高 桂 寶

（1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062；2.運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城044000）

0 引 言

目前，譜自仿測(cè)度問(wèn)題的研究主要體現(xiàn)在兩方面：一方面，在什么條件下μM，D是一個(gè)譜測(cè)度［1－5］；另一方面，關(guān)于μM，D不是譜測(cè)度條件的研究［6－7］.文獻(xiàn)［8］討論了擴(kuò)張整矩陣M和?3中的數(shù)字集D分別為M＝pI3，D＝｛0，1，l｝v或者D＝｛0，1｝v所產(chǎn)生自仿測(cè)度的譜與非譜性質(zhì)，其中：p∈?＼｛0，±1｝；v＝｛α，β，γ｝T∈?3，α2＋β2＋γ2≠0.其譜性只與 M，D 有關(guān)，本文考慮當(dāng)數(shù)字集的個(gè)數(shù)超過(guò)3時(shí)的情形，討論?3中的（M，D）對(duì)，其中M，D 分別為M＝pI3，D＝｛0，1，2，…，q－1｝v，這里：

得到了幾個(gè)μM，D的譜性與非譜性結(jié)果.

如果存在一個(gè)離散點(diǎn)集Λ??n，使得E（Λ）∶＝ ｛e2πi〈λ，x〉：λ∈Λ｝成為L(zhǎng)2（μ）的一個(gè)正交基，則稱一個(gè)支撐在?n中緊集上的概率測(cè)度μ為譜測(cè)度，集合Λ稱為μ的一個(gè)譜.由仿射迭代函數(shù)系｛φd（x）＝ M－1（x＋d）｝d∈D迭代產(chǎn)生的不變測(cè)度μ∶＝μM，D滿足

猜測(cè)1［9－10］設(shè)M∈Mn（?）是擴(kuò)張整數(shù)矩陣，D??n是有限集，且0∈D.如果存在S??n，0∈S，使得（M－1D，S）是和諧對(duì)，則μM，D是一個(gè)譜測(cè)度.

本文結(jié)果提供了支持猜測(cè)1和猜測(cè)2可能成立的理論依據(jù).

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)擴(kuò)張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＝4，則：

1）當(dāng)p∈4?＋｛1，3｝時(shí)，L2（μM，D）中至多有4個(gè)正交指數(shù)函數(shù)；

2）當(dāng)p∈4?時(shí)，μM，D是譜測(cè)度.

M1＝B－1MB＝M，而μM，D與μM1，D1的譜性質(zhì)相同.

令

從而μM，D與的譜性質(zhì)相同.

從而

假設(shè)λj∈?2（j＝1，2，3，4，5）.使得

是Z1∪Z2∪Z3中的10個(gè)元素，由抽屜原理知，Zi（i＝1，2，3）中有一個(gè)集合至少包含前4個(gè)元素中的2個(gè)元素，而這是不可能的.例如，若λ2－λ1，λ3－λ1∈Z1，則

而λ3－λ2∈Z1∪Z2∪Z3與

2）由于p∈4?時(shí)，

定理1推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論1 設(shè)擴(kuò)張矩陣M＝pIn和數(shù)字集D由式（1）給出（其中v∈?n且非零），q＝4，則：

1）當(dāng)p∈4?＋｛1，3｝時(shí)，L2（μM，D）中至多有4個(gè)正交指數(shù)函數(shù)；

2）當(dāng)p∈4?時(shí)，μM，D是譜測(cè)度.

對(duì)數(shù)字集個(gè)數(shù)q＞4時(shí)的情形有下列定理：

定理2 設(shè)擴(kuò)張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＞4，則下列兩個(gè)結(jié)論成立：

2）L2（μM，D）空間中有無(wú)限相互正交的指數(shù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)p，q的最大公因子大于1.

證明：記

從而μM，D與譜性質(zhì)相同.

對(duì)于μ＝μM，D，由式（2）可得

通過(guò)迭代有

其中

則

其中ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3）T∈?3.

記

設(shè)gcd（q，p）＝d.假設(shè)q和p互素，即d＝1.設(shè)

則

假設(shè)d＞1，顯然d≤q.

1）先考慮d＝q并且證明其對(duì)應(yīng)的測(cè)度是譜測(cè)度.記p＝qr并定義

易驗(yàn)證矩陣

是它的一個(gè)譜，等價(jià)于下列等式成立：

而

從而

定理2推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論2 設(shè)擴(kuò)張矩陣M 和數(shù)字集D 分別為M＝pIn，D＝｛0，1，…，q－l｝v，其中p∈?＼｛0，±1｝，In是n階單位矩陣，v是?n中的非零列向量，則：

2）L2（μM，D）空間中有無(wú)限相互正交的指數(shù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)p，q的最大公因子大于1.

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