趙景影

摘 要：美元在世界貨幣體系中占據(jù)首要地位，選取適當(dāng)?shù)姆椒▽γ涝獏R率波動性進(jìn)行解釋和預(yù)測，具有重要意義。首先介紹了四種廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，然后運(yùn)用2007年6月1日到2014年5月1日的美元指數(shù)收盤價數(shù)據(jù)，基于GARCH族模型對美元指數(shù)收益率進(jìn)行分析，將對稱GARCH與非對稱GARCH模型的預(yù)測效果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)對稱GARCH模型中歷史波動情況對當(dāng)前波動的影響較非對稱GARCH模型更顯著。

關(guān)鍵詞：美元指數(shù)；GARCH族模型；收益率波動

中圖分類號：F830.92 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：：A 文章編號：1673-291X（2014）26-0184-02

引言

美元匯率不僅影響我國持有的美國國債價值，還影響我國進(jìn)出口商品的國際競爭力，因此有效解釋美元匯率走勢顯得尤為重要。美元指數(shù)是衡量美元匯率走勢的通用指標(biāo)，作為金融市場上的時間序列數(shù)據(jù)，具有不穩(wěn)定的特性。金融時間序列數(shù)據(jù)波動總是存在集聚現(xiàn)象，也稱為ARCH效應(yīng)，即變量序列發(fā)生突然性的波動，并且大的波動后常常跟著另一個大的波動，而在小的波動后常伴隨著小的波動，這使模型的殘差平方序列存在異方差性。趙樹然和任培民等人（2012）運(yùn)用GARCH模型來預(yù)測人民幣匯率的波動性，發(fā)現(xiàn)非參數(shù)GARCH模型對人民幣匯率波動的解釋和預(yù)測效果優(yōu)于參數(shù)GARCH模型。楊湘豫和程利（2013）研究發(fā)現(xiàn)，GARCH（2，1）最適合描述美元指數(shù)的市場波動。徐申吉（2012）年在其碩士論文中對八種貨幣指數(shù)波動進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)GARCH（1，1）能夠很好的擬合貨幣指數(shù)的歷史價格數(shù)據(jù)。GARCH族模型能有效地捕捉資產(chǎn)收益率波動的異方差現(xiàn)象，本文應(yīng)用四種不同的GARCH模型對美元指數(shù)收益理財波動性進(jìn)行分析和比較。

一、GARCH族模型

（一）GARCH模型

在GARCH系列模型中，GARCH（1，1）是最簡單且應(yīng)用最廣泛的模型，具體形式如下：

均值方程：rt=u+et （1）

方差方程： （2）

其中ω>0，α1≥0，并且β1≥0，表示時間t時的資產(chǎn)回報率，u代表平均回報，et是剩余回報，定義為：εt=σtzt。這里的zt是標(biāo)準(zhǔn)化剩余收益，σt2代表條件方差。對于GARCH（1，1），約束條件α1≥0和β1≥0用來保證β1≥0是嚴(yán)格的正數(shù)。條件方差方程建立了關(guān)于殘差波動率的模型，波動率具有隨時間變化而變化的性質(zhì)，這個殘差是從平均方程中得到的。由于方差方程中包含殘差的滯后項和方差的滯后項，且ARCH效應(yīng)解釋的是殘差項，GARCH測算的是方差大小，故而分別稱為ARCH項和GARCH項。

（二）GARCH-M模型

在金融領(lǐng)域，安全的收益率可能取決于其波動率。要模擬這樣一種現(xiàn)象就要考慮Engle，Lilien，和Robins在1987年創(chuàng)建并發(fā)展GARCH-M模型，它允許一個條件平均的序列由它的條件方差或標(biāo)準(zhǔn)差來決定。下面舉一個GARCH-M（1.1）模型得例子：

均值方程：rt=u+et+λσt2 （3）

方差方程 （4）

均值方程中的參數(shù)r稱為風(fēng)險溢價參數(shù)。λ為正表明收益率與其波動率正相關(guān)，即平均收益的增加是由條件方差的增加引起的，條件方差的回報越大，誘導(dǎo)投資者持有資產(chǎn)的必要補(bǔ)償就越大。

（三）EGARCH模型

該模型解釋的是隨時間變化方差沖擊的非對稱反應(yīng)，同時，確保方差始終是正的。它是1991年Nelson提出并發(fā)展的，以下是簡單的敘述：

（5）

這里r是非對稱響應(yīng)參數(shù)或杠桿參數(shù)。在大多數(shù)實證案例中，r是正的，因此，負(fù)面沖擊增加了未來的波動率或者不確定性，而正沖擊減輕了對未來不確定性的影響。

