李 霞，孫成俠，馬 晶

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長春130012）

設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，A，B都是R上的酉代數(shù)，M是一個非零（A，B）－酉雙模，則形式矩陣的集合

如果對任意的x，y∈A都有d（xy）＝d（x）y＋xd（y），則R－代數(shù)A 的R－線性映射d：A→A稱為A的導(dǎo)子.記［y，x］＝y(tǒng)x－xy.若特征非2的素環(huán)R上有非零導(dǎo)子d滿足［d（x），d（y）］＝0，?x，y∈R，則R是交換的［5］.本文基于文獻(xiàn)［5］討論三角代數(shù)T滿足廣義恒等式［D（X），D（Y）］＝0導(dǎo)子的結(jié)構(gòu).則T稱為三角代數(shù)［1－4］.本文記若環(huán)R的映射f在其子集S 上滿足［f（x），f（y）］＝［x，y］，?x，y∈S，則稱f在S 上是強(qiáng)保交換的［6］.若素環(huán)R的導(dǎo)子在其非零右理想上是強(qiáng)保交換的，則R是交換的［6］.若素環(huán)R的導(dǎo)子在其非零右理想U 上是強(qiáng)保交換的，則U?Z（R）（Z（R）是R的中心）［7］.設(shè)Γ＝Tri（A，M，B）是三角矩陣環(huán)，Φ是Γ上的滿射，齊霄霏等［8］證明了：在適當(dāng)條件下，如果Φ在Γ上是強(qiáng)保交換的，則存在Γ到其中心Z（Γ）的映射μ及λ∈Z（Γ），使得λ2＝1Γ，并且對任意的X∈Γ有Φ（X）＝λX＋μ（X）.本文將證明三角代數(shù)T的導(dǎo)子都不是強(qiáng)保交換的.

且f滿足

證明：對任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

其中

設(shè)D 在T上滿足［D（X），D（Y）］＝0.由式（3）可知

并且對任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

式（5）中取a＝0，x＝y(tǒng)＝0，得

式（5）中取a＝1，x＝y(tǒng)＝0，得

式（7）減式（6）得udB（d）－dA（c）u＝0，c∈A，d∈B.分別取d＝1，c＝1得dA（A）u＝udB（B）＝0.取a＝aα，b＝bβ，α∈A，β∈B，得dA（A）Au＝uBdB（B）＝0，則式（4）可化簡為

式（8）中取y＝0，c＝0，得

取d＝βd，β∈B，可得f（M）βdB（B）＝0.于是，式（9）中取x＝xβ，β∈B，并利用式（2）可得MdB（β）dB（d）＝0，對任意的d，β∈B 都成立.由 M 的忠實性可得dB（B）2＝0.同理，在式（8）中取y＝0，d＝0可得dA（c）f（x）＝0，c∈A，x∈M.取c＝cα，α∈A，可得dA（A）Af（x）＝0.于是在dA（c）f（x）＝0中取x＝αx，α∈A，并利用式（2）可知，對任意的a，c∈A 都有dA（c）dA（α）M＝0.又因為M 是忠實的，所以dA（A）2＝0.

反之，當(dāng)dA（A）2＝0，dB（B）2＝0時，顯然有［dA（A），dA（A）］＝0并且［dB（B），dB（B）］＝0.由dA（A）u＝0可知，對任意的x，y∈A 有dA（xy）u＝0，從而dA（A）Au＝0.同理，由udB（B）＝0可得uBdB（B）＝0.將dA（A）Au＝0，uBdB（B）＝0和dA（A）f（M）＝f（M）dB（B）＝0代入式（4）可知Δ＝0，從而由式（3）可知D 在T上滿足［D（X），D（Y）］＝0.

證明：設(shè)D是T的導(dǎo)子并且在T上強(qiáng)保交換，則對任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

設(shè)D形如式（1），則

其中Δ形如式（4）.因此

式（10）中取a＝0，x＝0，得

式（10）中取a＝1，x＝0，得

式（12）減式（11）可得：對任意的y∈M，c∈A，d∈B 都有y＝udB（d）－dA（c）u.取c＝0，d＝0可得y＝0.由y的任意性可知M＝0，這與三角代數(shù)的定義矛盾，故三角代數(shù)T的導(dǎo)子都不是強(qiáng)保交換的.

［1］HAN Dong，WEI Feng.Jordan （α，β）－Derivations on Triangular Algebras and Related Mappings［J］.Linear Algebra Appl，2011，434（1）：259－284.

［2］Chase S U.A Generalization of the Ring of Triangular Matrices［J］.Nagoya Math J，1961，18：13－25.

［3］Harada M.Hereditary Semi－primary Rings and Tri－angular Matrix Rings ［J］.Nagoya Math J，1966，27：463－484.

［4］Haghany A， Varadarajan K.Study of Formal Triangular Matrix Rings ［J］.Comm Algebra，1999，27（11）：5507－5525.

［5］Hersterin I N.A Note on Derivations［J］.Canad Math Bull，1978，21（3）：369－370.

［6］Bell H E，Mason G.On Derivations in Near－Rings［J］.North－Holland Math Studies，1987，137：31－56.

［7］Bell H E，Daif M N.On Commutativity and Strong Commutativity－Preserving Maps［J］.Canad Math Bull，1994，37（4）：443－447.

［8］QI Xiaofei，HOU Jinchuan.Strong Commutativity Preserving Maps on Triangular Rings［J］.Oper Matrices，2012，6（1）：147－158.

［9］謝樂平，曹佑安.形式三角矩陣環(huán)的導(dǎo)子和自同構(gòu) ［J］.數(shù)學(xué)雜志，2006，26（2）：165－170.（XIE Leping，CAO Youan.Derivations and Automorphisms of Formal Triangular Matrix Rings ［J］.J Math，2006，26（2）：165－170.）