運動形式完全一樣。而和即在t時刻和時刻,振子的運動是一樣的。所以是振動周期,用T來表示T=因為所以,⑶,⑶式就是在不考慮彈簧質(zhì)量的情況下得出的彈簧振子周期公式(圖1)。

        2 考慮彈簧質(zhì)量后彈簧振子的周期

        如圖2所示,假設彈簧質(zhì)量為,彈簧的自然長度為,物體任然在水平面上振動。彈簧是均勻的其質(zhì)量也是均勻分布的。假設任一點到點的距離為s,(0≤s≤l)。

        假設到d之間有一個彈簧元,它的質(zhì)量是:如果彈簧振子產(chǎn)生了一個的位移,dM也將發(fā)生一個位移。如果把dM的位移和的位移相比,很容易得到dM的位移遠小于的結(jié)果(其中的位移對應的是整個彈簧的伸長量,dM的位移只是對應彈簧中任一點到o點的伸長量)。又因為0≤s≤l,所以dM的位移必然小于的位移。為了簡單合理的計算出dM的位移,我們假定彈簧各部分所發(fā)生的位移與它們到固定點o的距離成正比。則dM發(fā)生的位移當時,,即為位移;當時,,即為固定點所在位置;顯然是符合的。下面我們計算dM這一小段彈簧元的動能:將上式兩邊

        積分,右邊只對積分,其余看作常數(shù),便可使彈簧在任意給定時刻的總動能為:其系統(tǒng)的總

        能量為:

        即:式⑷,式,為彈簧振子的彈性勢能。⑷式和忽略彈簧質(zhì)量時的能量表達式一樣。未考慮彈簧質(zhì)量時,系統(tǒng)的能量表達式為:式⑸,而其微分式為:周期是:對比分析,我們可以得到,考慮彈簧質(zhì)量后的運動微分式:式⑹,將除⑹式兩邊,并設,k和都一定時,對于彈簧振子來說,為常數(shù),所以⑴式可以改寫為式⑺,⑺式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程,其特征根為解特征根方程得到:第一個解為,第二個解為。

        ⑺式的通解為: 令則通解變即

        ,為初相,A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得:和的運動形式完全樣,而和即在t時刻和時刻振子的運動是一樣的。振動周期因為所以因此式⑻即式⑼由此得出考慮了彈簧質(zhì)量后的彈簧振子周期公式。其值大于未考慮彈簧質(zhì)量時的周期。這個公式我們也可以看成是在的基礎上加上后得出來的周期公式。

        3 雷利法進一步論證

        前面已經(jīng)求證出不忽略彈簧質(zhì)量時的振子周期公式,為了使結(jié)論具有更可靠性,我們可以利用雷利法再次論證一下,驗證一下結(jié)果是否同樣。我們把彈簧看作是均勻的彈性桿,同時只有縱向振動。設彈簧長為L,橫截面積為S,其質(zhì)量為m,在振幅不怎么大的情況下,其密度可以表示為當有外力時,彈簧受力,

        伸長,可以算的勁度系數(shù):。又根據(jù)楊氏模量E的定義:,將式帶入式可以得到,。彈性桿做縱向運動時,其波動方程可以表示為,如(圖3):

        E為楊氏模量,為彈簧密度,x為彈簧上一點到原點y的位移。根據(jù)前面的密度表達式,可以將波動方程化為:其中現(xiàn)在考慮邊界條件,當彈簧沒有位移時得到一個邊界條件⑴由于M的運動由彈簧的彈性力決定,依據(jù)牛頓第二定律: 消

        去E后可以得到另外一個邊界條件:⑵時,,采用

        分離變量法可以解滿足以上兩個邊界條件的波動方程。令,將波動方程化,它們

        等于一個與和無關(guān)的常數(shù)。即:,可以

        將這個方程化為兩方程。①和②解①和②得和

        ,將和帶入波動方程可以解根據(jù)邊界條

        件⑴得,

        進而推出

        再根據(jù)邊界條件⑵

        帶入式,依據(jù)此式得到:,其中,又可以化為這是一個超越方程,可以用如(圖4)求解。

        圖中標出的是的前三個解,假如<,用級數(shù)展開的右邊解。在時。

        取前面兩項得

        ,從這個式子我們可以得到,,進而,所以彈簧振子周期為,得出的結(jié)果和前面討論的一樣。下表是對不同的值,式所引起的誤差(表1)。

        4 實際彈簧振子的周期

        如果彈簧的長度比較長,而且質(zhì)量和彈簧振子的質(zhì)量相差不多。在這種情況下,對彈簧的周期性研究變得更復雜了。此時,彈簧的變化并非是呈線性變化,要解決實際彈簧振子的周期可以借助彈簧的縱波解來輔助研究。根據(jù)縱波的傳播方程,我們可以得到考慮彈簧質(zhì)量時運動方程實際上是由多個簡諧振動合成的,其運動方程如下:其中,,

        ,n=1,2,3,4,5……是超越方程的根,是彈簧的原長,M是彈簧振子的質(zhì)量,m是彈簧的質(zhì)量。由此結(jié)論,可以得出彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動,它只有在其他級別(n>1)的振動可以忽略的情況下,才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。例如,可以求得第一級振動的振幅是第二級的約5000倍,更遠大于第三極等更高級的振動,所以這時彈簧振子的運動可近似看作簡諧運動,此時彈簧振子的周期為彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量0.3 m。當時,第一級的振動的振幅是第二級的約80倍,第一級振動還是遠大于其他級振動,因此,還可以當做簡諧運動,此時周期為即,彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量為0.35 m。

        5 討論

        為了驗證實際中的彈簧振子周期m的系數(shù)通常是否約為0.30~0.35,我們通過實驗可以證得。我們做了一個豎直振動實驗,如下圖的力傳感器:M=20 g,取為彈簧振子質(zhì)量,k=2 N/m,取為彈簧的勁度系數(shù)(表1、2)。

        在(圖5)中,將力傳感器系于彈簧上。傳感器將根據(jù)彈簧上下振動的振幅,測得力后,將數(shù)據(jù)傳給計算機。經(jīng)過計算機計算后,得到彈簧振子的周期。

        在上面的兩個表中,在彈簧質(zhì)量和勁度系數(shù)不變的情況下,我們測得了實驗周期的最小值和最大值。根據(jù)周期公式其中n為m的系數(shù)。將實驗測得的兩表中的周期T,彈簧振子質(zhì)量M,彈簧質(zhì)量m,勁度系數(shù)k,代入公式,計算后分別得出表一的n約為0.294,表二中n約為0.346。雖然實驗過程中存在一些誤差,但這些誤差是不可避免的。我們可以看出n的值非常接近0.3和0.35。這說明我們的理論推論是正確的。

        6 結(jié)語

        對于彈簧振子的周期研究,當不考慮彈簧的質(zhì)量時得出的周期公式②當計及彈簧質(zhì)量時的周期公式是 。第一種情況只有在M很大遠遠超過m時,m可以忽略時才可以使用。而第二種情況則是在M和m相差不大,m不可以忽略的情況下使用,我們可以把這種情況看作是在M的基礎上加上m/3。當然這兩種情況都把空氣摩擦、材料因素等次要因素都忽略了。在實際中,在彈簧質(zhì)量不可忽略的情況下彈簧振子周期公式中m前的系數(shù)n約在0.30~0.35之間而不是1/3。這是因為實驗時存在空氣摩擦阻力等因素的影響而不同。

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