王樹東

【摘要】針對(duì)地圖中水系、道路、境界線等要素的制圖綜合問題，利用小波分析的多分辨率分析原理，提出了曲線綜合的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)線狀要素進(jìn)行綜合和平滑，實(shí)現(xiàn)了對(duì)曲線的制圖綜合。 【關(guān)鍵詞】 曲線綜合；多分辨率分析；多尺度表達(dá)；數(shù)學(xué)模型

制圖綜合的目的就是在有限的圖面上盡可能多的反映相對(duì)重要的物體，即模型綜合和圖形綜合。制圖綜合是隨比例尺變小而進(jìn)行的信息簡(jiǎn)化，為了使空間信息保持清晰和簡(jiǎn)潔，更能反映對(duì)象空間信息的整體特征，產(chǎn)生了各種處理方法。它是為了防止由于比例尺變化造成的表達(dá)空間的不足、數(shù)據(jù)的混亂和堆積。通常是通過對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行刪除、變形以及重采樣來達(dá)到對(duì)空間信息的減少，在信息減少的過程中帶來了許多問題，如符號(hào)化問題、變形、移位等。小波的基本思想是根據(jù)不同尺度來分析信號(hào)，隨著小波分析在數(shù)學(xué)上的發(fā)展和完善，因其具有函數(shù)逼近功能、多尺度特性、快速算法等性質(zhì)，故在圖形圖像領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。在GIS圖形數(shù)據(jù)多比例尺表達(dá)研究方面，多分辨率分析與制圖綜合具有天然的聯(lián)系，在線狀要素綜合方面已取得了不少成果?？梢哉J(rèn)為，曲線綜合過程就是不斷地逼近信號(hào)的長(zhǎng)周期發(fā)展趨勢(shì)，在地圖數(shù)據(jù)庫(kù)中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)一般都是特征點(diǎn)，這些特征點(diǎn)實(shí)際上都是間斷點(diǎn)、尖銳變化點(diǎn)。因此對(duì)于這些點(diǎn)不能簡(jiǎn)單地對(duì)它平滑，不僅要在一定程度上保留它的奇異性，并且要決定這個(gè)奇異點(diǎn)在不同比例尺的地形圖上是不是需要保留，同時(shí)希望建立一種數(shù)學(xué)模型能夠解決曲線多值性問題，綜合后的數(shù)據(jù)應(yīng)具有一定光滑性、良好的精度和視覺效果。本文利用多分辨率分析小波原理，建立線狀要素綜合模型，并對(duì)對(duì)線狀要素進(jìn)行綜合實(shí)驗(yàn)，以及對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。

1小波分析與線狀要素關(guān)系

小波分析的成果是顯著的，前人的研究明確地指出了小波的多分辨率分析與制圖綜合的關(guān)系，并且建立了基于多分辨率分析的自動(dòng)綜合模型，給出了曲線綜合模型的運(yùn)行圖框。在模型拓展中，談到了這種模型僅能適用單值函數(shù) 的情況，但是GIS圖形往往是各向波動(dòng)的閉合曲線，在小波分析的特點(diǎn)中，引人注目的有兩個(gè)。多分辨率分析[10][11]和數(shù)據(jù)長(zhǎng)周期發(fā)展信息的提取[12]。使用最多的是二進(jìn)小波。所以建立如下的基于二進(jìn)小波的線狀要素多分辨率模型：把細(xì)節(jié)程度最少的線狀要素用 表示，就是曲線兩個(gè)端點(diǎn)的連線，由兩個(gè)點(diǎn)組成（如果曲線閉合，可以把它分成2個(gè)曲線）。建立不同尺度下的線狀要素 ， 由 個(gè)離散點(diǎn)點(diǎn)逼近原曲線。這樣，就把線狀要素的綜合過程和Mallat的多分辨率分析建立了聯(lián)系。當(dāng)然這個(gè)尺度和Mallat的尺度是不同的，Mallat的尺度是雙無(wú)限的空間，線狀要素是單無(wú)限的，最小值為0，隨著尺度m越來越大，線狀要素的細(xì)節(jié)信息越來越多。綜合就是已知 ，求取 ，（ ）的過程。為了連續(xù)的表達(dá)不同分辨率的線狀要素，彌補(bǔ)二進(jìn)制分辨率的等級(jí)限制，允許有小數(shù)尺度 。小波分析能夠監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)周期發(fā)展，小波分析能夠提取淹沒在強(qiáng)噪聲中的長(zhǎng)周期信息，并且這種長(zhǎng)周期信息一般隱藏在多級(jí)分解的細(xì)部信息里面。趨勢(shì)是信號(hào)中最慢變化的部分。在小波分析中，這就反映為更高尺度。隨著尺度的增加，分辨率減少，產(chǎn)生更好的，對(duì)未知趨勢(shì)的估計(jì)。另一種認(rèn)為這是一個(gè)頻率問題。連續(xù)的接近使越來越多的高頻信息丟失了，同時(shí)剩下的就是信號(hào)的趨勢(shì)。一個(gè)成功的例子是湮沒在噪聲中的信號(hào)趨勢(shì)的提取。值得提醒的是，趨勢(shì)是信號(hào)中最緩慢的變化的部分，但是如果信號(hào)本身有尖銳的變化，這種逼近就離原是信號(hào)越來越遠(yuǎn)了。

