朱湘萍 廖樹(shù)幟

(1.湖南科技學(xué)院 電子工程系，湖南 永州 425199；2.湖南師范大學(xué) 物理系，湖南 長(zhǎng)沙 410081)

1 引 言

隨著計(jì)算材料學(xué)的發(fā)展以及高性能計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，采用理論計(jì)算方法開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)新型材料已成為材料研發(fā)的重要手段之一[1]。由于金屬鋁具有輕量化、再生利用等優(yōu)點(diǎn)，輕質(zhì)鋁材料及其合金已成為現(xiàn)代材料工程領(lǐng)域，特別是汽車(chē)工業(yè)、航空航天工業(yè)中不可缺少的結(jié)構(gòu)材料[2-4]。體彈性模量是金屬材料性能的一個(gè)重要指標(biāo)，影響金屬的體彈性模量的因素比較多，其中壓強(qiáng)在一定程度上制約了鋁及鋁合金在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用，所以，深入研究壓強(qiáng)對(duì)金屬鋁體彈性模量的影響，在材料的應(yīng)用等方面具有重要的實(shí)際意義。

上世紀(jì)80年代中期，Daw 和Baskes提出了一種嵌入原子方法(Embedded Atom Method，簡(jiǎn)稱(chēng)EAM)模型，主要應(yīng)用于計(jì)算固體中原子總能量[5]。但這種模型計(jì)算比較復(fù)雜，難推廣應(yīng)用，于是Johnson 采用最近鄰嵌入原子方法，提出分析型嵌入原子方法(AEAM)理論[6-7]。為了更好描述金屬以及其合金的性能，張邦維等提出了改進(jìn)分析型嵌入原子方法(MAEAM)理論[8-10]。文獻(xiàn)[11]利用嵌入原子模型理論，考慮了壓強(qiáng)效應(yīng)，推導(dǎo)出體心立方體鐵的體彈性模量與壓強(qiáng)的關(guān)系，突出了MAEAM理論在一定條件下的合理性和優(yōu)越性。本文用改進(jìn)分析型嵌入原子方法，結(jié)合非簡(jiǎn)諧理論，進(jìn)行一些近似處理，推導(dǎo)出面心立方體金屬鋁的體彈性模量與壓強(qiáng)的關(guān)系，為鋁和鋁合金的應(yīng)用提供一個(gè)參考依據(jù)。

2 理論模型

2.1 基于MAEAM模型金屬鋁總勢(shì)能函數(shù)的表達(dá)式

基于MAEAM模型，采用經(jīng)典的處理方法，假設(shè)面心立方體金屬鋁由N個(gè)原子組成，那么每個(gè)原子的平均嵌入原子勢(shì)可表示如下：

至于參數(shù)a、b、c、d和e的值采用張邦維提出的方法確定[9]?？紤]平均嵌入原子勢(shì)φ （r）隨兩原子的間距r增大而按指數(shù)規(guī)律迅速衰減，對(duì)于面心立方結(jié)構(gòu)的金屬Al的總勢(shì)能，只要慮近鄰的前四項(xiàng)，嵌入原子勢(shì)就比較精確了，如果用R表示面心立方體晶體中兩原子的最短距離，則式(1)可寫(xiě)為：

假設(shè)金屬鋁是由N個(gè)原子組成的，基于MAEAM模型，則金屬鋁的總嵌入原子勢(shì)可以表示如下：

2.2 簡(jiǎn)諧系數(shù)和非簡(jiǎn)諧系數(shù)

設(shè)面心立方結(jié)構(gòu)金屬Al的體系是由N個(gè)原子組成，當(dāng)晶體平衡后，設(shè)R0為兩原子間的間距，將原子的平均嵌入原子勢(shì)φ （R）在平衡點(diǎn)R0附近展開(kāi)，即有

對(duì)于勢(shì)函數(shù)的相關(guān)系數(shù)：簡(jiǎn)諧系數(shù)為0ε、第一非簡(jiǎn)諧系數(shù)為1ε、第二非簡(jiǎn)諧系數(shù)2ε，并可以通過(guò)以下式子求出相應(yīng)的值：

3 結(jié)果和討論

3.1 簡(jiǎn)諧系數(shù)和非簡(jiǎn)諧系數(shù)的計(jì)算

金屬Al的MAEAM勢(shì)參數(shù)值[9]：a=3.348，b=2.6733，c=0.4025，d=1.7087103，e=3.348數(shù)據(jù)，代入（3），再把結(jié)果分別代入（6）、（7）和（8）式，得到：

