周 浩，葉國菊，王 鷗，楊慧敏

（河海大學(xué) 理學(xué)院，南京210098）

0 引 言

文獻(xiàn)［1－6］在反周期邊值條件下，分別研究了常導(dǎo)數(shù)意義下一階常微分方程、高階微分方程、偏微分方程和抽象微分方程解的存在性.

考慮如下含有分布導(dǎo)數(shù)的反周期邊值問題：

其中：x′表示x的分布導(dǎo)數(shù)；x∈C（［0，T］）；T是正常數(shù)；f：?n×［0，T］→?n為分布（廣義函數(shù)），滿足如下假設(shè)條件：

（H1）f（·，t）連續(xù)，對?t∈［0，T］成立；

（H2）對每個固定的x∈C（［0，T］），f（x（·），·）為DHK可積；

本文先給出分布Henstock－Kurzweil積分的定義及一些性質(zhì)定理，然后利用Schauder不動點定理證明反周期邊值問題（1）解的存在性定理，并舉例說明結(jié)果的廣泛性.

1 預(yù)備知識

定義基本空間為

其中φ（x）的支集是使φ（x）≠0全體點集的閉包.序列｛φn｝?C∞c收斂到φ?C∞c是指：存在緊集K??，使得φ和φn的支集都包含在K 中，且對每個m∈?，序列｛φn｝的各階導(dǎo)數(shù)｛φmn｝在K中一致收斂于φm，其中φ∈D稱為檢驗函數(shù).

D上的連續(xù)線性泛函稱為分布（或廣義函數(shù)）.由D上分布全體構(gòu)成的空間是基本空間D的共軛空間，記作D′.若f∈D′，則f：D→?，記作〈f，φ〉∈?，其中φ∈D.

定義分布f∈D′的分布導(dǎo)數(shù)f′為〈f′，φ〉＝－〈f，φ′〉，其中φ是檢驗函數(shù).在這種導(dǎo)數(shù)定義下，所有廣義函數(shù)任意階均可微，且任意階導(dǎo)數(shù)都是廣義函數(shù).

在定義1下，如果f∈DHK，則對任意的φ∈D（（a，b）），滿足

由DHK積分的定義可見，DHK積分是一種更廣泛的積分，它包含了Riemann積分、Lebesgue積分和Henstock－Kurzweil積分.

下面舉例說明DHK積分的廣泛性.

例1［7］如果F是［a，b］上幾乎處處逐點可微的連續(xù)函數(shù)，則F廣義絕對連續(xù).進(jìn)一步，如果函數(shù)F在［a，b］上連續(xù)但不可微，則F非廣義絕對連續(xù).若F在［a，b］上不可微且F∈C（［a，b］），則F′存在且DHK可積，但非 Henstock－Kurzweil可積.反之，如果F廣義絕對連續(xù)，則F∈C（［a，b］），F(xiàn)′（t）不僅 Henstock－Kurzweil可積而且DHK可積.此時F′（t）是F（t）的常導(dǎo)數(shù).

在DHK空間中，若定義范數(shù)‖f‖＝‖F(xiàn)‖∞，其中F∈BC是f的原函數(shù)，則DHK是Banach空間.

在DHK空間中，定義偏序如下：若f，g∈DHK，則fg（或gf）當(dāng)且僅當(dāng)f－g在［a，b］上是一個正測度.即如果f，g∈DHK，則當(dāng)fg時，有在這種偏序關(guān)系下，以下結(jié)論成立.

引理2［8］對于f，g，h∈D′（（a，b）），fgh，若f，h是DHK可積的，則g也是DHK可積的.

如果當(dāng)n→∞時，有‖fn－f‖→0成立，則稱序列｛fn｝?DHK強收斂于f∈DHK，記作fn→f.

DHK的共軛空間為有界變差值函數(shù)構(gòu)成的空間BV［10］.

2 主要結(jié)果

反周期邊值問題（1）可以寫成如下形式：

其中：t∈［0，T］；u（t）是［0，T］上的非負(fù)、連續(xù)有界變差函數(shù).

若g（x，t）＝f（x，t）＋u（t）x，則問題（2）變?yōu)?/p>

易驗證g滿足如下假設(shè)條件：

（H4）g（·，t）連續(xù)，對?t∈［0，T］成立；

（H5）對每個固定的x∈C（［0，T］），g（x（·），·）為DHK可積；

引理5 反周期邊值問題（3）與下述積分方程等價：

引理6（Schauder不動點定理）［11］設(shè)X是Banach空間，集合M是X 中的非空有界閉凸集；算子A：M→M是緊算子，則A有不動點.

定理1 假設(shè)條件（H4）～（H6）成立，則反周期邊值問題（3）有解.

