唐紅春,王璐,史永高

(西安工業(yè)大學(xué) 北方信息工程學(xué)院 建筑工程系,陜西 西安 710032)

理論力學(xué)點(diǎn)的合成運(yùn)動體系教學(xué)探索及實(shí)踐

唐紅春,王璐,史永高

(西安工業(yè)大學(xué) 北方信息工程學(xué)院 建筑工程系,陜西 西安 710032)

為降低理論力學(xué)點(diǎn)的合成運(yùn)動學(xué)習(xí)難度,對其教學(xué)方法進(jìn)行了探索和實(shí)踐.基于高等數(shù)學(xué)的有關(guān)概念和定理,分別采用極限法和導(dǎo)數(shù)法解析了點(diǎn)的合成運(yùn)動的速度合成定理及加速度合成定理,首次提出了牽連導(dǎo)數(shù)的概念,并在教學(xué)實(shí)踐中檢驗(yàn)了兩種方法的適用性.

理論力學(xué);點(diǎn)的合成運(yùn)動;牽連導(dǎo)數(shù);極限法;導(dǎo)數(shù)法

理論力學(xué)是高等工科院校土木、機(jī)械等專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一[1].其中,點(diǎn)的合成運(yùn)動部分的理論知識點(diǎn)理解起來有較大難度[2].但力學(xué)問題之所以難于理解,主要在于部分學(xué)生高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不牢或?qū)ζ渲R一知半解,更不能將高數(shù)作為一種有效工具應(yīng)用到力學(xué)公式的建立和推導(dǎo)中.為此,有必要將最基本的數(shù)學(xué)理論引入力學(xué)教學(xué)中,通過數(shù)學(xué)的嚴(yán)密和嚴(yán)謹(jǐn)性建立起力學(xué)公式推導(dǎo)過程,增加力學(xué)公式的可理解程度,從而達(dá)到降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度的目的.本文擬對理論力學(xué)點(diǎn)的合成與運(yùn)動體系教學(xué)進(jìn)行探討.由于在點(diǎn)的合成運(yùn)動公式推導(dǎo)中,教材大多采用的是極限法或?qū)?shù)法[3-5],以下即圍繞這兩種方法展開討論.

1 極限法

1.1 點(diǎn)的速度合成定理

物體在t0時(shí)刻的瞬 時(shí) 速 度[6]v(t0)=,速度的方向沿軌跡的切線,如圖1所示.

圖1 速度合成矢量Fig.1 Vector diagram of velocity composition

由圖1可見,在某一瞬時(shí)t,光滑弧形結(jié)構(gòu)AB與套在其上的光滑圓環(huán)M處各自運(yùn)動中,經(jīng)過Δt后,在靜坐標(biāo)系xyz中,AB運(yùn)動到A′B′位置,在動坐標(biāo)系x′y′z′中,M沿AB運(yùn)動至M″.

1.2 點(diǎn)的加速度合成定理

在瞬時(shí)t,動點(diǎn)位于弧線AB上的M點(diǎn),其3種速度分別為va、ve、vr.經(jīng)過時(shí)間Δt后,弧線運(yùn)動到A′B′位置,動點(diǎn)運(yùn)動至A′B′上的M″點(diǎn),此時(shí)其絕對3種速度為v′a、v′e、v′r.可將動點(diǎn)M到M″的連續(xù)過程分為2個階段,如圖2～3所示.

1)圖2顯示,從瞬時(shí)t→t+Δt1,AB運(yùn)動到A′B′位置,AB上兩固定點(diǎn)M和M″分別沿圖示任意軌跡運(yùn)動到A′B′上的點(diǎn)M和M″位置,而此時(shí)動點(diǎn)M瞬間變?yōu)镸′點(diǎn),為下一步運(yùn)動作準(zhǔn)備.因?yàn)镸點(diǎn)固連于AB上,故無論AB如何運(yùn)動,均不影響相對速度vr的大小,即|vr1|=|vr|,但方向不同,分別沿著AB和A′B′切線方向.而牽連運(yùn)動的大小和方向均不同,即|ve|≠|(zhì)ve1|,分別沿各自軌跡切線方向.需要說明的是,牽連運(yùn)動是整個剛體AB相對靜系的運(yùn)動[7],其上各點(diǎn)的牽連速度在一般情況下是不同的.AB上固定點(diǎn)M″因受牽連運(yùn)動,經(jīng)過時(shí)間Δt1后到達(dá)A′B′上點(diǎn)M″,也具有牽連速度v′e,這是由于牽連運(yùn)動為任意曲線的原因.因牽連點(diǎn)不同,|ve1|≠|(zhì)v′e|,方向也不同,取決于軌跡.

圖2 牽連速度矢量Fig.2 Vector diagram of carrier velocity

圖3 相對速度矢量Fig.3 Vector diagram of relative velocity

2)圖3表明,經(jīng)過Δt2后,即t+Δt1→t+Δt時(shí)間段,動點(diǎn)M′沿A′B′運(yùn)動到M′,相對速度由vr1變?yōu)関r,,方向沿軌跡切線.

因va=ve+vr,v′a=v′e+v′r,va1=ve1+vr1,按 各自加速度的定義[5]有：

如果牽連運(yùn)動為平移,則|v′e|=|ve1|,方向也相同;而|vr1|=|vr|,方向亦相同,故ak=0.此時(shí)有aa=ae+ar.

