王杰方，安偉光，宋向華

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，結(jié)構(gòu)可靠性并不是唯一的度量標準，分析關(guān)于結(jié)構(gòu)性能參數(shù)的可靠性敏度也是十分重要的［1］?？煽啃悦舳确治鍪且环N定量的確定基本變量分布參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)失效概率的影響程度的方法，它能夠為鑒別最重要的設(shè)計參數(shù)提供重要的信息。

目前，對可靠性敏度方法的分析和研究十分廣泛［2-4］，主要有3類:1)針對線性或非線性程度不高的極限狀態(tài)方程，采用基于改進的一次二階矩(the advanced first order and second moment method，AFOSM)和概率網(wǎng)格評估方法(probabilistic network evaluation technique，PNET)相結(jié)合的近似解析法［5-6］(AFOSM-PNET法);2)針對隱式極限狀態(tài)方程，采用基于Monte-Carlo法［7］和基于自適應(yīng)重要抽樣的數(shù)值模擬法［8］;3)利用隨機響應(yīng)面法［9］將隱式的結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成顯式函數(shù)，并在顯式響應(yīng)函數(shù)基礎(chǔ)上采用第1類方法進行敏度分析。第1類方法計算工作量較小，但不適合非線性程度高的極限狀態(tài)方程;第2類方法適用于任何情況的極限狀態(tài)方程，但對于小失效概率情況下的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的敏度分析，這類方法的計算效率很低。另外，文獻［10］中還介紹了基于線抽樣的可靠性敏度分析方法。

為了解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的敏度分析問題，本文提出了基于有限步長迭代法(limit step length iteration method，LSLIM)和逐步等效平面法(step-bystep equivalent plane method，SSEPM)的可靠性敏度分析方法——LSLIM-SSEPM法。

1 系統(tǒng)失效概率的敏度表達式

1.1 等效可靠性指標

假設(shè)系統(tǒng)的基本隨機變量服從正態(tài)分布(若不服從正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布)，經(jīng)有限步長迭代法處理后，將非線性的安全余量轉(zhuǎn)化為用標準正態(tài)隨機變量表示的線性等效功能函數(shù):

式中:yj( j=1，2，…，n)是服從標準正態(tài)分布的基本 隨 機 變 量， Bi= (Bi1，Bi2，…，Bin)(i=1，2，…，m )為單位向量，第i個等效功能函數(shù)的常數(shù)項βi為其等效可靠性指標。

式中:ρ12為2個失效模式的相關(guān)系數(shù)，βe為該串聯(lián)體系的等效可靠性指標。

1.2 系統(tǒng)失效概率的敏度表達式

由式(2)有，2個失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量xi的均值μxi的一階敏度為

式中:φ()·為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。將上式中的μxi換成σxi即為系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量xi的標準差σxi的一階敏度。

由二維標準正態(tài)分布得

1.3 安全余量中含綜合隨機變量的敏度分析

將綜合隨機變量zj表示為基本隨機變量的函數(shù)

式中:zj為安全余量中第j個綜合隨機變量，中下標a、b、c表示zj中所含的基本隨機變量在所有的基本隨機變量中的位置編號，中的上標j表示基本隨機變量xa出現(xiàn)在第j個綜合隨機變量zj中。

假設(shè)某個基本隨機變量xa只出現(xiàn)在綜合隨機變量中，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量xa的均值μxa的一階敏度為

將上式中的μxa換成σxa即為系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量xi的標準差σxa的一階敏度。

1.4 多失效模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性敏度分析

多失效模式(m＞2)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性敏度分析步驟為:

式中:串聯(lián)系統(tǒng)的等效可靠指標βe1公式為

3)由式(3)及最后一次等效所得的參數(shù)可得多失效模式系統(tǒng)失效概率對基本變量xi的均值的偏導(dǎo)數(shù)。

2 單個失效模式可靠性指標敏度表達式

從上節(jié)可知，只要確定 ?β1/?μxi、?β2/?μxi、?β1/?σxi、?β2/?σxi，即可求得系統(tǒng)失效概率的敏度表達式。將非線性的失效模式功能函數(shù)線性化是求解單個失效模式可靠性指標的敏度表達式的前提，本文給出的LSLIM-SSEPM法采用有限步長迭代法來處理這一線性化的過程，其優(yōu)點是收斂速度快、迭代精度高，對于非線性程度較高的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)也是適用的。

