楊芳* 吳小慶 李進(jìn)

（1.樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2.西南石油大學(xué)理學(xué)院；3.中國石油西南油氣田分公司勘探開發(fā)研究院）

楊芳等. 大尺度溶洞型油藏試井模型建立與求解. 石油規(guī)劃設(shè)計(jì)，2014，25（4）：27～30，41

縫洞型油藏儲(chǔ)滲空間以大洞穴和大裂縫為主，基本特點(diǎn)是孔隙大，流動(dòng)性強(qiáng)，流動(dòng)區(qū)域的邊界復(fù)雜，流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)呈非線性分布。溶洞與井通過裂縫相連通，溶洞大小對試井曲線形態(tài)的影響較強(qiáng)。溶洞越小，生產(chǎn)期壓力下降越大，相同時(shí)間恢復(fù)達(dá)到的地層壓力越小［1］。常規(guī)試井理論是建立在連續(xù)介質(zhì)滲流理論的基礎(chǔ)上，并不適用于大尺度縫洞型油藏的試井解釋。實(shí)踐表明，通過常規(guī)試井解釋的結(jié)果所反映的地質(zhì)特征往往與實(shí)際油藏相差甚遠(yuǎn)，從而導(dǎo)致油田試井作業(yè)處于停滯狀態(tài)［2］。將常規(guī)試井解釋結(jié)果作為初值輸入，通過非線性多參數(shù)擬合進(jìn)行試井解釋，能夠獲得符合實(shí)際情況的解釋結(jié)果［3］。因此，在研究油氣藏的滲流規(guī)律時(shí)，僅根據(jù)儲(chǔ)滲空間類型和特征尺度建立多重介質(zhì)滲流模型并不完善，還應(yīng)考慮不同介質(zhì)間竄流的方向性。只有當(dāng)油氣藏不同介質(zhì)間的竄流為標(biāo)量時(shí)才能采用多重介質(zhì)滲流模型描述其滲流特征［4］。

針對當(dāng)前試井解釋現(xiàn)狀，本文在常規(guī)試井模型的基礎(chǔ)上，建立了適用于大尺度溶洞型油藏的試井模型。在有界地層中以大溶洞作為“源”項(xiàng)，考慮井筒與溶洞相連的實(shí)際地質(zhì)狀態(tài)、連續(xù)性及質(zhì)量守恒，建立基于偏微分方程的數(shù)學(xué)模型。采用正交變換法［5］導(dǎo)出模型的解析解，并通過數(shù)值試驗(yàn)，分析井底壓力動(dòng)態(tài)特征及影響因素。

1 試井模型的建立

對實(shí)際情況進(jìn)行分析，大溶洞并不是孤立的溶洞，它是由若干小溶洞匯集而成的。小溶洞在大溶洞里是均勻分布的，井筒并不是直接與地層連通，而是通過地層中的裂隙連通，流源強(qiáng)度視為一致的均勻連續(xù)分布，垂直井段為全打開的。建立如圖 1的坐標(biāo)，得到如圖1所示的物理模型。

基本假設(shè)：一是，在各向異性的非均質(zhì)油藏中，油藏為一有界區(qū)域，地層寬度為lx，地層長度為ly，地層厚度為lz；二是，溶洞作為體“源”，單位時(shí)間內(nèi)流入井的總流量為Q(t)；三是，忽略重力影響，恒定黏度及壓縮系數(shù)的微可壓縮液體單相流動(dòng)。

圖1 大尺度溶洞與井筒連通物理模型

在井筒切面處（即y=0平面）有流量進(jìn)入，井筒截面長為l4-l3，寬為l2-l1，在井筒截面所在平面的邊界條件為：

在其他面上是絕流的，即均為第二類齊次邊界條件。

在以上假設(shè)條件下，根據(jù)連續(xù)性方程、狀態(tài)方程、質(zhì)量守恒方程［6］，以及地層的實(shí)際情況建立如下溶洞通過地層與井筒相連接的試井模型。

f( x,y,z,t)為“源”項(xiàng)（即大尺度溶洞流入井筒的流量）構(gòu)成的自由項(xiàng)，表達(dá)式為：

將式（2）代入式（1），對其進(jìn)行無因次變換，經(jīng)過一系列推導(dǎo)得到：

2 模型的解析解

利用正交變換法將偏微分方程的初邊值問題（3）轉(zhuǎn)化成常微分方程的初值問題，注意方程及邊界條件的特點(diǎn)，考慮如下特征值問題［7］：

利用特征函數(shù)系的完備正交性，引入Ω上的有限正交變換［5］［7］，對式（3）進(jìn)行正交變換，經(jīng)過一系列推導(dǎo)得如下常微分方程的初值問題：