（四）PGARCH模型

PGARCH模型是處理非對稱性反應(yīng)的GARCH模型。與其他GARCH模型不同的是，它是以標(biāo)準(zhǔn)差為藍(lán)本而不是方差。該模型給功率參數(shù)提供了更大的空間，可以改變數(shù)值以應(yīng)對不同情況的非對稱效應(yīng)。

其模型如下：

（6）

這里α1和β1分別代表ARCH參數(shù)和GARCH參數(shù)，γ1是杠桿參數(shù)，σ是功率參數(shù)。當(dāng)σ=2時，等式（6）變成了經(jīng)典GARCH模型并允許杠桿效應(yīng)，當(dāng)σ=1時，條件標(biāo)準(zhǔn)偏差將被估計。通過考慮將σ換做不同的系數(shù)，有可能增加PGARCH模型的靈活性。

二、實證分析

（一）數(shù)據(jù)來源與處理

本文通過大智慧操盤軟件收集了從2007年6月1日到2014年5月1日的美元指數(shù)每日收盤價，共1 805個觀測值，運(yùn)用Eviews7.0軟件進(jìn)行測算。從美元指數(shù)（usdx）的趨勢圖（圖1）中可以看出，usdx序列存在異方差性。

為了消除這種異方差性，我們將美元指數(shù)序列進(jìn)行一階對數(shù)差分處理得收益率序列rt，

rt=logusdxt-logusdxt-1

這里，rt表示連續(xù)復(fù)合收益率，usdxt和usdxt-1分別代表當(dāng)期（t）和前期（t-1）的美元指數(shù)收盤價。由圖2可知，處理后的序列消除了原序列的趨勢。由軟件試算結(jié)果可以得到t統(tǒng)計量值是-41.85741，小于顯著性水平為1%的臨界值，所以至少可以在99%的置信度下拒絕原假設(shè)，認(rèn)為美元指數(shù)的一階對數(shù)差分序列不存在單位根，即序列滿足平穩(wěn)性要求。

（二）均值方程的設(shè)定

GARCH族模型均以均值方程為基礎(chǔ)，通過檢驗均值方程回歸的殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)來判斷能否應(yīng)用GARCH模型。本文設(shè)定均值方程為：

r=c+ut

均值方程中除了常數(shù)項和隨機(jī)擾動項沒有其他變量。因為影響美元指數(shù)收益率因素有很多，有些可以量化有些卻不能，因此通常認(rèn)為美元指數(shù)收益率以一個均值作為參考，每日收益率會圍繞該均值上下波動。通過Eviews軟件進(jìn)行回歸處理之后，對分離出殘差序列進(jìn)行殘差序列的ARCH-LM檢驗，從表1中可以看出，F(xiàn)統(tǒng)計量和卡方統(tǒng)計量的P值都小于0.05，則表示原序列存在ARCH效應(yīng)。

（三）方差方程的設(shè)定

金融資產(chǎn)的收益率很大程度上取決于其波動性，而美元收益率序列存在自相關(guān)性和異方差現(xiàn)象，即“ARCH效應(yīng)”，在減少估計參數(shù)的前提下為提高估計的準(zhǔn)確度，一般采用GARCH族模型對美元指數(shù)收益率的波動進(jìn)行估計。應(yīng)用Eviews軟件，通過前述四種GARCH族模型對模型中的方差方程進(jìn)行回歸分析，結(jié)果如表2所示。

（四）結(jié)果分析

從表2中可以看出，u均為接近于0的負(fù)數(shù)，說明美元指數(shù)收益率的均值很低，且在樣本期間內(nèi)總體處于虧損狀態(tài)。α1和β1表示滯后的條件方差和滯后的擾動項的平方可以解釋當(dāng)前的美元指數(shù)波動，二者之和越大表示波動越劇烈。GARCH和GARCH-M模型中GARCH項系數(shù)大于ARCH項系數(shù)，且均為正，表明前一期的波動對當(dāng)期波動為正向影響且作用程度比較大，而EGARCH和PGARCH模型中前期的波動對當(dāng)期波動的影響逐漸減少，甚至變?yōu)樨?fù)向影響且作用程度并不明顯，這可能是因為非對稱效應(yīng)的作用效果更顯著。GARCH-M模型中的均值方程依賴于條件方差函數(shù)，從上表中可以看到，σ2的估計系數(shù)是正的，這表明條件方差和收益率水平呈正相關(guān)，即隨著波動率的增加，收益率也相應(yīng)的增加。此結(jié)果與股票指數(shù)的風(fēng)險溢價理論相一致，說明風(fēng)險更高的資產(chǎn)擁有更高的預(yù)期回報率。從模型的估計結(jié)果中可以看出，EGARCH和PGARCH的估計系數(shù)γ均是接近于1的正數(shù)，這說明在存在非對稱響應(yīng)時，對比負(fù)面沖擊，正面沖擊對波動率的影響更大。從最大似然估計值的大小可以判斷，四種模型的估計效果比較接近，且PGARCH模型更優(yōu)。

