渠敬明

現(xiàn)實生活中存在著很多可以通過列一元二次方程來解決的實際問題. 解答這類題的關(guān)鍵是在理解題意、分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，把生活中的語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，從而建立數(shù)學(xué)模型 .

一、 求增長（降低）類

例1 （2012·四川樂山）菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷. 李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售.

（1） 求平均每次下調(diào)的百分率；

（2） 小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：

方案一：打九折銷售；

方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.

試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由.

【分析】（1） 對于兩次降價問題，一般是降價后的價格=降價前的價格×（1-下調(diào)的百分率）2.設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率，根據(jù)從5元下調(diào)到3.2元，列出一元二次方程求解即可.（2）根據(jù)優(yōu)惠方案分別求得兩種方案的費用后比較即可得到結(jié)果.

解：（1） 設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，

由題意，得5（1-x）2=3.2.

解這個方程，得x1=0.2，x2=1.8.

因為降價的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1= 0. 2=20%.

答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.

（2） 小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.

方案一：3.2×0.9×5 000=14 400（元），

方案二：3.2×5 000-200×5=15 000（元）.

∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.

【點評】列一元二次方程解增長（或降低）率問題時，關(guān)鍵就是要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系. 如果在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次，那么列出的方程是一元二次方程.

如求增長率：若原數(shù)為a，平均增長率為x，

則第一次增長后為a（1+x），

第二次增長后為a（1+x）+a（1+x）x=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2.

增長率關(guān)系一般形式為：a（1+x）n=b，同理降低率問題的一般形式為：a（1-x）n=b. 其中x為增長（或降低）百分率，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量，n為增長（或降低）的次數(shù)，要注意靈活運用其固定的等量關(guān)系.

二、 市場營銷類

讓我們領(lǐng)悟商場中的玄機.

例2 某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價與銷售有如下關(guān)系，若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價為27萬元，每多售一部，所有出售的汽車的進(jìn)價均降低0.1萬元/部. 月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內(nèi)（含10部），每部返利0. 5萬元，銷售量在10部以上，每部返利1萬元.

（1） 若該公司當(dāng)月賣出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價為______萬元；

（2） 如果汽車的銷售價為28萬元/部，該公司計劃當(dāng)月盈利12萬元，那么要賣出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）

【分析】（1） 根據(jù)“若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價均降低0.1萬元/部”，得出該公司當(dāng)月售出3部汽車時，則每部汽車的進(jìn)價為：[27-0.1×（3-1）]元.

（2） 設(shè)需要售出x部汽車，由題意可根據(jù)當(dāng)0≤x≤10，以及當(dāng)x>10時，分別討論得出每部汽車的銷售利潤.

解：（1） 若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價為27萬元，每多售出1部，所有售出汽車的進(jìn)價均降0.1萬元/部；該公司當(dāng)月售出3部汽車，每部汽車的進(jìn)價：27-0.1×2=26.8（萬元）.

（2） 設(shè)需要售出x部汽車，每部汽車的利潤為：28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（萬元）.

①當(dāng)0≤x≤10時，

（0.1x+0.9）x+0.5x=12，

整理，得x2+14x-120=0，

解這個方程，得x1=6，x2=-20（不合題意，舍去）.

②當(dāng)x>10時，

由題意，得x（0.1x+0.9）+x=12，

整理，得x2+19x-120=0，

解這個方程，得x1=5，x2=-24（不合題意，舍去）.

因為5<10，所以x1=5舍去.

答：需要售出6部.

【點評】求營銷問題中的單價、銷售量和總利潤三個量中任何一個量時，需要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，每件利潤×售出總量=總利潤（其中：每件利潤=每件銷售價-每件成本價）.我們要抓住題目中的關(guān)鍵詞，把生活中的語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，分清變化前后銷售總量之間對應(yīng)的變化關(guān)系，然后依據(jù)數(shù)學(xué)模型建立有關(guān)方程. 題目千變?nèi)f化，依然有規(guī)律可循，緊扣題意，百變不離其中.

三、 工藝裝裱

例3 曉芳的媽媽繡了一幅長80 cm、寬60 cm的十字繡的矩形風(fēng)景畫. 曉芳想幫媽媽把這幅十字繡的四周鑲一條相同寬度的金邊，然后再裝裱在一個矩形畫框中，如圖1所示，最外圈深色部分是畫框. 如果要使整個畫框的面積是6 300 cm2，當(dāng)畫框四邊寬度均為2厘米時，求金邊的寬度？

【分析】設(shè)金邊的寬度是x cm，截取題目中關(guān)鍵數(shù)據(jù)，根據(jù)“繡了一幅長80 cm、寬60 cm的十字繡的矩形風(fēng)景畫”，“整個畫框的面積是6 300 cm2”，“畫框四邊寬度均為2 cm”，可列方程求解.

解：設(shè)金邊的寬度是x cm，

（80+2+2+2x）（60+2+2+2x）=6300，

即：x2+74x-231=0，

解這個方程，得x1=3，x2=-77（不合題意，舍去）.

答：金邊的寬度是3 cm.

【點評】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵在于設(shè)出金邊的寬度，表示出畫框的長和寬，以面積作為等量關(guān)系列方程求解.

例4 裝裱師傅小鵬要給一幅圖畫四周加上等寬的金邊，裝裱制成掛圖，已知掛圖長為100 cm，寬為50 cm，圖畫的面積是整個掛圖面積的72%，你知道圖畫的長和寬嗎？

【分析】本題首先要明了圖畫面積和掛圖面積的關(guān)系. 如果設(shè)金邊寬為x cm，依據(jù)面積關(guān)系可以列出方程，即（100-2x）（50-2x）=100×50×72%，解出金邊的寬度，即可求得圖畫的長與寬. 注意結(jié)果一定要符合題中的實際意義.

解：設(shè)金邊寬為x cm，

則（100-2x）（50-2x）=100×50×72%，

即x2-75x+350=0，

解這個方程，得x1=5，x2=70（不合題意，舍去）.

∴圖畫的長是100-2x=90 cm，寬是50-2x=40 cm.

【點評】本題靈活運用圖畫周圍等寬的特征，間接表示圖畫的長與寬，然后根據(jù)裝裱后的掛圖面積與原圖畫的面積關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，從而得出一元二次方程.

運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實際問題，首先要通過數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方法建立等量關(guān)系，這種建模方法對解決復(fù)雜問題能夠起到事半功倍的效果.

小試身手

1. 黃金周長假推動了旅游經(jīng)濟(jì)的發(fā)展. 下圖是根據(jù)國家旅游局提供的近年來歷次黃金周旅游收入變化圖.

（1） 根據(jù)圖2中提供的信息. 請你寫出兩條結(jié)論；

（2） 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求2002年至2004年的“十一”黃金周全國旅游收入平均每年增長的百分率（精確到0.1）.

2. 在一幅長8分米、寬6分米的矩形風(fēng)景畫（如圖①）的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖（如圖②），如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬.