張巳遷+盧玲+彭月平

摘 要： 隨機(jī)共振在含噪神經(jīng)元系統(tǒng)的研究中有很大的優(yōu)勢。通過建立神經(jīng)元仿真模型，并分別以閾值下信號和閾值上信號加以刺激，利用數(shù)值仿真和非線性分析理論，分析神經(jīng)元模型的隨機(jī)共振特性。結(jié)果顯示神經(jīng)元模型在閾值上和閾值下都顯示出了單峰性，說明神經(jīng)元系統(tǒng)中存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。

關(guān)鍵字： 神經(jīng)元模型； 隨機(jī)共振； 數(shù)值仿真； 含噪神經(jīng)元系統(tǒng)

中圖分類號： TN911.4?34； TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）21?0058?04

Research on stochastic resonance characteristics of neuron model

ZHANG Si?qian， LU Ling， PENG Yue?ping

（Thirteen Brigade of Graduate， Engineering University of CAPF， Xian 710086， China）

Abstract： Stochastic resonance has a great advantage in the research of noisy neurons system. In this paper， the threshold signals is used to excite the neuron simulation model， and the characteristics of stochastic resonance in neurons system are analyzed by means of numerical simulation and nonlinear analysis theory. The results show that neuron model reveals the unimodality in both threshold values. That means a phenomenon of stochastic resonance exists in neuron system.

Keywords： neuron model； stochastic resonance； numerical simulation； noisy neuron system

0 引 言

在傳統(tǒng)的去噪方法中，噪聲被人們普遍當(dāng)成一種干擾而加以消除。當(dāng)隨機(jī)共振現(xiàn)象被Benzi等提出來后[1]，人們才發(fā)現(xiàn)噪聲在一定情況下可以增強(qiáng)有用信號的提取。而隨機(jī)共振現(xiàn)象也受到人們更多關(guān)注。隨機(jī)共振現(xiàn)象是指在非線性系統(tǒng)中，通過噪聲做媒介引起微弱周期信號與自身系統(tǒng)的協(xié)同作用，來增強(qiáng)對微弱信號的提取。顯然， 隨機(jī)共振對噪聲的處理與其他抑制或消除噪聲的處理方法不同。隨機(jī)共振并沒有消除噪聲， 它是充分利用噪聲來強(qiáng)化弱信號。而抑制方法則是盡可能地消除噪聲。隨機(jī)共振現(xiàn)象存在許多方面，如工業(yè)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等，而近些年的研究表明，生物神經(jīng)系統(tǒng)中是有噪聲存在的，同時(shí)也存在著隨機(jī)共振現(xiàn)象。

20世紀(jì)50年代Hodgkin和Huxley就建立了著名的Hodgkin?Huxley即（H?H）神經(jīng)元模型來研究神經(jīng)元的放電特性。而FitzHugh和Nagumo通過簡化H?H模型提出了FitzHugh_Nagumo即（FHN）神經(jīng)元模型。1994年， Wiesenfeld 等在FNH神經(jīng)元模型中發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)共振的存在[2]，通過這些模型人們了解到神經(jīng)元當(dāng)中也存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。生物神經(jīng)系統(tǒng)向來是被認(rèn)為有噪聲存在的，比如經(jīng)典的小龍蝦尾部神經(jīng)元隨機(jī)共振實(shí)驗(yàn)就是由Douglass等發(fā)現(xiàn)的[3]。Marks等研究了閾值系統(tǒng)在圖像增強(qiáng)方面的應(yīng)用[4]，發(fā)現(xiàn)在閾值系統(tǒng)中存在一個(gè)噪聲強(qiáng)度， 使得含噪圖像具有最佳視覺效果；Hongler等的研究表明，視覺系統(tǒng)中隨機(jī)共振的存在有助于圖像邊緣檢測，這些結(jié)果都為圖像復(fù)原增強(qiáng)提供了新思路[4]。

Hodgkin?Huxley（H?H）神經(jīng)元模型是一種定量描述神經(jīng)細(xì)胞膜電位與離子流參數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。而FitzHugh?Nagumo（FHN）模型是H?H神經(jīng)元模型的簡化版本，但同樣描述了神經(jīng)電信號在軸突間的傳遞過程[5]。本文通過建立H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元系統(tǒng)模型，研究在高斯白噪聲下，閾值上信號和閾值下信號刺激神經(jīng)元模型產(chǎn)生的隨機(jī)共振現(xiàn)象及其特性，并探究神經(jīng)元模型的隨機(jī)共振機(jī)制。將其等效為一個(gè)兩態(tài)的閾值跨越模型。

1 神經(jīng)元模型的隨機(jī)共振研究

隨機(jī)共振概念自被提出以來，已有了較大發(fā)展。本文以FHN神經(jīng)元模型和H?H神經(jīng)元模型為研究對象來研究神經(jīng)元隨機(jī)共振特性。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，選用方波信號和正弦信號作為周期信號輸入，所添加的噪聲均為高斯白噪聲，噪聲強(qiáng)度[D]表示方差的大小。

正弦信號表達(dá)式為：

[S（t）=Isin（2πft）] （1）

式中：[I]表示信號的幅值；[f]表示信號的頻率。

方波信號占空比為50%，表達(dá)式為：

[S（t）=I， t∈[0，12f]-I， t∈[12f，1f]] （2）

式中：[I]為信號的幅值；[f]為信號的頻率。

非周期信號選用脈沖序列信號，表達(dá)式為：

[S（t）=Ai=-∞∞SiΓ（t-iT）] （3）

式中：[A]表示信號的幅值；[Γ（t）=I， t∈[0，T]0， 其他；][T]表示脈沖寬度；[Si=±1]表示獨(dú)立分布的隨機(jī)變量。這里脈沖寬度為20 ms，采樣的時(shí)間間隔為0.02 ms。

1.1 FHN神經(jīng)元模型隨機(jī)共振研究

FHN神經(jīng)元模型表達(dá)式如式（4）所示：

[εdvdt=v（1-v）（v-a）-w+AT-B+Iextdwdt=γ（v-w-b）] （4）

研究FHN神經(jīng)元模型隨機(jī)共振時(shí)各參數(shù)取值如下[6]：[ε=0.005，][γ=1，][a=0.5，][b=0.15，][AT=0.11 mV，][B=0.07 mV；]在受到外界刺激時(shí)，如果[V]正向跨越閾值[V=]0.5 mV，則表示神經(jīng)元模型在外信號的刺激下發(fā)放動作電位[7]，若未跨越閾值，則認(rèn)為神經(jīng)元的響應(yīng)為0。

1.1.1 FHN神經(jīng)元模型閾值下隨機(jī)共振

設(shè)刺激信號[S（t）=Isin（2πft）。]幅值為[I=]0.08 μA/cm2，頻率[f=15]Hz。輸入噪聲類型為高斯白噪聲。當(dāng)噪聲強(qiáng)度[D]不同時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元模型輸出響應(yīng)如圖1所示。

其中，圖1（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖1（b）中可以看出，當(dāng)[D=0]時(shí)，神經(jīng)元模型未被激活，并無動作電位的發(fā)放。圖1（c）～圖1（e）分別表示[D=]0.4×10-6，[D=]1.8×10-6，[D=]15×10-6時(shí)的輸出響應(yīng)?？梢钥闯觯?dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。其中，噪聲強(qiáng)度略大于零或過大時(shí)，神經(jīng)元模型的輸出響應(yīng)與輸入信號的關(guān)聯(lián)性都不是很好。只有適當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度才能使這種輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系達(dá)到最大化。

從圖1中可以看出，周期輸入時(shí)信號在閾值下時(shí)，互信息率隨著噪聲強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)出單峰性，在某一非零范圍內(nèi)存在最大值，這表明，當(dāng)輸入閾值下周期信號時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元模型具有典型的隨機(jī)共振特性。

圖1 閾值下周期信號輸入，F(xiàn)HN神經(jīng)元模型響應(yīng)示意圖

1.1.2 FHN神經(jīng)元模型閾值上隨機(jī)共振

設(shè)刺激信號[S（t）=Isin（2πft）。]幅值為[I=]0.1 μA/cm2，頻率[f=15]Hz。輸入噪聲類型為高斯白噪聲。當(dāng)噪聲強(qiáng)度[D]不同時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元模型輸出響應(yīng)如圖2所示。