三、結(jié)論

本文介紹了四種GARCH族模型及其估計方法，采集2007年6月1日到2014年5月1日的美元指數(shù)樣本數(shù)據(jù)，建立了描述時間序列變化特性的GARCH模型進(jìn)行對比分析，得到了美元指數(shù)波動的如下規(guī)律：（1）樣本期間內(nèi)美元指數(shù)收益率總體處于較低的虧損狀態(tài)。（2）美元指數(shù)收益率的波動受歷史波動率的影響，且影響范圍有限。（3）對稱GARCH模型中歷史波動率對當(dāng)前波動的影響較非對稱GARCH模型更顯著。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳靜.美元匯率近期走勢及其影響因素分析[J].國際金融，2012，（1）：59-62.

[2] 殷微波.人民幣匯率預(yù)測——基于GARCH模型的實證研究[J].當(dāng)代經(jīng)濟(jì)，2007，（8）：114-116.

[3] 徐建軍.GARCH族模型在匯率波動分析中的應(yīng)用[J].金融研究，2011，（5）：27-30.

[4] 高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009：186-194.

[5] Suliman Zakaria.Modelling Stock Market Volatility Using Univariate GARCH Model：Evidence from Sudan and Egypt[J].InternationalJournal of Economics and Finance.2012（11）：P160-166.

[責(zé)任編輯 柯 黎]endprint

（二）均值方程的設(shè)定

GARCH族模型均以均值方程為基礎(chǔ)，通過檢驗均值方程回歸的殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)來判斷能否應(yīng)用GARCH模型。本文設(shè)定均值方程為：

r=c+ut

均值方程中除了常數(shù)項和隨機(jī)擾動項沒有其他變量。因為影響美元指數(shù)收益率因素有很多，有些可以量化有些卻不能，因此通常認(rèn)為美元指數(shù)收益率以一個均值作為參考，每日收益率會圍繞該均值上下波動。通過Eviews軟件進(jìn)行回歸處理之后，對分離出殘差序列進(jìn)行殘差序列的ARCH-LM檢驗，從表1中可以看出，F(xiàn)統(tǒng)計量和卡方統(tǒng)計量的P值都小于0.05，則表示原序列存在ARCH效應(yīng)。

（三）方差方程的設(shè)定

金融資產(chǎn)的收益率很大程度上取決于其波動性，而美元收益率序列存在自相關(guān)性和異方差現(xiàn)象，即“ARCH效應(yīng)”，在減少估計參數(shù)的前提下為提高估計的準(zhǔn)確度，一般采用GARCH族模型對美元指數(shù)收益率的波動進(jìn)行估計。應(yīng)用Eviews軟件，通過前述四種GARCH族模型對模型中的方差方程進(jìn)行回歸分析，結(jié)果如表2所示。

（四）結(jié)果分析

從表2中可以看出，u均為接近于0的負(fù)數(shù)，說明美元指數(shù)收益率的均值很低，且在樣本期間內(nèi)總體處于虧損狀態(tài)。α1和β1表示滯后的條件方差和滯后的擾動項的平方可以解釋當(dāng)前的美元指數(shù)波動，二者之和越大表示波動越劇烈。GARCH和GARCH-M模型中GARCH項系數(shù)大于ARCH項系數(shù)，且均為正，表明前一期的波動對當(dāng)期波動為正向影響且作用程度比較大，而EGARCH和PGARCH模型中前期的波動對當(dāng)期波動的影響逐漸減少，甚至變?yōu)樨?fù)向影響且作用程度并不明顯，這可能是因為非對稱效應(yīng)的作用效果更顯著。GARCH-M模型中的均值方程依賴于條件方差函數(shù)，從上表中可以看到，σ2的估計系數(shù)是正的，這表明條件方差和收益率水平呈正相關(guān)，即隨著波動率的增加，收益率也相應(yīng)的增加。此結(jié)果與股票指數(shù)的風(fēng)險溢價理論相一致，說明風(fēng)險更高的資產(chǎn)擁有更高的預(yù)期回報率。從模型的估計結(jié)果中可以看出，EGARCH和PGARCH的估計系數(shù)γ均是接近于1的正數(shù)，這說明在存在非對稱響應(yīng)時，對比負(fù)面沖擊，正面沖擊對波動率的影響更大。從最大似然估計值的大小可以判斷，四種模型的估計效果比較接近，且PGARCH模型更優(yōu)。

三、結(jié)論

本文介紹了四種GARCH族模型及其估計方法，采集2007年6月1日到2014年5月1日的美元指數(shù)樣本數(shù)據(jù)，建立了描述時間序列變化特性的GARCH模型進(jìn)行對比分析，得到了美元指數(shù)波動的如下規(guī)律：（1）樣本期間內(nèi)美元指數(shù)收益率總體處于較低的虧損狀態(tài)。（2）美元指數(shù)收益率的波動受歷史波動率的影響，且影響范圍有限。（3）對稱GARCH模型中歷史波動率對當(dāng)前波動的影響較非對稱GARCH模型更顯著。

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[4] 高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009：186-194.