證明：在［y，z］上定義算子A：

對任意的x∈［y，z］，由式（5）得

令w＝Az－z，由條件（H4），（H6）和式（5），（6）得

進(jìn)一步有

由式（7），（8）可得

通過式（8），（9）得：w＝Az－z≤0，對所有的t∈［0，T］成立，所以Az≤z.同理可得：Ay≥y.因此，A：［y，z］→［y，z］.于是，當(dāng)x∈［y，z］時，

由（H6）可驗證A（［y，z］）在［0，T］上是一致有界的.

要證明A：［y，z］→［y，z］是緊的，需要驗證A連續(xù)并且A（［y，z］）是相對緊集.

1）A（［y，z］）是相對緊集.

由式（5）得

因為對任意的t∈［0，T］，eU（t）g（·，t）是單調(diào)的，所以

從而存在N＞0，使得

由式（11）～（13）得

又因為eU（t）g（y（t），t），eU（t）g（z（t），t）關(guān)于t∈［0，T］是DHK可積的，所以它們的原函數(shù)在［0，T］上連續(xù)，也是一致連續(xù)的.因此，A（［y，z］）在［0，T］上等度連續(xù)，對?x∈［y，z］成立.由 Ascoli－Arzelà定理知，A（［y，z］）是相對緊集.

2）算子A連續(xù).

假設(shè)序列｛xn｝?［y，z］，x∈［y，z］，當(dāng)n→∞時，xn→x.由（H4）知

利用式（5）和引理3，有

綜上所述：算子A滿足引理6的條件，故A有不動點.因此反周期邊值問題（3）有解.證畢.

由定理1，可得如下結(jié)論：

推論1 若反周期邊值問題（3）有解，則反周期邊值問題（1）也有解.

推論2 假設(shè)f：?n×［0，T］→?n，f（x，t）＝f1（x，t）＋f2（t）.若f1（x，t）滿足條件（H1）～（H3），f2（t）在［0，T］上DHK可積，則反周期邊值問題（1）有解.

證明：顯然，f（x，t）關(guān)于x連續(xù)，關(guān)于t∈［0，T］是DHK可積的，所以f（x，t）滿足（H1）～（H3）.由推論1知反周期邊值問題（1）有解.

3 應(yīng)用實例

例2 考慮反周期邊值問題：

其中φ（x，t）關(guān)于x連續(xù)，且

是

的導(dǎo)數(shù).則問題（16）有解.

證明：令f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝F′（t），則f1（x，t）關(guān)于x 連續(xù)，f2（t）在［0，1］上Henstock－Kurzweil可積.由推論2知，反周期邊值問題（16）有解.

注1 上述F′（t）是Henstock－Kurzweil可積但不是Lebesgue可積的，因此不能應(yīng)用文獻(xiàn)［1］中定理2.3.

例3 考慮反周期邊值問題：

證明：設(shè)f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝H′，則f1關(guān)于x連續(xù)，f2在［0，1］上DHK可積.由推論2知，反周期邊值問題（19）有解.

［1］WANG Kaizhi.A New Existence Result for Nonlinear First－Order Anti－periodic Boundary Problems［J］.Appl Math Lett，2008，21：1149－1154.

［2］Franco D，Nieto J，O’Regan D.Anti－periodic Boundary Value Problem for Nonlinear First Order Ordinary Differential Equations［J］.Math Inequal Appl，2003，6：477－485.

［3］Aftabizadeh A，Pavel N H，Huang Y K.Anti－periodic Oscillations of Some Second－Order Differential Equations and Optimal Control Problems［J］.J Comput Appl Math，1994，52（1／2／3）：3－21.

［4］Aftabizadeh A R，Huang Y K，Pavel N H.Nonlinear Third－Order Differential Equations with Anti－periodic Boundary Conditions and Some Optimal Control Problems［J］.J Math Anal Appl，1995，192（1）：266－293.

［5］Aizicovici S，Reich S.Anti－periodic Solutions to a Class of Non－monotone Evolution Equations ［J］.Discrete Contin Dynam Systems，1999，5（1）：35－42.

［6］Aizicovici S，Pavel N H.Anti－periodic Solutions to a Class of Nonlinear Differential Equations in Hilbert Space［J］.J Funet Anal，1991，99（2）：387－408.

［7］Lee P Y.Lanzhou Lectures on Henstock Integration［M］.Singapore：World Scientific Publishing Company，1989.

［8］ZHOU Xueyuan，YE Guoju.Second Order Periodic Boundary Value Problems Involving the Distributional Henstock－Kurzweil Integral［J］.Advances in Pure Mathematics，2012，2（5）：330－336.

［9］LU Yueping，YE Guoju，WANG Ying，et al.Existence of Solutions of the Wave Equation Involving the Distributional Henstock－Kurzweil Integral［J］.Differential and Integral Equations，2011，24（11／12）：1063－1071.

［10］XUE Xiaoping，ZHANG Bo.Properties of Set－Valued Function with Bounded Variation in Banach Space ［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，1991（3）：102－107.

［11］Zeidler E.Applied Functinal Analysis：Applications to Mathematical Physics［M］.New York：Springer－Verlag，1995.