孟凡敏

有關(guān)動點問題是各地中考中的熱點問題，而利用一元二次方程解決動點問題又是常見的題型之一，本文從教材中的一道例題出發(fā)加以拓展，說明此類問題的解決思路，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

原題呈現(xiàn)：

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第28頁有這樣一道例題：

問題：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1 cm/s的速度向點B移動，同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2 cm/s的速度向點C移動. 幾秒鐘后△DPQ的面積等于28 cm2？

本題的分析及解答過程見教材九年級上冊第28頁，在此不再贅述.

拓展一：有關(guān)函數(shù)關(guān)系式問題

（1） 設(shè)△BPQ的面積為S1，運動時間為t，求S1與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并且指出t的取值范圍；

（2） 設(shè)△DPQ的面積為S2，運動時間為t，求S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并且指出t的取值范圍.

【分析】用含有t的式子分別表示PB，BQ的長，再根據(jù)三角形的面積公式表示△BPQ的面積即可，對于（2）中S2的求法我們可以采取“割補(bǔ)”的方法，用矩形ABCD的面積減去△APD、△BPQ、△CDQ的面積，由于點P、Q在邊AB、BC運動時間都為6 s，故t的范圍不能超過6 s.

解：（1） 由于AP=t，所以BP=6-t，QB=2t，

S1=BP·BQ=（6-t）·2t=-t2+6t，t的取值范圍是：0

（2） S2=SABCD-S△APD-S△BPQ-S△DCQ=6×12-×12·t-·（6-t）·2t-×6·（12-2t）=t2-6t+36，t的取值范圍是：0≤t≤6.

【點評】此類求函數(shù)關(guān)系式的問題是中考中最常見的題型，解決此類問題的關(guān)鍵是用自變量表示相關(guān)線段的長，用面積計算公式建立關(guān)系，再進(jìn)行化簡得到函數(shù)關(guān)系式，并注意自變量的取值范圍.

拓展二：有關(guān)圖形面積問題

（1） 通過計算試說明在P、Q運動過程中，四邊形PBQD的面積保持不變；

（2） 在運動過程中，求△DPQ面積的最小值.

【分析】可以將四邊形PBQD的面積用含有t的式子表示出來，化簡后若式子中不含有字母t，則說明在P、Q運動過程中四邊形PBQD的面積保持不變. 對于（2）中△DPQ面積的最大值問題，由拓展一我們已經(jīng)求出△DPQ面積與t的函數(shù)關(guān)系式，我們可以采取配方的方法求出其最小值.

解：（1） 由拓展一可知：

S四邊形PBQD=S1+S2=-t2+6t+t2-6t+36=36.

故在P、Q運動過程中四邊形PBQD的面積保持不變.

（2） 由拓展一可知：

S△DPQ=t2-6t+36=（t-3）2+27≥27.

故當(dāng)t=3時，△DPQ面積有最小值，最小值為27.

【點評】解決圖形面積的最值問題，往往是對表示面積的式子進(jìn)行配方，求出其最值問題；若表示面積的式子中不含有字母，則說明圖形的面積是一個常量，與點的運動無關(guān).

拓展三：有關(guān)三角形問題

（1） 當(dāng)t為何值時，△DPQ是等腰三角形；

（2） 當(dāng)t為何值時，△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形.

【分析】（1） 題中沒有指明哪個邊與哪邊相等，故應(yīng)該分三種情況，分別是①DP=DQ，②DP=PQ，③PQ=DQ，從而求得所需的時間. （2） 可以通過勾股定理的逆定理建立方程，求出t的值.

解：（1） ①當(dāng)DP=DQ時，DP2=DQ2，由勾股定理可得：122+t2=62+（12-2t）2.

解之得，t1=8+2>6（舍去），

t2=8-2.

②當(dāng)DP=PQ時，DP2=PQ2，由勾股定理可得：

122+t2=（6-t）2+（2t）2.

解之得，t1=<0（舍去），

t2=>6（舍去）.

③當(dāng)DQ=PQ時，DQ2=PQ2，由勾股定理可得：

62+（12-2t）2=（6-t）2+（2t）2.

解之得：t1=-18-6<0（舍去），

t2=-18+6.

綜上所述：當(dāng)t=8-2、t=-18+6時，△DPQ是等腰三角形.

（2） 由勾股定理的逆定理可知：

當(dāng)DP2=PQ2+DQ2時，△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形，

則：122+t2=（6-t）2+（2t）2+62+（12-2t）2 .

解之得：t1=6，t2=.

所以，當(dāng)t=6或時，△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形.

【點評】此題主要考查等腰三角形判定、勾股定理逆定理的運用及分類討論思想.

綜上所述，解決動點問題，關(guān)鍵是化動為靜，根據(jù)具體問題把運動的點轉(zhuǎn)化為靜止的點. 求“動點的運動時間”往往可以轉(zhuǎn)化為求“動點的運動路程”，也就是求線段的長度，再由圖形的面積、勾股定理等建立方程求解，因此，學(xué)會把動的問題轉(zhuǎn)化為靜的問題是解決此類問題的關(guān)鍵.

小試身手

如圖2，矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，點P從A開始沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2 cm/s的速度移動，如果P、Q分別是從A、B同時出發(fā)，求幾秒時，五邊形APQCD的面積最小？最小值是多少？