趙效鋒，管志川，廖華林，吳彥先

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266580)

收斂約束法是一種將理論基礎(chǔ)、實測數(shù)據(jù)和工程經(jīng)驗結(jié)合為一體的隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計方法［1］。類比于隧道開挖過程中需要添加支護結(jié)構(gòu)支撐開挖后的圍巖收斂，石油工程中的鉆井過程與其有一定的相似之處，即鉆出井眼后需要下套管并注水泥固井以達到支撐井壁的作用。因此，可將隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計中的收斂約束法引入石油工程中，用于水泥環(huán)力學(xué)完整性評價。目前，國內(nèi)對水泥環(huán)完整性的研究多集中于水泥環(huán)力學(xué)特性分析和影響規(guī)律上［2-6］，缺乏系統(tǒng)化的水泥環(huán)完整性評價方法;盡管Fourmaintraux等［7］提出了基于收斂約束思想的系統(tǒng)響應(yīng)曲線法可以直觀地對水泥環(huán)進行力學(xué)完整性評價，但對于破壞程度的量化卻沒有涉及。筆者在彈塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合收斂約束思想提出一種新的方法，以描繪水泥環(huán)的破壞形式及破壞程度，評價水泥環(huán)完整性和指導(dǎo)鉆井工程設(shè)計。

1 隧道收斂約束法的引入

隧道收斂約束法又名特性曲線法。圍巖向隧道中心產(chǎn)生變形即為收斂，支護提供壓力約束這種收斂。隧道開挖后，圍巖松弛并將應(yīng)力逐漸傳遞給隧道支護結(jié)構(gòu)，直到圍巖和支護達到變形相等的穩(wěn)定狀態(tài)。收斂約束法基于彈塑性理論求出圍巖特性曲線與支護特性曲線，找出特征曲線交點，用于判別隧道的安全狀態(tài)。Deer［8］最早利用圖解法闡述了隧道收斂約束法的基本概念，如圖1所示。圖1中收斂線表示圍巖壓力隨隧道內(nèi)邊界徑向位移增大而減小，約束線表示支護壓力隨外邊界徑向位移增大而增大;假如支護時圍巖已產(chǎn)生初始位移u1，此時對應(yīng)徑向應(yīng)力為p1，圍巖仍處于彈性變形階段。由于支護可變形，圍巖與支護發(fā)生相互作用，最終圍巖徑向位移增大到u2時二者達到平衡，對應(yīng)約束線與收斂線相交于a點，徑向應(yīng)力為p2，此時已進入收斂線的塑性段，圍巖已發(fā)生塑性破壞，組合體結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

圖1 收斂約束法原理圖Fig.1 Principle diagram of convergenceconfinement method

圖2 系統(tǒng)響應(yīng)曲線原理圖Fig.2 Principle diagram of system response curve

同樣，結(jié)合收斂約束思想提出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(圖2)由內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線組成，分別等同于收斂約束法中的約束線和收斂線，內(nèi)響應(yīng)曲線為彈性介質(zhì)，所以為直線，外響應(yīng)曲線為彈塑性介質(zhì)，因此有直線段和曲線段，同樣，二者反映的是接觸界面上的力與位移關(guān)系，交點即是界面形變相等的平衡點。當(dāng)內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線相交于彈性段(c點)時表明界面未產(chǎn)生塑性破壞，而相交于塑性段(b點)時則表明界面上產(chǎn)生了塑性破壞。

油氣井井筒主要由套管、水泥環(huán)、地層3部分組成，因此有兩個接觸界面，即套管－水泥環(huán)界面(固井Ⅰ界面)和水泥環(huán)－地層界面(固井Ⅱ界面)。如圖3所示，將系統(tǒng)響應(yīng)曲線應(yīng)用于油氣井井筒繪制水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應(yīng)曲線時，界面一側(cè)的另外兩個部分將被視為一體進行求解。

圖3 水泥環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線界面分解模型Fig.3 Interface decomposition model of cement system response curve

2 組合體力學(xué)模型

通過對井筒系統(tǒng)幾何特征和邊界條件的分析，若不考慮井筒縱向上位移的變化及軸向力，依據(jù)彈塑性力學(xué)理論，可將模型簡化為厚壁圓筒的平面應(yīng)變問題［2］，組合體力學(xué)模型如圖4所示。另外，求解過程須對模型作如下假設(shè):①套管為各向均勻的彈性材料，水泥環(huán)、地層為彈塑性材料;②套管、水泥環(huán)、地層均為均勻壁厚的同心圓筒;③整個分析基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，且接觸界面無相對滑動。

