樊 銳 劉 歡 王 丹

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

并聯(lián)機構(gòu)由于其剛度大、承載能力強、位置精度高等優(yōu)點[1]，多年來一直是眾多學者研究的對象.與6自由度并聯(lián)機構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低、控制相對容易，因此成為并聯(lián)機構(gòu)學新的研究熱點.

靜力學分析是并聯(lián)機構(gòu)分析的必要環(huán)節(jié)，是機構(gòu)運動學分析的延續(xù)和動力學分析的基礎[2]，通過靜力分析確定力傳遞特性，進而為尺度綜合等運動學設計提供依據(jù)[3];并聯(lián)機構(gòu)剛度是末端操作器在外力作用下，由于彈性元件變形引起位移大小的度量[4]，它影響并聯(lián)機構(gòu)在受負載情況下的定位精度[5]，也是機構(gòu)設計重要的評價指標.剛度分析的方法分為有限元分析法和模型解析法.有限元分析法計算簡便，精確度較高，但工作量大.剛度解析模型是指機構(gòu)的操作力和末端變形之間的映射.Gosselin[6]依據(jù)虛功原理，建立了空間機構(gòu)操作力與末端變形間的映射;李樹軍等[7]考慮結(jié)構(gòu)位形變化和外力影響對并聯(lián)機構(gòu)剛度特性進行了分析;趙鐵石等[8]通過引進機構(gòu)的二階影響矩陣推導了并聯(lián)機構(gòu)剛度非線性映射.Wu等[9]在考慮機床所有部件剛度矩陣的前提下，利用裝配法建立了5自由度混聯(lián)機床的剛度模型.

本文以用于數(shù)控機床加載的3自由度并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，基于螺旋理論建立了包含支鏈自重在內(nèi)的靜力學平衡方程以及考慮支鏈彈性變形情況下機構(gòu)的剛度模型，得到機構(gòu)運動平臺與驅(qū)動力之間的受力關系以及機構(gòu)在指定載荷下的變形分布，評價了并聯(lián)機構(gòu)的剛度特性，為并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及性能分析提供了理論依據(jù).

1 機構(gòu)描述

本文提出的三自由度并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖1a所示，圖1b為其結(jié)構(gòu)簡圖.

圖1 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖和結(jié)構(gòu)簡圖

該機構(gòu)由基座、動平臺和連接二者的3條支鏈組成.3條支鏈均包含2條等長的S-S支鏈，為一平行四邊形結(jié)構(gòu);支鏈的兩端通過球鉸鏈(S)分別和動平臺與基座上的滑塊相連，上端3對球鉸鏈均勻地分布在動平臺上，每對球鉸鏈中心點連線形成一等邊三角形;基座上包含3個滑塊，分別安裝在3個直線驅(qū)動單元(伺服電機+滾珠絲杠)上，機構(gòu)的運動通過對3個滑塊的直線驅(qū)動實現(xiàn)，移動副的運動方向如圖1b所示.建立如圖所示的動靜坐標系Op-xpypzp和Ob-xbybzb，Ai(i=1，2，3，4，5，6) 表示動平臺上的鉸鏈點，Bi(i=1，2，3，4，5，6) 表示滑塊上的鉸鏈點.

2 螺旋理論基本概念

在螺旋理論中，一個旋量可以同時表示空間一組對偶矢量，如可以表示矢量的方向和其作用線位置;表示剛體運動學中的線速度和角速度;表示剛體力學中的力和力偶，這對于并聯(lián)機構(gòu)的某些分析是非常方便的.

旋量用對偶矢量表示為

其中，S稱為對偶矢量的原部，是一個三維向量;S0稱為對偶矢量的對偶部，也是一個三維向量，所以旋量是一個六維向量.

如果S為單位矢量，$可表示螺旋運動的單位速度矢量或者螺旋運動副軸線的單位矢量.若存在$1和$2互易積為零，即

就稱$1與$2互為反螺旋，符號“?”表示兩螺旋作互易積運算，這時反螺旋可用$r表示.對應螺旋系，若存在能同時滿足下列方程組:

式中$r稱為該螺旋系的反螺旋.

3 靜力學分析

3.1 靜力學方程的建立

該并聯(lián)機構(gòu)用于對數(shù)控機床進行加載，動平臺的中心點與機床主軸相連，因此動平臺將承受機床主軸施加的力和轉(zhuǎn)矩.機構(gòu)在靜止狀態(tài)下的整體受力如圖1b所示，單個支鏈3受力分析圖如圖2a所示.