其中，圖2（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖2（b）中可以看出，當(dāng)[D=0]時(shí)，神經(jīng)元模型未被激活，并無動作電位的發(fā)放。圖2（c），圖2（d）分別表示[D=]1.2×10-6，[D=]5×10-6時(shí)的輸出響應(yīng)?？梢钥闯?，當(dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。其中，噪聲強(qiáng)度略大于零或過大時(shí)，神經(jīng)元模型的輸出響應(yīng)與輸入信號的關(guān)聯(lián)性都不是很好。只有適當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度才能使這種輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系達(dá)到最大化。這也說明FHN神經(jīng)元模型中存在著隨機(jī)共振現(xiàn)象。

1.2 H?H神經(jīng)元模型隨機(jī)共振研究

H?H神經(jīng)元模型的表達(dá)式如下：

[CmdVdt=Iext-gNam3h（V-UNa）-gKn4（V-UK）-gL（V-UL）dhdt=h∞（V）-hτh（V）dndt=n∞（V）-nτn（V）dmdt=m∞（V）-mτm（V）]

圖2 閾值上周期信號輸入，F(xiàn)HN神經(jīng)元模型響應(yīng)示意圖

其參數(shù)取值如下：

[UNa=50 mV，][UK=-77 mV，][UL=-54.4 mV，][gNa=][120 ms/cm2，][gK=36 ms/cm2，][gL=0.3 ms/cm2，][Cm=1 μF/cm2。]

[m∞（V）=am（am+bm），]其中[am=（0.1V+4）（1-e-（0.1V+4）），][bm=4e-（0.055 6V+3.611 1）。]

[h∞（V）=ah（ah+bh），]其中[ah=0.07e-（0.05V+3.25），bh=][1（1+e-（0.1V+3.5））。]

[n∞（V）=an（an+bn），]其中[an=（0.01V+0.55）/][（1-e-（0.1V+5.5）），] [bn=0.125e-（0.012 5V+0.812 5）。]

1.2.1 H?H神經(jīng)元模型閾值下隨機(jī)共振

以信號幅值[I=0.8] μA/cm2，頻率[f=15]Hz，占空比為50%，恒定偏移量[I0=0.5]μA/cm2的方波為刺激電流。輸入噪聲為高斯白噪聲。當(dāng)噪聲強(qiáng)度[D]不同時(shí)，H?H神經(jīng)元模型輸出響應(yīng)如圖3所示。

其中，圖3（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖3（b）中可以看出，當(dāng)[D=0]時(shí)，神經(jīng)元模型未被激活，并無動作電位的發(fā)放。圖3（c）～圖3（e）分別表示[D=0.3，][D=1.5，][D=18]時(shí)的輸出響應(yīng)?？梢钥闯?，當(dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。當(dāng)噪聲強(qiáng)度超過一定范圍時(shí)，神經(jīng)元模型放電次數(shù)過于頻繁，呈現(xiàn)出隨機(jī)發(fā)放的狀態(tài)，失去了與信號的關(guān)聯(lián)性。

1.2.2 H?H神經(jīng)元模型閾值上隨機(jī)共振

以幅值[I=]1.2 μA/cm2，頻率[f=15]Hz，占空比為50%，恒定偏移量[I0=]0.6 μA/cm2的方波為刺激電流。噪聲強(qiáng)度不同時(shí)，H?H神經(jīng)元模型響應(yīng)如圖4所示。

圖3 閾值下周期信號輸入，H?H神經(jīng)元模型響應(yīng)示意圖

圖4 閾值上周期信號輸入，H?H神經(jīng)元模型響應(yīng)示意圖

從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時(shí)，H?H神經(jīng)元模型已經(jīng)被激活，表明此時(shí)收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時(shí)的輸出響應(yīng)?？梢钥闯觯?dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。當(dāng)噪聲強(qiáng)度超過一定范圍時(shí)，神經(jīng)元模型放電次數(shù)過于頻繁，呈現(xiàn)出隨機(jī)發(fā)放的狀態(tài)，失去了與信號的關(guān)聯(lián)性。這表明H?H神經(jīng)元模型在閾值上能檢測到隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2 結(jié) 語