圖4 套管-水泥環(huán)-地層組合體模型Fig.4 Combined model of casing，cement sheath and stratum

圖4中，r0為套管內(nèi)半徑，mm;r1為水泥環(huán)內(nèi)半徑，mm;r2為水泥環(huán)外半徑，mm;r3為近井地層外半徑，mm;虛線為彈塑性區(qū)域分界線;rp1和rp2分別為水泥環(huán)和地層的塑性半徑，mm;p0和p3分別為套管內(nèi)壓和地層外邊界壓力，MPa;p1和p2分別為套管－水泥環(huán)界面、水泥環(huán)－地層界面作用力，MPa。

3 系統(tǒng)響應(yīng)曲線公式推導(dǎo)

公式推導(dǎo)過程中，假設(shè)壓力為正，拉力為負。并選取Mohr-Coulomb準(zhǔn)則作為水泥環(huán)的屈服準(zhǔn)則?，F(xiàn)實中由套管內(nèi)壓變化所導(dǎo)致的水泥環(huán)塑性破壞始于水泥環(huán)內(nèi)壁并向外擴展，當(dāng)套管內(nèi)壓大到使地層開始塑性變形時，水泥環(huán)早已完全塑性破壞，所以套管－水泥環(huán)界面較水泥環(huán)－地層界面更容易產(chǎn)生完整性問題，因此本文中暫不考慮水泥環(huán)－地層界面。

對套管－水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應(yīng)曲線計算時，須將水泥環(huán)和地層兩部分合為一體求解，相當(dāng)于兩個厚壁筒緊密嵌套，而對套管則單獨進行求解，相當(dāng)于單層厚壁筒。

3.1 彈性階段

由拉梅問題的基本解可得套管區(qū)域外徑處位移為

式中，G 為剪切模量，GPa;υ 為泊松比;下標(biāo)1、2、3表示套管、水泥環(huán)和地層區(qū)域。

3.2 塑性階段

在套管內(nèi)壓過大的情況下有可能出現(xiàn)水泥環(huán)塑性破壞，當(dāng)界面作用力p1達到水泥環(huán)彈性極限時，水泥環(huán)內(nèi)壁開始屈服，此時塑性半徑等于水泥環(huán)內(nèi)徑;當(dāng)p1逐漸增加時，水泥環(huán)內(nèi)的彈塑性狀態(tài)也隨著改變，塑性半徑不斷增大，直到完全塑性變形。

平面應(yīng)變問題中的切應(yīng)力為0，則正應(yīng)力σr、σθ和σz均為主應(yīng)力，在外擠壓力小于內(nèi)壓情況下，由拉梅公式基本解可以得出厚壁筒中σθ＜0、σr＞0且有 σθ＜ σr，由軸向應(yīng)變 εz=0可以得 σz=υ(σr+σθ)，故σz為中間主應(yīng)力，3個主應(yīng)力的排序為σr≥σz≥σθ，則Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的形式為

其中

式中，σr為徑向應(yīng)力，第一主應(yīng)力，MPa;σθ為周向應(yīng)力，第三主應(yīng)力，MPa;φ為內(nèi)摩擦角，(°);c為黏聚力，MPa。

rp1為水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)分界線，根據(jù)彈塑性力學(xué)理論，可將水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)視為雙層厚壁筒求解，并根據(jù)r=rp1處應(yīng)力、位移的連續(xù)性條件，最終推導(dǎo)出塑性階段水泥環(huán)－地層區(qū)域內(nèi)徑處位移為

其中，rp1和p2滿足方程組:

式(5)為超越方程，可以用試算法求出。

3.3 拉伸破壞臨界線

在水泥環(huán)內(nèi)壓大于外壓的情況下，水泥環(huán)應(yīng)力超過其抗拉強度時可能產(chǎn)生拉伸破壞，則拉伸破壞臨界線需滿足以下條件。

首先，根據(jù)最小主應(yīng)力σθ等于水泥環(huán)抗拉強度，可得

式中，σTS為水泥環(huán)抗拉強度，MPa。

通過判斷響應(yīng)曲線位移平衡后的交點與拉伸破壞線的相對位置來判斷是否發(fā)生拉伸破壞，因此還應(yīng)該滿足臨界線上的點均為響應(yīng)曲線的交點，即