2 導(dǎo)數(shù)法

2.1 基礎(chǔ)理論

矢量是既有大小又有方向的量.一般來說,在物理學(xué)中稱作矢量,在數(shù)學(xué)中稱作向量.對矢量求導(dǎo)時(shí),只要大小或方向是時(shí)間的函數(shù),就必須將該要素對時(shí)間求導(dǎo).速度由導(dǎo)數(shù)表示為：v=d r/d t=˙r.

如圖4所示,oxyz為靜系,o′x′y′z′為動系.動系的3個單位矢量分別為i′,j′,k′.M為動點(diǎn),M′為牽連點(diǎn).根據(jù)向量計(jì)算規(guī)則有rM=ro′+r′,r′=r′xi′+r′yj′+r′zk′.r′x,r′y,r′z分別 表示矢 量r′在動 系的3 個坐標(biāo)軸上的投影值,且在瞬時(shí)有rM=rM′.

圖4 點(diǎn)的合成運(yùn)動圖Fig.4 Diagram of composition motion of a point

2.2 絕對運(yùn)動分析

在絕對導(dǎo)數(shù)中,因所有參數(shù)都是時(shí)間的函數(shù),故

2.3 相對運(yùn)動分析

相對導(dǎo)數(shù)認(rèn)為,矢徑r′中的參數(shù)r′x,r′y,r′z隨動點(diǎn)的運(yùn)動而變化,是時(shí)間的函數(shù).而i′,j′,k′不是時(shí)間的函數(shù),記為

根據(jù)相對加速度定義,相對速度的相對導(dǎo)數(shù)即相對加速度ar.

ar=.則

2.4 牽連運(yùn)動分析

牽連導(dǎo)數(shù)認(rèn)為：r′M=ro′+r′xi′+r′yj′+r′zk′中的r′x,r′y,r′z在瞬時(shí)是定值,不是時(shí)間的函數(shù).而i′,j′,k′是時(shí)間的函數(shù),記為

動點(diǎn)的牽連速度

牽連速度的絕對導(dǎo)數(shù)為

牽連速度的牽連導(dǎo)數(shù)為

牽連速度的牽連導(dǎo)數(shù)就是牽連加速度ae,即ae=則

根據(jù)速度合成定理和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則有

可以證明[5],故aa=ae+ar+2ωe×vr.

3 結(jié)語

利用極限法和導(dǎo)數(shù)法均能推導(dǎo)出點(diǎn)的速度及加速度合成定理.極限法具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀我饬x,推導(dǎo)過程較為簡潔,但由于3種運(yùn)動、速度和加速度的概念較多,也較抽象,加之動點(diǎn)和速度本身的不斷變化,使得對運(yùn)動過程的理解有一定難度.導(dǎo)數(shù)法具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)意義,推導(dǎo)過程和表達(dá)式較為復(fù)雜,但概念不多,也不難理解.筆者在近幾年理論力學(xué)授課過程中,分別采用了兩種方法進(jìn)行講解,通過學(xué)生反映及對其學(xué)習(xí)掌握程度分析,采用導(dǎo)數(shù)法推導(dǎo)點(diǎn)的速度和加速度合成定理比采用極限法推導(dǎo)更容易使學(xué)生理解.

[1] 陳建平,陶秋凡,吳文龍.理論力學(xué)中動力學(xué)問題的演變與創(chuàng)新思維訓(xùn)練[J].力學(xué)與實(shí)踐,2004,26(5)：72-74.

[2] 馮立富,郭書祥,李穎.點(diǎn)的合成運(yùn)動與“全程分析法”[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2002,3(5)：86-87.

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[4] 尹冠生.理論力學(xué)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000：127-128.

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[6] 周家良,王群智.高等數(shù)學(xué)[M].西安：西北大學(xué)出版社,2011：57-57.

[7] 王斌耀,徐鑒.關(guān)于點(diǎn)的合成運(yùn)動速度合成定理兩種推導(dǎo)的辨析[J].力學(xué)與實(shí)踐,2007,29(5)：64-66.

[8] 張秉榮.工程力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2012：95-100.

Teaching exploration and practice on system of composite motion of points in theoretical mechanics

TANG Hong-chun,WANG Lu,SHI Yong-gao
(Architectural Engineering Department,Xi'an Technological University North Institute of Information Engineering,Xi'an,Shaanxi 710032,China)

In order to reduce the difficulty of learning composite motion of point in theoretical mechanics,this paper carries out exploration and practice.Based on related concepts and theorems of higher mathematics,this paper analyzes speed synthesis theorem and acceleration synthesis theorem of composite motion of points using methods of limit and derivative,puts forward the concept of implicated derivative,and tests the applicability of the methods in teaching practice.

theoretical mechanics;composite motion of points;implicated derivative;limit algorithm;derivative algorithm

O 311.1

A

2095-3550(2014)01-0087-03

2013-11-22

西安工業(yè)大學(xué)北方信息工程學(xué)院教學(xué)改革基金項(xiàng)目(YJ1226)

唐紅春,男,江蘇泰州人,講師,碩士研究生.

E-mail：35054034@qq.com

(責(zé)任編輯：趙國淮)