圖2 并聯(lián)機構(gòu)單支鏈和動平臺受力分析圖

忽略桿的自重，將每根桿看作二力桿，整個支鏈子系統(tǒng)的外力在沿滑塊方向(即e=[1，0，0]T方向)上的平衡方程為

從而得到滑塊3的驅(qū)動力和相鄰兩桿的受力之間的關系:

同理另外2條支鏈的滑塊驅(qū)動力與相鄰桿的受力之間的關系表示為

動平臺的受力分析圖如圖2b所示.根據(jù)鉸鏈對動平臺的6個力的力螺旋與動平臺上外載和重力的6維外力螺旋之和為0得到螺旋方程:

式中，F(xiàn)e=F+Gd;$li為力fi相對于靜坐標系Obxbybzb的單位線矢;Gd為動平臺的重力表示;$li=[Si;Soi]，Si·Si=1，Si·Soi=0，Si(i=1，2，3，4，5，6)為力 fi單位方向矢量，Soi為支鏈 li對動平臺作用力的單位線矢螺旋，方向沿各桿軸向方向，Soi=ObAi× Si.

將式(7)寫成矩陣的形式:

已知動平臺與靜平臺的結(jié)構(gòu)尺寸及位置參數(shù)就可以得到力雅可比矩陣;已知各桿的力fi，則可以得出動平臺所受的合力F0.目前考慮的情況是系統(tǒng)處于靜力加載過程且機構(gòu)非奇異，故力雅可比矩陣是滿秩的，則有

式中

即唯一的力F0可以確定6桿上力的大小.

3.2 支鏈自重對力學模型的影響

上述對機構(gòu)的力分析忽略了6根桿的自重，而本機構(gòu)整體尺寸不大，6根桿相較于機構(gòu)的整體，其自重對機構(gòu)整體力學模型的影響不容忽視.本節(jié)采用投影幾何法，將6根桿所受的重力沿自身的方向矢量投影，以此對本并聯(lián)機構(gòu)的受力平衡方程(8)進行修正.

如圖2a所示，取支鏈3上2根桿為研究對象，設桿件自身的重力矢量為Gi，方向豎直向下.將桿的重力在桿的單位方向矢量上投影得

式(8)可修正為

式中

其他參數(shù)含義見上文.

圖3給出了動平臺在x=0 mm，z=85 mm這一位置時，機構(gòu)處于無負載情況，隨著y的變化，在是否考慮桿的自重2種情況下支鏈1的受力變化圖.

圖3 2種情況下支鏈1的受力變化對比圖

從圖3中可以看出，無負載時2種情況下支鏈1的受力相差約為3 N，因此，需要對力學模型進行修正.

3.3 靜力分析

通過式(4)～式(6)和式(11)可以得到并聯(lián)機構(gòu)動平臺與驅(qū)動力之間的映射關系，根據(jù)機構(gòu)動平臺受到的外載可以確定3個驅(qū)動力的大小，由此可以對機構(gòu)進行驅(qū)動功率的設計[10].為了反映并聯(lián)機構(gòu)動平臺受到外力作用時，3個驅(qū)動力在工作空間的任意截面內(nèi)的分布情況，本節(jié)將通過實例對其進行三維仿真.

圖4a、圖4b、圖4c分別為動平臺在 x=0 mm截面上承受Fz=－1000 N的外載時，3個驅(qū)動力在給定yz空間內(nèi)的變化情況.

機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.

表1 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

由圖4可知3個滑塊的最大驅(qū)動力不超過1000 N，當動平臺在x=0 mm截面上時，驅(qū)動力的大小和方向都與動平臺的位置有關，以此可以為驅(qū)動元件直線單元的選取提供理論依據(jù).

圖4 驅(qū)動力在空間內(nèi)的分布情況

4 靜剛度研究

將并聯(lián)機構(gòu)的每條支鏈看成2個彈性桿，由靜力學分析可知，在外載荷作用下，支鏈上的2根桿會受到沿自身軸向的作用力，由此發(fā)生彈性變形，從而引起動平臺位姿發(fā)生偏移，外載荷與動平臺位姿偏移量的映射關系即為并聯(lián)機構(gòu)剛度模型.并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度模型反映了機構(gòu)在無驅(qū)動輸入的前提下，動平臺所受外載荷與之引起的形變之間的關系.

4.1 支鏈的靜剛度

并聯(lián)機構(gòu)的每條支鏈采用伺服電機加滾珠絲杠的驅(qū)動方式，伺服電機的旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為由絲杠帶動移動副的直線運動.文獻[11]中指出支鏈的靜剛度包括驅(qū)動部件的靜剛度和固定部件的靜剛度兩部分，可表示為

式中ka為支鏈驅(qū)動部件的軸向靜剛度;kla，i(i=1，2，3，4，5，6)為支鏈固定部件的靜剛度.

4.2 支鏈彈性變形與動平臺位姿變化關系

由運動學反解模型可知，并聯(lián)機構(gòu)變形前滿足幾何約束方程:

此時并聯(lián)機構(gòu)變形后滿足的幾何約束方程為

式中δli為桿i在外力作用下的彈性變形量.

由此得到動平臺位姿偏移量與桿i彈性變形量之間的映射關系:

式中，Jvl為并聯(lián)機構(gòu)的速度映射矩陣:

δl為由6條桿的軸向變形量構(gòu)成的向量:

右上角標表示桿的序號，下同;δD為動平臺位姿偏移量:

4.3 靜剛度矩陣

對式(9)行全微分，同時考慮支鏈i在外載荷下的彈性變形得

式中，δF為作用在并聯(lián)機構(gòu)動平臺上外載荷的變化量;Kl為每個支鏈的靜剛度組成的六維對角陣:

符號“?”表示矩陣的張量積;K表示并聯(lián)機構(gòu)的全剛度矩陣.當矩陣非奇異時，由式(17)可得桿i的彈性變形與動平臺位姿偏移量之間的關系:

整理式(15)和式(18)得

從而得到并聯(lián)機構(gòu)的完整靜剛度矩陣:

忽略雅可比矩陣變化量對機構(gòu)整體剛度矩陣的影響，即

式(20)可進一步簡化:

式(21)即為并聯(lián)機構(gòu)的簡化剛度矩陣.

4.4 靜剛度特性分析

并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定后，其剛度會隨著位姿的變化而發(fā)生改變.從機構(gòu)設計考慮，并聯(lián)機構(gòu)的最小剛度應當大于給定值從而保證機構(gòu)在工作空間內(nèi)的精度.評價并聯(lián)機構(gòu)剛度的指標有剛度矩陣的跡、行列式、條件數(shù)以及特征值，本文將以并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣的最大特征值Kmax、最小特征值Kmin和KSI指標[12]作為評價指標，來觀察機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)的剛度分布情況.在并聯(lián)機構(gòu)動平臺位姿和所受載荷確定的情況下，文獻[7]中給出了機構(gòu)的變形計算公式:

取表1所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)，圖5給出了并聯(lián)機構(gòu)動平臺在x=0 mm且受到恒定靜載荷Fz=－1000 N時的變形情況，為了便于觀察動平臺的變形情況，此處各軸的變形均取絕對值.

如圖5所示，并聯(lián)機構(gòu)動平臺在x=0 mm處且受到恒定靜載荷Fz=－1000 N時，最大變形發(fā)生在沿z軸方向，大小為0.025mm，且動平臺沿各軸所發(fā)生的變形分布均相對于 y軸對稱，在y=0 mm時變形最小;沿z軸方向并無此規(guī)律.

圖5 靜載下動平臺在工作空間內(nèi)的變形分布圖

下文以并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣的最大特征值、最小特征值和KSI指標來評價機構(gòu)在工作空間內(nèi)的剛度分布.圖6給出了動平臺在x=0 mm處，其沿y和z軸的最大、最小特征值以及KSI分布.

如圖6所示，并聯(lián)機構(gòu)在x=0 mm平面內(nèi)的最大、最小剛度特征值和KSI均沿y軸對稱分布，并且該機構(gòu)在越接近y=0 mm處剛度越好，處于工作空間邊界的位置剛度較差;同時還可以得出，機構(gòu)動平臺處于y=0 mm平面內(nèi)時，z向位移越大，機構(gòu)的剛度特性越好.

圖6 并聯(lián)機構(gòu)剛度特性

5 結(jié)論

1)由于該加載機構(gòu)的特殊性，靜力學模型需要考慮支鏈自重對其的影響;

2)加載機構(gòu)驅(qū)動力的大小和方向與動平臺的位置有關，由此可以根據(jù)給定加載機構(gòu)的工作空間來選取合適的驅(qū)動單元;

3)并聯(lián)機構(gòu)在指定位置給定載荷的工況下的變形分布相對于y軸對稱，且最大變形發(fā)生在沿z軸方向;

4)并聯(lián)機構(gòu)在x=0mm平面內(nèi)的剛度特性沿y軸對稱分布，且在工作空間邊界位置剛度較差.

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