2.1 功能函數(shù)線性化

對于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)非線性程度較高的情況，用改進的一次二階矩法計算可能會出現(xiàn)迭代不收斂，為了解決求解可靠性指標迭代不收斂的情況，采用可調(diào)節(jié)步長的有限步長迭代法，依據(jù)有限步長迭代法有

采用式(11)～(13)獲得收斂的迭代驗算點x*，那么，在迭代驗算點處進行泰勒展開，獲得式(1)中標準正態(tài)空間下的線性化等效功能函數(shù)為

式中:

yi為標準正態(tài)空間中的基本隨機變量。

2.2 單個失效模式可靠性指標的敏度表達式

對于任意形式的安全余量，其單個失效模式的可靠性指標對基本變量均值的敏度表達式可以表示為［5］

由于μxi=σxi/νi，所以單個失效模式的可靠性指標對基本變量標準差的敏度表達式為

由式(15)中可知，基本隨機變量服從標準正態(tài)分布時，變異系數(shù) νi( i=1，2，…，4 )為無窮大，因此式(15)的分子中第2項的值為0，則式(15)可簡化為

采用等效步長迭代法分析系統(tǒng)敏度時，由于線性化的等效功能函數(shù)中的基本隨機變量為相互獨立的標準正態(tài)分布函數(shù)，因此單個失效模式對基本隨機變量均值的敏度可以表示為式(17)所示的最簡化的表達式。

3 LSLIM-SSEPM方法驗證

3.1 算例1

驗證逐步等效平面法計算失效概率的有效性，并給出改進計算精度的方法。設(shè)4個線性化的安全余量為［11］

假設(shè)上述6個基本隨機變量均服從標準正態(tài)隨機分布且相互獨立。算例可靠性指標很高，因此在采用Monte-Carlo法計算失效概率時，需要很高的打點次數(shù)才能滿足計算精度的要求。本文的打點次數(shù)為1 000 000組，由于Monte-Carlo法得到的失效概率具有一定的隨機性，為保證結(jié)果的精確性，經(jīng)過60次計算，得到趨于穩(wěn)定的系統(tǒng)失效概率平均值為μPf=4.929 8 ×10-4。

經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)，逐步等效平面法的計算結(jié)果與等效路徑有關(guān)，將算例1中的4個安全余量按不同的等效路徑進行逐步等效，所得的計算結(jié)果如表1所示，表1的最后一列給出了逐步等效平面法的計算結(jié)果與Monte-Carlo法的計算結(jié)果μPf=4.929 8×10-4的誤差。

表1 算例1的失效概率Table 1 The failure probability of example 1

從表1可知:

1)對比第1、3、5三組數(shù)據(jù)可知，將可靠性指標最低的安全余量(M3)在等效路徑中安排得越靠前，計算精度越低;對比第7、9、11三組數(shù)據(jù)可知，將可靠性指標最高的安全余量(M2)在等效路徑中安排得越靠前，計算精度越高。

2)對比第1(按可靠性指標從高到低排列)和7(按可靠性指標從低到高排列)兩組數(shù)據(jù)可知，若等效路徑按可靠性指標從高到低排序，計算誤差(1.01%)小于按可靠性指標從低到高的排序的誤差(11.36%)。

因此，在利用逐步等效平面法計算系統(tǒng)失效概率的過程中，按可靠性指標由高到低來安排等效路徑是提高計算精度的有效方法。在后續(xù)算例中進行可靠性敏度分析時也將利用這一結(jié)論。

3.2 算例2

設(shè)4個線性安全余量分別為

求4個安全余量組成的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量均值的敏度。x1、x2、x3、x4為不相關(guān)的標準正態(tài)隨機變量。分別采用文獻［7］中基于Monte-Carlo的方法、文獻［5］中的AFOSM-PNET方法以及本文的LSLIM-SSEPM所得計算結(jié)果見表2。表2中給出了由以上3種方法獲得的系統(tǒng)失效概率Pf、系統(tǒng)失效概率對基本變量均值的敏度?Pf/?μxi以及運算時間t。

表2 算例2的計算結(jié)果Table 2 The results of examp le 2

從表2中可以得出以下結(jié)論:

1)采用以上3種方法所得的計算結(jié)果能基本保持一致，這也說明了本文給出的LSLIM-SSEPM法用于分析具有線性安全余量系統(tǒng)可靠性敏度的可行性。