由齊次化原理求解此常微分方程可得：

再利用逆變換易得偏微分方程的初邊值問題（3）的解見式（10）。

將式（10）代入式（2）得關(guān)于地層內(nèi)的流體壓力的解析解式（11）。

由上述解析解的精確表達(dá)式可知積分函數(shù)是依賴于流量函數(shù)q的，還可知大尺度溶洞的壓力分布是各個(gè)小溶洞體源的疊加。

3 模型壓力試算

圖2 溶洞無限大油藏壓力及壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線

3.1 裂縫儲(chǔ)容比的影響

裂縫儲(chǔ)容比ωf是指裂縫中通過彈性形變能產(chǎn)出的流體占基質(zhì)、裂縫和溶洞中所有通過彈性形變能產(chǎn)出流體的比例。圖3是在其他參數(shù)不變的情況下，改變裂縫儲(chǔ)容比ωf對壓力和壓力導(dǎo)數(shù)復(fù)合曲線的影響。裂縫儲(chǔ)容比主要決定著壓力導(dǎo)數(shù)曲線第一個(gè)過渡段下凹的深度和寬度：ωf越小，過渡段就越長，凹陷就越寬且越深。

3.2 溶洞儲(chǔ)容比的影響

溶洞儲(chǔ)容比ωv是指溶洞中通過彈性形變能產(chǎn)出的流體占基質(zhì)、裂縫和溶洞中所有通過彈性形變能產(chǎn)出流體的比例。圖4是在其他參數(shù)不變的情況下，改變?nèi)芏磧?chǔ)容比ωv對壓力和壓力導(dǎo)數(shù)復(fù)合曲線的影響。溶洞儲(chǔ)容比ωv決定過渡段曲線下凹的深度和寬度，但與ωf不同，隨著ωv的增大，過渡段凹陷就越寬且越深。對比圖4和圖3還可以發(fā)現(xiàn)，溶洞儲(chǔ)容比ωv對壓力導(dǎo)數(shù)曲線產(chǎn)生影響的時(shí)間要晚于裂縫儲(chǔ)容比ωf。

圖3 裂縫儲(chǔ)容比對復(fù)合曲線的影響

圖4 溶洞儲(chǔ)容比對復(fù)合曲線的影響

3.3 溶洞與裂縫之間竄流系數(shù)的影響

竄流系數(shù)λv對復(fù)合曲線的影響見圖5。

圖5 竄流系數(shù)對復(fù)合曲線的影響

竄流系數(shù)λv影響過渡段出現(xiàn)的時(shí)間，竄流系數(shù)的值越小，則過渡段出現(xiàn)的時(shí)間越晚，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的凹陷就越往右移。

4 結(jié)論

本文引入了解決石油勘探開發(fā)問題中常用模型的“正交變換法”，這對豐富數(shù)學(xué)物理方程在石油工程計(jì)算中的應(yīng)用具有非常重要的理論意義。該方法能求得模型在實(shí)空間的解析解，在解決石油工程問題中起到了化繁為簡的作用。建立了溶洞型油藏試井偏微分方程模型，直接從解析解出發(fā)編程，形成了相應(yīng)軟件并進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析了試井理論曲線的基本特征和影響因素。

符號(hào)說明：

[1]王新海,張冬麗,李江龍.含有大尺度裂縫、溶洞的縫洞型油藏的數(shù)值試井模型[J].江漢石油學(xué)院學(xué)報(bào),2009,31(6): 129-135.

[2]彭小龍,杜志敏,劉學(xué)利,等.大尺度溶洞裂縫型油藏試井新模型[J].西南石油大學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(2):74-77.

[3]姚鈞,戴衛(wèi)華,王子勝.變井筒儲(chǔ)存的三重介質(zhì)油藏試井解釋方法研究[J].石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,28(1): 46-51.

[4]彭小龍,杜志敏,威志林,等.多重介質(zhì)滲流模型的適用性分析[J].石油天然氣學(xué)報(bào),2006,28(4):99-101.

[5]吳小慶.求解裂縫性儲(chǔ)層滲流問題的正交變換法[J].西南石油學(xué)院學(xué)報(bào),1992,14(11): 76-86.

[6]姜禮尚,陳鐘祥.試井分析理論基礎(chǔ)[M].北京: 石油工業(yè)出版社,1985.

[7]吳小慶.數(shù)學(xué)物理方程[M].成都: 電子科技大學(xué)出版社,2004.