[5] Suliman Zakaria.Modelling Stock Market Volatility Using Univariate GARCH Model：Evidence from Sudan and Egypt[J].InternationalJournal of Economics and Finance.2012（11）：P160-166.

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（二）均值方程的設(shè)定

GARCH族模型均以均值方程為基礎(chǔ)，通過檢驗均值方程回歸的殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)來判斷能否應(yīng)用GARCH模型。本文設(shè)定均值方程為：

r=c+ut

均值方程中除了常數(shù)項和隨機(jī)擾動項沒有其他變量。因為影響美元指數(shù)收益率因素有很多，有些可以量化有些卻不能，因此通常認(rèn)為美元指數(shù)收益率以一個均值作為參考，每日收益率會圍繞該均值上下波動。通過Eviews軟件進(jìn)行回歸處理之后，對分離出殘差序列進(jìn)行殘差序列的ARCH-LM檢驗，從表1中可以看出，F(xiàn)統(tǒng)計量和卡方統(tǒng)計量的P值都小于0.05，則表示原序列存在ARCH效應(yīng)。

（三）方差方程的設(shè)定

金融資產(chǎn)的收益率很大程度上取決于其波動性，而美元收益率序列存在自相關(guān)性和異方差現(xiàn)象，即“ARCH效應(yīng)”，在減少估計參數(shù)的前提下為提高估計的準(zhǔn)確度，一般采用GARCH族模型對美元指數(shù)收益率的波動進(jìn)行估計。應(yīng)用Eviews軟件，通過前述四種GARCH族模型對模型中的方差方程進(jìn)行回歸分析，結(jié)果如表2所示。

（四）結(jié)果分析

從表2中可以看出，u均為接近于0的負(fù)數(shù)，說明美元指數(shù)收益率的均值很低，且在樣本期間內(nèi)總體處于虧損狀態(tài)。α1和β1表示滯后的條件方差和滯后的擾動項的平方可以解釋當(dāng)前的美元指數(shù)波動，二者之和越大表示波動越劇烈。GARCH和GARCH-M模型中GARCH項系數(shù)大于ARCH項系數(shù)，且均為正，表明前一期的波動對當(dāng)期波動為正向影響且作用程度比較大，而EGARCH和PGARCH模型中前期的波動對當(dāng)期波動的影響逐漸減少，甚至變?yōu)樨?fù)向影響且作用程度并不明顯，這可能是因為非對稱效應(yīng)的作用效果更顯著。GARCH-M模型中的均值方程依賴于條件方差函數(shù)，從上表中可以看到，σ2的估計系數(shù)是正的，這表明條件方差和收益率水平呈正相關(guān)，即隨著波動率的增加，收益率也相應(yīng)的增加。此結(jié)果與股票指數(shù)的風(fēng)險溢價理論相一致，說明風(fēng)險更高的資產(chǎn)擁有更高的預(yù)期回報率。從模型的估計結(jié)果中可以看出，EGARCH和PGARCH的估計系數(shù)γ均是接近于1的正數(shù)，這說明在存在非對稱響應(yīng)時，對比負(fù)面沖擊，正面沖擊對波動率的影響更大。從最大似然估計值的大小可以判斷，四種模型的估計效果比較接近，且PGARCH模型更優(yōu)。

三、結(jié)論

本文介紹了四種GARCH族模型及其估計方法，采集2007年6月1日到2014年5月1日的美元指數(shù)樣本數(shù)據(jù)，建立了描述時間序列變化特性的GARCH模型進(jìn)行對比分析，得到了美元指數(shù)波動的如下規(guī)律：（1）樣本期間內(nèi)美元指數(shù)收益率總體處于較低的虧損狀態(tài)。（2）美元指數(shù)收益率的波動受歷史波動率的影響，且影響范圍有限。（3）對稱GARCH模型中歷史波動率對當(dāng)前波動的影響較非對稱GARCH模型更顯著。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳靜.美元匯率近期走勢及其影響因素分析[J].國際金融，2012，（1）：59-62.

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[4] 高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009：186-194.

[5] Suliman Zakaria.Modelling Stock Market Volatility Using Univariate GARCH Model：Evidence from Sudan and Egypt[J].InternationalJournal of Economics and Finance.2012（11）：P160-166.

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