2)運算時間方面，基于Monte-Carlo法的敏度分析方法是最耗時的，AFOSM-PNET法和LSLIM-SSEPM法的計算量都比Monte-Carlo法要小得多，這也說明了本文給出的LSLIM-SSEPM法的高效性。

因此，在進行具有線性安全余量的系統(tǒng)可靠性敏度分析時，LSLIM-SSEPM法是可行且高效的。

采用LSLIM-SSEPM法對算例2進行敏度分析，并在表3中給出了不同的等效路徑對應(yīng)的計算結(jié)果。以基于Monte-Carlo法的敏度分析方法的計算結(jié)果為基準，從表3中可以得到以下結(jié)論:

1)不同的等效路徑下，系統(tǒng)失效概率對基本隨機變量敏度的計算結(jié)果差別較大，例如，將表3中的第1組數(shù)和第7組數(shù)相比，敏度值的偏差達到20%以上，這說明采用LSLIM-SSEPM法分析系統(tǒng)可靠性敏度時，選擇正確的等效路徑是十分重要的。

2)等效路徑取表3的1～3組，采用LSLIM-SSEPM法所得的敏度結(jié)果與基于Monte-Carlo法的敏度分析方法獲得的結(jié)果差別較大，這3種等效路徑的共同點是:可靠性指標高的安全余量(M4)在等效路徑中被安排的較靠后;等效路徑取表3中的4～7組時，采用LSLIM-SSEPM法所得的敏度結(jié)果與基于Monte-Carlo法的敏度分析方法獲得的結(jié)果相比，誤差相對較小，這4種等效路徑的共同點是:可靠性指標低的安全余量(M1)在等效路徑中被安排得較靠后。

因此，將可靠性指標越高的安全余量安排在等效路徑的前面，且將可靠性指標越低的安全余量安排在等效路徑的后面，LSLIM-SSEPM法的計算結(jié)果越可靠。

表3 不同的等效路徑時算例2的計算結(jié)果Table 3 The results of exam p le 2 at different equivalent paths

3.3 算例3

假設(shè)2個串聯(lián)的安全余量表達式如下

式中:隨機變量R1～R5以及P的概率分布類型和統(tǒng)計參數(shù)見表4。

表4 隨機變量的概率分布類型和統(tǒng)計參數(shù)Table 4 The probabilistic distribution type and statistic parameters of random variables

按照等概率原則，用標準正態(tài)隨機變量表示2個非線性功能函數(shù)為

將上述2個功能函數(shù)線性化為

表5中分別給出了采用Monte-Carlo法計算的式(19)的2個非線性和式(20)的2個線性化后的功能函數(shù)的可靠性指標以及系統(tǒng)可靠性指標。

由表5可知，采用本文式(11)～(14)的方法對算例3中的2個非線性的安全余量進行線性化后所得的可靠性指標值與非線性的安全余量的可靠性指標值的結(jié)果相近，這說明采用本文的方法對非線性的安全余量進行線性化是可行的。

表5 算例3的可靠性指標Table 5 The reliability index of examp le 3

分別采用文獻［7］中基于Monte-Carlo的方法、文獻［5］中的方法(AFOSM-PNET法)以及LSLIMSSEPM法對算例3進行敏度分析。為了保證計算結(jié)果的穩(wěn)定性，在基于Monte-Carlo法的敏度分析方法中，基本隨機變量的打點次數(shù)為10 000 000組。表6中給出了由以上3種方法獲得的系統(tǒng)失效概率Pf、系統(tǒng)失效概率對基本變量均值的敏度?Pf/?μyi以及運算時間t。

從表6中可知:

1)采用以上3種方法所得的計算結(jié)果能基本保持一致。且Monte-Carlo法和本文的LSLIM-SSEPM法結(jié)果更為接近，這也說明了本文的LSLIM-SSEPM法用于分析具有非線性安全余量系統(tǒng)可靠性敏度的可行性，且LSLIM-SSEPM法比基于Monte-Carlo法的敏度分析方法更高效，比AFOSM-PNET法的計算結(jié)果更精確。

2)就運算時間而言，為了保證基于Monte-Carlo法的敏度分析方法的計算精度，必須保證基本隨機變量的打點數(shù)，從表6中可以看出這種方法是最耗時的，對比AFOSM-PNET法和LSLIM-SSEPM法，其運算時間都很短，這也說明了本文給出的LSLIMSSEPM法的高效性。

因此，在進行具有非線性安全余量的系統(tǒng)可靠性敏度分析時，LSLIM-SSEPM法是可行且高效的。

表6 算例3的計算結(jié)果Table 6 The results of examp le 3

4 結(jié)論

本文提出了一種可靠性靈敏度分析方法——LSLIM-SSEPM法，并給出了改進該方法計算精度的措施。從算例中可得出如下結(jié)論:

1)在計算系統(tǒng)失效概率時，按可靠性指標由高到低來安排等效路徑是提高計算精度的有效方法;

2)LSLIM-SSEPM法和基于Monte-Carlo的敏度分析方法計算結(jié)果相近，但LSLIM-SSEPM法比基于Monte-Carlo的敏度分析方法效率高;在LSLIM-SSEPM法和AFOSM-PNET法計算量都很小的情況下，LSLIMSSEPM法的計算結(jié)果比AFOSM-PNET法更精確;

3)在多失效模式的系統(tǒng)中，將可靠性指標越高的安全余量安排在等效路徑的前面，且將可靠性指標越低的安全余量安排在等效路徑的后面，LSLIMSSEPM法的計算結(jié)果越可靠。

LSLIM-SSEPM法具有通用性，可用MATLAB編寫通用的計算程序，具有一定的工程實用價值。

［1］VALDEBENITOM A，JENSENH A，SCHUELLERG I，et al.Reliability sensitivity estimation of linear systems under stochastic excitation［J］.Computers and Structures，2012，92-93:257-268.

［2］宋軍，呂震宙.非正態(tài)變量可靠性靈敏度分析方法［J］.機械強度，2008，30(1):52-57.SONG Jun，LU Zhenzhou.Reliability sensitivity method for non-normal variable ［J］.Journal of Mechanical Strength，2008，30(1):52-57

［3］楊周.非正態(tài)分布參數(shù)的機械構(gòu)件的可靠性靈敏度與可靠性穩(wěn)健設(shè)計［D］.沈陽:東北大學(xué)，2010:23-26.YANG Zhou.Reliability-based sensitivity and reliability-based robust design for mechanical components with non-normal random variables［D］.Shenyang:Journal of Mechanical Strength，2010:23-26.

［4］楊杰，張崎，黃一.結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度因子的一種新指標［J］.工程力學(xué)，2013，30(6):16-21.YANG Jie，ZHANG Qi，HUANG Yi.A new sensitivity factor for structural reliability［J］.Engineering Mechanics，2013，30(6):16-21.

［5］趙維濤，張大千，于秀坤，等.空間梁板結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的全局最優(yōu)解［J］.上海航天，2007，5:1-4.ZHAOWeitao，ZHANG Daqian，YU Xiukun，et al.Global optimal solution of space beam-plate structural reliability optimization ［J］.Aerospace Shanghai，2007，5:1-4.

［6］安偉光，孫克淋，陳衛(wèi)東，等.隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2005，26(10):1175-1182.ANWeiguang，SUN Kelin，CHEN Weidong，et al.Optimum design based on reliability in stochastic structure systems［J］.Applied Mathenmatics and Mechanics，2005，26(10):1175-1182.

［7］趙維濤，張旭.基于Monte-Carlo方法的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度計算及敏度分析［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2011，28(2):200-204.ZHAOWeitao，ZHANGXu.Reliability calculation and reliability sensitivity analysis of structural system based on Monte-Carlo method ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28(2):200-204.

［8］康春華.基于自適應(yīng)重要抽樣的可靠性靈敏度分析方法［J］.機械強度，2007，29(6):946-951.KANG Chunhua.Reliability sensitivity analysis based on adaptive importance samplingmethod［J］.Journal of Mechanical Strength，2007，29(6):946-951.

［9］喬紅威，呂震宙，趙新攀.基于隨機響應(yīng)面法的可靠性靈敏度分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2010，27(2):207-212.QIAO Hongwei，LYU Zhenzhou，ZHAO Xinpan.Reliability sensitivity analysis and reliability-based design optimization based on stochastic response surfaces method ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27(2):207-212.

［10］LYU Zhenzhou，SONG Shufang，YUE Zhufeng，et al.Reliability sensitivitymethod by line sampling［J］.Structural Safety，2008(30):517-532

［11］貢金鑫.工程結(jié)構(gòu)可靠度計算方法［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，2003:256-268.GONG Jinxin.Computationalmethods for realiability of engineering structures［M］.Dalian:Dalian University of Technology Press，2003:256-268.