浙江省寧波市武嶺中學(xué) 竺前杰

題目：（2010年浙江理科第15題）設(shè) 為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足S5S6+15=0，則d的取值范圍是_________________。

2010年的浙江理科數(shù)學(xué)高考卷可謂是好題頻出，其中第15題便是一道以等差數(shù)列為背景，結(jié)合了函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)的好題。以下是對(duì)此題的分析求解過(guò)程：

分析：要求d的范圍，出發(fā)點(diǎn)是將S5S6+15=0這個(gè)方程轉(zhuǎn)化為與d有關(guān)的方程，但同時(shí)也會(huì)有如a1或其他參數(shù)的伴隨，因此可以用方程有解的思想來(lái)求解。

解∵S5S6+15=0，

∴2a12+9da1+10d2+1=0，

∵a1是存在的，也即上述關(guān)于a1的方程是有解的，

∴Δ=（9d）2-8（10d2+1）≥0，得d≥2 或d≤-2 。

反思1：上述解法中將S5S6轉(zhuǎn)化為了含有基本量a1與d的式子，其實(shí)我們也可以將S5S6轉(zhuǎn)化為關(guān)于a3與d的式子：

解：∵S5S6+15=0，

∴5a3×整理得：

∵a3是存在的，也即上述關(guān)于a3的方程是有解的，

∴Δ=d2-8≥0，得d≥

顯然，反思1中對(duì)S5S6+15=0的處理更加靈活簡(jiǎn)便。

反思2：在反思1中的“方程2a32+da3+1=0”，由a3≠0可等價(jià)轉(zhuǎn)化為“d=-（2a3+，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)：y1=d與y2=-（2a3+的圖象有交點(diǎn)，由基本不等式可得y2=2≤所以d≥2d≤此法利用變量分離巧妙地將方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了函數(shù)問(wèn)題，方程中許多較為復(fù)雜的問(wèn)題利用函數(shù)思想可以得到許多簡(jiǎn)便的解法，從而避免煩瑣的分類(lèi)討論。這是我們解決此類(lèi)問(wèn)題的上上策。

反思3：若在此題中添加條件“a3≥3”，如用方程根分布的方法來(lái)解，須對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論：

記 f（a3）=2a32+da3+1（a3≥ 3），

（2）∵f（0）=1，∴當(dāng)f（3）≤0時(shí)方程有解，得

（3無(wú)解。

∴綜上有

另解∶如果由反思2中變量分離后的兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)的方法來(lái)處理此題，其實(shí)就是在求函數(shù)的值域時(shí)多了一個(gè)定義域a3≥3，顯然由雙曲函數(shù)的單調(diào)性立即可以求得

上述的反思過(guò)程中也給了筆者一個(gè)啟示，在平時(shí)的解題過(guò)程中不僅要能以多種方法求解，而且還應(yīng)該對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的各種解法予以比較，從中歸納出解決這類(lèi)問(wèn)題的各種方法的利弊，并且得出最優(yōu)的解決方法。正所謂：“欲窮千里目，更上一層樓。”

拓展1：（2010年天津理科第16題）設(shè)函數(shù)f（x）=x2-1，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。

解：恒成立，-4m2-1）x2+2x+3≤0。

即恒成立，記在x上是增函數(shù)。

∴

此題通過(guò)變量分離，避免了直接求的最大值，大大簡(jiǎn)化了求解的過(guò)程。像這樣，看似是方程或不等式問(wèn)題的題目，最終通過(guò)變量分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的題層出不窮，又比如2009年浙江理科第22題的第一小題，如果運(yùn)用此方法，也將大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

拓展2：（2009年浙江理科第22題第一部分）已知函數(shù)f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R。設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在區(qū)間（0,3）上不單調(diào)，求k的取值范圍。

解：因?yàn)?p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）-1，則p'（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因?yàn)閜（x）在區(qū)間（0,3）上不單調(diào)，所以p'（x）=0在（0,3）上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，由p'（x）=0得k（2x+1）令t=2x+1，有t∈（1，7），記h（t）則h（t）在（1,3]上單調(diào)遞減，在[3,7]上單調(diào)遞增，所以有h（t）∈[6,10），于是而當(dāng)k=-2時(shí)有p'（x）=0在（0,3）上有兩個(gè)相等的實(shí)根x=1，故舍去，所以k∈（-5，-2]。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，解題的過(guò)程要不斷嘗試各種方法，同時(shí)要比較各類(lèi)方法的利弊，而我們解題的目標(biāo)是從這些常用的方法中總結(jié)出適合這類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)方法，這是學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是解決各類(lèi)問(wèn)題的核心。只有這樣，我們才能達(dá)到像著名詩(shī)人王安石一樣“不畏浮云遮望眼”的境界。