3.2 金屬Al的體彈性模量隨壓強(qiáng)的變化

面心立方(FCC)結(jié)構(gòu)金屬Al，晶體體積為：

于是得到壓強(qiáng)P和體彈性模量B分別為：

對(duì)于FCC結(jié)構(gòu)金屬：

這就是面心立方結(jié)構(gòu)金屬的體彈性模量與壓強(qiáng)滿(mǎn)足的微分關(guān)系式。一般情況洗，金屬的體彈性模量的數(shù)量級(jí)約為1011N/m2，就算壓強(qiáng)的大小為一萬(wàn)個(gè)大氣壓，其值約為109N/m2，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比金屬的體彈性模量的值小，所以（13）式括號(hào)中第二項(xiàng)可以忽略，當(dāng)采用零級(jí)近似處理后，把結(jié)果代入（13）式的右端，可得（13）式一級(jí)近似解為：

其中B0為P=0時(shí)的體彈性模量,將（3）式代入（4）式，將結(jié)果代入（14）式得到求得面心立方結(jié)構(gòu)金屬Al壓強(qiáng)為零時(shí)的體彈性模量B0=0.802Mbar，于是得到FCC結(jié)構(gòu)金屬鋁的體彈性模量隨壓強(qiáng)變化的規(guī)律：

為了形象描述金屬鋁的體彈性模量隨壓強(qiáng)的關(guān)系，采用了Origin軟件，作出了圖1，其中用五角星表示曲線是本文基于MAEAM模型下推導(dǎo)的金屬鋁的體彈性模量與壓強(qiáng)的關(guān)系曲線，方便比較，在同一坐標(biāo)上也作出了其它勢(shì)模型下理論值和實(shí)驗(yàn)值。

圖1.Al體彈性模量B隨壓強(qiáng)P的變化

3.3 分析與討論

（1）在一定條件下，壓強(qiáng)會(huì)影響金屬鋁和鋁合金的體彈性模量。當(dāng)壓強(qiáng)比較小時(shí)，壓強(qiáng)增大，金屬鋁的體彈性模量幾乎不變，當(dāng)壓強(qiáng)比較大時(shí)，由于受到第一非簡(jiǎn)諧系數(shù)的影響，壓強(qiáng)增大，金屬鋁的彈性模量也增大。解釋如下：低壓時(shí)，壓強(qiáng)對(duì)晶體的體積變化小，幾乎接近0，所以低壓情況時(shí)，壓強(qiáng)對(duì)金屬鋁的體彈性模量影響比較小，幾乎沒(méi)變化；由于金屬的彈性模量的大小主要決定于金屬的自排斥力大小，當(dāng)壓強(qiáng)比較大時(shí)，自排力比較大，所以體彈性模量就比較大[19]。

（2）探討鋁金屬的體彈性模量影響因素時(shí)，需要考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的影響，且所構(gòu)建的MAEAM模型在一定條件下是比較合理且可行的。主要體現(xiàn)于：首先金屬鋁的在零溫度零壓強(qiáng)的條件，跟實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)[13]和其他模型下推導(dǎo)的結(jié)果[14-18]幾乎吻合；其次當(dāng)壓強(qiáng) P＜100Gpa時(shí)與理論結(jié)果吻合很好文獻(xiàn)[12]；再次，采用經(jīng)典的方法，通過(guò)一級(jí)近似處理時(shí)，只有第一非簡(jiǎn)諧系數(shù)影響金屬鋁的體彈性模量隨壓強(qiáng)的變化。

4 結(jié) 論

(1)在推導(dǎo)金屬鋁的體彈性模量與壓強(qiáng)變化規(guī)律時(shí)，所構(gòu)建的MAEAM模型是合理可行的，特別是結(jié)合非簡(jiǎn)諧理論時(shí)，所推導(dǎo)的結(jié)果相對(duì)而言，更能準(zhǔn)確地反映鋁的體彈性模量受壓強(qiáng)的影響程度。

(2)在一定條件下，壓強(qiáng)對(duì)金屬及其合金的體彈性模量具有一定的影響，主要因素是第一非簡(jiǎn)諧系數(shù)，至于簡(jiǎn)諧系數(shù)和第二非簡(jiǎn)諧系數(shù)，它們對(duì)金屬及其合金的體彈性模量隨壓強(qiáng)的變化規(guī)律無(wú)影響，考慮非簡(jiǎn)諧振動(dòng)后的金屬及其合金的體彈性模量大于不考慮時(shí)的相應(yīng)值[11]。

(3)構(gòu)建任何一種勢(shì)模型，都具有一定的局限性。比如要具體計(jì)算某材料的體彈性模量，根據(jù)實(shí)際條件和實(shí)際需要，選擇合適的勢(shì)模型。

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