通過實(shí)驗(yàn)可以知道，利用外加周期信號控制隨機(jī)共振的方法在渦街頻率檢測中的應(yīng)用是可行和有效的，同時(shí)該方法也適用于其他涉及強(qiáng)噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應(yīng)用前景[10]。本文通過對FHN神經(jīng)元模型和H?H神經(jīng)元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看：FHN神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實(shí)驗(yàn)同時(shí)可以得出，在閾值上用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，H?H和FHN神經(jīng)元模型的仿真結(jié)果均出現(xiàn)了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。同時(shí)在閾值下用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，也出現(xiàn)了同樣的效果，說明H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。這就可以將神經(jīng)元系統(tǒng)等效為類似于二值系統(tǒng)，該系統(tǒng)在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實(shí)驗(yàn)還存在一定的不足之處，對于在實(shí)際的信號處理上本文并沒有做一實(shí)驗(yàn)，這也將是本文在今后研究的主要方向。

參考文獻(xiàn)

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從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時(shí)，H?H神經(jīng)元模型已經(jīng)被激活，表明此時(shí)收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時(shí)的輸出響應(yīng)。可以看出，當(dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。當(dāng)噪聲強(qiáng)度超過一定范圍時(shí)，神經(jīng)元模型放電次數(shù)過于頻繁，呈現(xiàn)出隨機(jī)發(fā)放的狀態(tài)，失去了與信號的關(guān)聯(lián)性。這表明H?H神經(jīng)元模型在閾值上能檢測到隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2 結(jié) 語

通過實(shí)驗(yàn)可以知道，利用外加周期信號控制隨機(jī)共振的方法在渦街頻率檢測中的應(yīng)用是可行和有效的，同時(shí)該方法也適用于其他涉及強(qiáng)噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應(yīng)用前景[10]。本文通過對FHN神經(jīng)元模型和H?H神經(jīng)元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看：FHN神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實(shí)驗(yàn)同時(shí)可以得出，在閾值上用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，H?H和FHN神經(jīng)元模型的仿真結(jié)果均出現(xiàn)了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。同時(shí)在閾值下用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，也出現(xiàn)了同樣的效果，說明H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。這就可以將神經(jīng)元系統(tǒng)等效為類似于二值系統(tǒng)，該系統(tǒng)在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實(shí)驗(yàn)還存在一定的不足之處，對于在實(shí)際的信號處理上本文并沒有做一實(shí)驗(yàn)，這也將是本文在今后研究的主要方向。

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從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時(shí)，H?H神經(jīng)元模型已經(jīng)被激活，表明此時(shí)收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時(shí)的輸出響應(yīng)。可以看出，當(dāng)噪聲不斷加強(qiáng)時(shí)，輸出響應(yīng)與輸入信號之間的關(guān)系從好逐漸變差。當(dāng)噪聲強(qiáng)度超過一定范圍時(shí)，神經(jīng)元模型放電次數(shù)過于頻繁，呈現(xiàn)出隨機(jī)發(fā)放的狀態(tài)，失去了與信號的關(guān)聯(lián)性。這表明H?H神經(jīng)元模型在閾值上能檢測到隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2 結(jié) 語

通過實(shí)驗(yàn)可以知道，利用外加周期信號控制隨機(jī)共振的方法在渦街頻率檢測中的應(yīng)用是可行和有效的，同時(shí)該方法也適用于其他涉及強(qiáng)噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應(yīng)用前景[10]。本文通過對FHN神經(jīng)元模型和H?H神經(jīng)元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看：FHN神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經(jīng)元模型在閾值下時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時(shí)，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實(shí)驗(yàn)同時(shí)可以得出，在閾值上用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，H?H和FHN神經(jīng)元模型的仿真結(jié)果均出現(xiàn)了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。同時(shí)在閾值下用不同強(qiáng)度的周期信號和非周期信號加以刺激時(shí)，也出現(xiàn)了同樣的效果，說明H?H神經(jīng)元模型和FHN神經(jīng)元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機(jī)共振現(xiàn)象。這就可以將神經(jīng)元系統(tǒng)等效為類似于二值系統(tǒng)，該系統(tǒng)在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實(shí)驗(yàn)還存在一定的不足之處，對于在實(shí)際的信號處理上本文并沒有做一實(shí)驗(yàn)，這也將是本文在今后研究的主要方向。

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