丁永勝 ，李朝紅 ，祝 微

（1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.齊齊哈爾高等師范?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，黑龍江 齊齊哈爾 161005）

1 基本知識

已知 n+1 個控制頂點(diǎn) Pi（i=0，1，…，n），則 p 次（即p+1階）B樣條曲線的表達(dá)式為：

其中，Ni，p（u）是調(diào)和函數(shù)，即為 B 樣條基函數(shù)。 Schoenberg[1]給出定義：給定參數(shù)軸U上的一個分割，由下列遞推關(guān)系定義的稱為U的p次（階）B樣條基函數(shù)：

其中，p 表示 B 樣條的次數(shù)（即 p+1 階），U={u0，u1，…，un+p+1}為節(jié)點(diǎn)矢量，ui為節(jié)點(diǎn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即ui+1-ui為常數(shù)時，則表示均勻B樣條；反之，ui+1-ui不為常數(shù)時，則表示非均勻B樣條。利用式（1）可以得到三次均勻B樣條基函數(shù)：

通過B樣條基函數(shù)可以很容易得到B樣條曲線的性質(zhì)[1-3]。

（1）嚴(yán)格的凸包性。曲線嚴(yán)格位于控制多邊的凸包內(nèi)。

（2）局部性。對于 k（即 p+1）階 B樣條曲線上參數(shù)為 t∈[ti，ti+1]的點(diǎn) P（t），至多與 k 個控制頂點(diǎn) Pj（j=i-k+1，…，i）有關(guān)，與其他控制頂點(diǎn)無關(guān)；移動該曲線的第 i個控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間（ti，ti+k）上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不產(chǎn)生影響。

（3）可微與連續(xù)性。在定義域內(nèi)重復(fù)度為k的節(jié)點(diǎn)處則使p-k次可微或具有p-k階參數(shù)連續(xù)性。

（4）分段參數(shù)多項(xiàng)式。 C（u）在每一區(qū)間 u∈[ui，ui+1）上都是次數(shù)不高于p的多項(xiàng)式。

（5）近似性?？刂贫噙呅问荁樣條曲線的線性近似，若進(jìn)行節(jié)點(diǎn)插入或升階會更加近似。次數(shù)越低，B樣條曲線越逼近控制頂點(diǎn)。

（6）幾何不變性。B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。

基于B樣條的優(yōu)良性質(zhì)，其造型的功能也十分靈活，用B樣條曲線可以構(gòu)造直線段、尖點(diǎn)、拐點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)以及切線等特殊情況。

2 控制三次均勻B樣條曲線幾何形態(tài)方法

在設(shè)計一般的卡通形象時，常常借助控制三次B樣條曲線幾何形態(tài)使構(gòu)造的形象更生動，控制三次均勻B樣條曲線幾何形態(tài)主要考慮以下方法技術(shù)：

（1）為在曲線內(nèi)嵌入一段直線，應(yīng)用4個頂點(diǎn)共線，如圖1所示。

（2）為使曲線和特征多邊形相切，應(yīng)用 3頂點(diǎn)共線或二重角點(diǎn)的技術(shù)。如果3個連續(xù)的控制點(diǎn)共線連成一段直線，則曲線將過直線上的一點(diǎn)，且在此點(diǎn)處，曲線直線化?？梢杂眠@樣的點(diǎn)構(gòu)成曲線的拐點(diǎn)，如圖2～圖4所示。

（3）為使曲線在某一頂點(diǎn)處形成尖點(diǎn)，可在該處使3個頂點(diǎn)相重合，如圖5所示。

（4）改變一個頂點(diǎn)，將影響相鄰4段曲線的形狀，利用B樣條曲線的局部性，可以對造型細(xì)節(jié)進(jìn)行微調(diào)，而不影響全局形狀，如圖6所示。

（5）用三重頂點(diǎn)或二重頂點(diǎn)控制曲線的端點(diǎn)：用三重頂點(diǎn)時，曲線通過端點(diǎn)，但開始段B樣條曲線是一小段直線；用二重頂點(diǎn)時，曲線不通過端點(diǎn)，而在多邊形首邊上靠近二重頂點(diǎn)的某一點(diǎn)開始。因此，利用控制多邊形的多重頂點(diǎn)可以調(diào)節(jié)曲線的端點(diǎn)位置，以達(dá)到形象設(shè)計的各種要求。如起點(diǎn)和終點(diǎn)處3點(diǎn)相重，曲線過控制多邊形端點(diǎn)，從而具有Bezier曲線的性質(zhì)，如圖7所示；也可以利用重點(diǎn)繪制封閉的三次B樣條曲線，如圖8所示。

圖1 4頂點(diǎn)共線

圖2 3頂點(diǎn)共線

圖3 二重角點(diǎn)

圖4 3點(diǎn)共線構(gòu)造拐點(diǎn)

圖5 3點(diǎn)重合構(gòu)造尖點(diǎn)

圖6 曲線的局部微調(diào)

圖7 3點(diǎn)重合過控制頂點(diǎn)

圖8 封閉樣條曲線

3 基于三次均勻B樣條的卡通形象設(shè)計

在充分掌握控制三次均勻B樣條曲線幾何形態(tài)之后，可以對二維卡通形象進(jìn)行設(shè)計。首先繪制卡通形象；然后在其上選擇采樣點(diǎn)構(gòu)造控制多邊形；利用所構(gòu)造的控制多邊形繪制三次均勻B樣條曲線；觀察卡通的輪廓特點(diǎn)，利用控制三次均勻B樣條曲線幾何形態(tài)方法技術(shù)繪制特殊的輪廓曲線特征；最后反復(fù)修改，調(diào)節(jié)形狀使其更逼真形象。

如繪制圖9中兩個企鵝的卡通形象，其采樣點(diǎn)如圖10所示，其采樣點(diǎn)分別設(shè)計為以下幾類控制多邊形矩陣（如圖11所示）：大小企鵝翅膀①、大小企鵝外形輪廓線②、大小企鵝眼睛線③、大小企鵝嘴空隙線④、大小企鵝脖線⑤和地面修飾線⑥等。

在構(gòu)造各類曲線形狀時分別用到了曲線內(nèi)嵌入一段直線、曲線和特征多邊形相切、在某一頂點(diǎn)處形成尖點(diǎn)、構(gòu)成曲線的拐點(diǎn)、利用重點(diǎn)繪制封閉的三次B樣條曲線以及曲線過控制多邊形端點(diǎn)等各類技巧。

圖12給出了海豚卡通形象的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，圖13為海豚的控制多邊形，圖14為繪制的海豚形象。

圖9 企鵝卡通形象

圖10 企鵝采樣點(diǎn)

圖11 控制多邊形

圖12 海豚采樣點(diǎn)

圖13 控制多邊形

圖14 海豚

在設(shè)計平面卡通形象時，借助B樣條曲線的優(yōu)良性質(zhì)控制幾何形態(tài)，使構(gòu)造的卡通更形象生動且易修改。因此，只要充分理解、掌握和控制B樣條曲線的方法技術(shù)，就可以根據(jù)不同的需求設(shè)計出各類卡通形象；通過進(jìn)一步修改某處控制頂點(diǎn)，可以使卡通形象發(fā)生局部變化，從而達(dá)到動態(tài)的效果。

[1]施法中.計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]張義寬.計算機(jī)圖形學(xué)[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2005.

[3]張彩明.計算機(jī)圖形學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.