聯(lián)立方程(7)和(8)，即可得出拉伸破壞臨界線的表達式。

4 水泥環(huán)力學(xué)完整性評價方法

4.1 水泥環(huán)的破壞形式

在油氣井的長期服役過程中，造成水泥環(huán)力學(xué)完整性失效的破壞形式主要有:①Ⅰ界面微間隙。Ⅰ界面微間隙是水泥環(huán)長期完整性失效的主要形式之一。有分析指出，套管內(nèi)壓交變作用下的水泥環(huán)塑性殘余變形是導(dǎo)致Ⅰ界面微間隙產(chǎn)生的主要原因。②Ⅱ界面微間隙。排除施工工藝、過程等不利因素，在油井長期服役過程中，相比Ⅰ界面，在套管內(nèi)壓力交替變化條件下的Ⅱ界面不易產(chǎn)生微間隙。③剪切破壞。水泥環(huán)的剪切破壞是由于套管內(nèi)壓過大所造成的，其破壞方向與界面法線方向呈一定角度。④徑向裂紋。徑向裂紋是水泥環(huán)的周向拉伸破壞的表現(xiàn)形式，而套管內(nèi)壓過大及水泥環(huán)宏觀體積收縮是造成徑向裂紋的主要原因。

4.2 水泥環(huán)力學(xué)完整性的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

基于以上水泥環(huán)的破壞形式及破壞機制的分析，分別對水泥環(huán)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線所表示的結(jié)果進行說明。計算中將徑向位移朝向井筒軸線方向記為正。水泥環(huán)響應(yīng)曲線如圖5所示。

如圖5(a)所示，套管、水泥環(huán)－地層區(qū)域分別在一定套管內(nèi)壓和圍巖應(yīng)力的作用下膨脹和收縮，因此當(dāng)水泥環(huán)界面壓力為0時內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線分別有相應(yīng)的初始位移(圖中a和b兩點)。隨著界面壓力的不斷增大，套管徑向位移不斷增大，水泥環(huán)－地層區(qū)域徑向位移不斷減小，直到二者相交于一點c，此時界面應(yīng)力相等且徑向位移相等，達到穩(wěn)定狀態(tài)，結(jié)果顯示平衡交點c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的彈性段且在拉伸破壞臨界線以下，因此并未發(fā)生剪切破壞及拉伸破壞，水泥環(huán)完整性良好。

圖5 水泥環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.5 Cement system response curve

相比曲線1，圖5(b)中曲線2中內(nèi)響應(yīng)曲線1的平衡交點c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的塑性段及拉伸破壞臨界線以下，此種工況下水泥環(huán)只產(chǎn)生了剪切破壞，而沒有拉伸破壞;內(nèi)響應(yīng)曲線2的平衡交點d位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的塑性段且位于拉伸破壞臨界線以上，此種工況下水泥環(huán)不但產(chǎn)生剪切破壞并且出現(xiàn)了徑向裂紋。

在油氣井建井及生產(chǎn)過程中，不同階段、不同工況下套管內(nèi)壓均不相同，微間隙的產(chǎn)生取決于前后兩個工況套管內(nèi)壓的變化，如果水泥環(huán)在高應(yīng)力作用下產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，套管壓力隨之降低則很可能產(chǎn)生微間隙。因此，微間隙的產(chǎn)生和評價是一個動態(tài)的過程。

如圖5(c)所示，內(nèi)響應(yīng)曲線1與外響應(yīng)曲線相交于c點，表示在一定水泥環(huán)界面壓力下套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)c點的位置可以判斷出水泥環(huán)發(fā)生了剪切破壞和拉伸破壞;當(dāng)套管內(nèi)壓減小時，內(nèi)響應(yīng)曲線1將會向徑向位移增大方向平移(圖中內(nèi)響應(yīng)曲線2)，根據(jù)彈塑性力學(xué)理論，當(dāng)壓力超過材料的屈服極限時，卸壓后其應(yīng)力－應(yīng)變曲線將不再沿原路徑返回。因此，當(dāng)水泥環(huán)－地層區(qū)域發(fā)生塑性破壞后界面壓力減小，其位移也不再沿收斂線變化，而是沿圖中的虛擬卸載線變化。根據(jù)塑性理論，總位移可以分解為彈性位移ue和塑性位移up，且在變形不大時，多數(shù)材料的塑性應(yīng)變和殘余應(yīng)變近似相等。圖5(c)中e點為彈塑性分界點，c點和e點二者所對應(yīng)位移的差值即為殘余應(yīng)變所對應(yīng)的塑性位移，bb'是卸載后徑向位移與初始位移的差值即為殘余應(yīng)變所對應(yīng)的塑性位移，即ts=bb'，因此可以通過b點位置得出水泥環(huán)虛擬卸載線。圖5(c)中d點為內(nèi)響應(yīng)曲線2與虛擬卸載線的交點。若水泥環(huán)－地層區(qū)域沿原收斂線卸載，則在此平衡界面壓力下所對應(yīng)的位移應(yīng)該在n點處。由于虛擬卸載線的斜率大于原收斂線，因此隨著水泥環(huán)界面壓力的減小，水泥環(huán)－地層區(qū)域位移沿虛擬卸載線變化比原外響應(yīng)曲線要快，二者之間存在位移差mn，tm為套管內(nèi)壓減小所產(chǎn)生的卸載位移，當(dāng)卸載后達到穩(wěn)定狀態(tài)時，如果套管的卸載位移tm比水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移mn大，即tm＞mn，二者間產(chǎn)生尺寸為(tm－mn)的微間隙;若狀態(tài)穩(wěn)定，套管內(nèi)壓降低所產(chǎn)生的位移不足以抵消水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移差時，即tm＜mn，則不會產(chǎn)生微間隙。

5 實例分析

從文獻資料中選取一口垂直井的數(shù)據(jù)作為實例，該井井眼規(guī)則，固井質(zhì)量良好且套管、水泥環(huán)完全居中，水泥環(huán)短期完整性良好，其幾何特征及材料參數(shù)見表1。

表1 實例井幾何特征及材料參數(shù)Table 1 Geometrical characteristic and material parameter of sample well

該井垂深4.575 km，水泥返高4.1175 km;在油井的整個生命周期中，近井區(qū)域的水平地應(yīng)力未發(fā)生變化為92 MPa，在不同的作業(yè)階段和工況下，套管內(nèi)壓力隨著套管內(nèi)流體介質(zhì)及井口壓力的不同而發(fā)生變化，計算過程中對套管內(nèi)壓依次進行編號，如圖6所示。

圖6 不同作業(yè)階段套管內(nèi)壓變化排序Fig.6 Casing pressure order at different operation stages

利用以上系統(tǒng)響應(yīng)曲線法對油氣井生命周期中的水泥環(huán)力學(xué)完整性進行評價，評價結(jié)果如圖7所示。

圖7 水泥環(huán)力學(xué)完整性評價Fig.7 Evaluation of cement mechanical integrity

在鉆井、固井、完井前3個作業(yè)階段中(圖7(a))，套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達到穩(wěn)定狀態(tài)時的交點均未超過水泥環(huán)－地層區(qū)域的彈塑性臨界點，整個過程位于響應(yīng)曲線的彈性段，水泥環(huán)完整性良好。隨著該井作業(yè)的繼續(xù)進行(圖7(b))，當(dāng)油井處于試壓第1個階段時，水泥環(huán)－地層區(qū)域已進入塑性段，直到試壓的第3個階段，水泥環(huán)－地層區(qū)域進入完全塑性階段，由于試壓過程套管內(nèi)壓力沒有降低，所以不可能產(chǎn)生微間隙。當(dāng)套管中流體被置換時(圖7(c))，套管內(nèi)壓降低，水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線沿虛擬卸載線進行卸載，達到穩(wěn)定狀態(tài)后產(chǎn)生了0.07 mm的微間隙;當(dāng)生產(chǎn)階段套管內(nèi)壓再次上升時，在上一階段的界面位置基礎(chǔ)上繪制系統(tǒng)響應(yīng)曲線，在產(chǎn)生塑性破壞后再次加載響應(yīng)曲線存在應(yīng)變硬化的現(xiàn)象，在界面壓力為110.5 MPa時再次與套管達到穩(wěn)定狀態(tài)，而此時水泥環(huán)－地層區(qū)域并未發(fā)生塑性破壞，平衡壓力距離彈塑性臨界點118 MPa仍有一段距離，但由于此前水泥環(huán)已發(fā)生過塑性破壞，存在破碎區(qū)，所以水泥環(huán)的完整性依然會失效。

6 結(jié)論

(1)將隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計中的收斂約束法引入石油工程中，提出的水泥環(huán)力學(xué)完整性評價方法可行，運用該方法可以對水泥環(huán)力學(xué)完整性進行直觀的評價，同時可以對破壞程度進行量化。

(2)水泥環(huán)力學(xué)完整性的評價需要縱觀油氣井的整個生產(chǎn)作業(yè)歷史。若前一階段水泥環(huán)完整性已經(jīng)發(fā)生失效，會對后續(xù)階段的完整性產(chǎn)生影響。

(3)水泥環(huán)力學(xué)破壞準(zhǔn)則的選取與破壞機制的研究在水泥環(huán)力學(xué)完整性評價中非常重要，其理論體系還有待于進一步研究。

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