2 數(shù)學(xué)模型的建立與模型特點(diǎn)

2.1 模型的建立

使用離散小波處理信號(hào)，被處理函數(shù)應(yīng)該是單值而且是規(guī)則化的，顯然在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的曲線是一個(gè)多值且不規(guī)則的，這就需要建立新的模型，使曲線數(shù)據(jù)符合離散小波的要求。

從小波的特點(diǎn)出發(fā)將空間 看成是某地理空間， 看成是該空間的各種信息，那么， 則可看成 在不同分辨率下的地理空間模型[2]。曲線可以表達(dá)為 ，顯然這個(gè)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)。在小波分析中，是不能出現(xiàn)多值函數(shù)的，需要對(duì)多值函數(shù)進(jìn)行單值化。

首先沿曲線長(zhǎng)度對(duì)曲線離散化。設(shè)離散化后的點(diǎn)有 個(gè)，就是曲線尺度 ，要滿足點(diǎn)之間的曲線長(zhǎng)度一致。然后把曲線用微分表達(dá)：

，

就變?yōu)榱?。再把曲線 用極坐標(biāo)表示，設(shè)：

， （1）

顯然，是沿曲線等長(zhǎng)采樣 。 = ，這樣函數(shù)就被單值化了，這也是一個(gè)曲線插值的過程，只要 值取得足夠小，就能保證曲線的采樣精度。

曲線處理前后的長(zhǎng)度和角度變化規(guī)律如圖2，有一個(gè) 的細(xì)部信息，在不同的尺度下，這個(gè)小的三角形被逐漸壓抑，直到被消除。在某2個(gè)的尺度 （j>i）的角度 為， = ?？梢钥醋?是 ， 在上面的投影角度，

（2）

這樣看來 就是要求的長(zhǎng)度。但是在實(shí)際使用中，不能準(zhǔn)確地給出 ，就沒有 ，也就不能簡(jiǎn)單的利用上面的公式?？梢岳孟旅孢@兩種方法解決：（1）.直接使用 ；（2）.建立 于 的函數(shù)模型，很明顯 變化小， 的變化就不會(huì)很大。

為了得到更好的效果，本文做了以下的改進(jìn)：

⑴.關(guān)于閾值函數(shù)的選取。使用了半軟閾值。閾值函數(shù)體現(xiàn)出了對(duì)超過和低于閾值的小波系數(shù)模型的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。設(shè)ω是原始小波系數(shù)，η（ω）表示閾值化后的系數(shù)，T是閾值，

I（x）=1，x是真；I（x）=0，x是假。

硬閾值方法可以很好的保留信號(hào)邊緣等局部特征，但信號(hào)會(huì)出現(xiàn)振鈴，偽吉布斯效應(yīng)等，而軟閾值處理相對(duì)要平滑，但可能造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。可以兼顧軟閾值和硬閾值方法的優(yōu)點(diǎn)，克服了上述缺陷，采用如下表達(dá)式：

其中 。 （3）

令 ，就需要找到 。

⑵.閾值的估計(jì)。李氏指數(shù)和小波系數(shù)極大值之間的關(guān)系：若小波是實(shí)函數(shù)且連續(xù)可微，并具有n階消失矩（ ）， ，則函數(shù) 在 處具有Lipschitz指數(shù)α，當(dāng)存在常數(shù)K，使得 ，且小波變換滿足：

（4）

設(shè) 是函數(shù) 局部突變點(diǎn)（奇異點(diǎn)），則在該點(diǎn)處 的小波分析取得極大值。在第j級(jí)分解中找到其中的最大絕對(duì)值系數(shù) ，設(shè) ，需要為每一級(jí)分解設(shè)計(jì)一個(gè) ，把它叫做相對(duì)閾值。然后利用（3），就完成了對(duì)角度信息的處理，其具有自適應(yīng)的成分。

2.2 模型特點(diǎn)：

⑴.角度是有周期性的，周期為2 的。當(dāng) 由略小于2 變化到略大于0，如果角度 僅使用[0 ，2 ]這個(gè)區(qū)間的值，這就理解為了一個(gè)大的奇異點(diǎn)，實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)并不是。如果 中相鄰兩個(gè)點(diǎn) = - > ，則利用 的周期性，讓 改變2n ，滿足 < 。

⑵.因?yàn)樾〔ㄗ儞Q處理前后點(diǎn)的數(shù)量沒有改變，所以各個(gè)級(jí)別的曲線長(zhǎng)度沒有改變，實(shí)際上，隨著曲線細(xì)節(jié)信息的丟失，曲線長(zhǎng)度也逐漸遞減。因此在對(duì)角度信息處理之后，必須對(duì)曲線的長(zhǎng)度進(jìn)行處理。即把整個(gè)綜合過程分為了兩步，首先對(duì)角度處理，再對(duì)長(zhǎng)度處理，且長(zhǎng)度的變化能不能很好的確定是模型能不能使用的關(guān)鍵。

⑶.誤差積累。由于綜合的過程是對(duì)角度信息的處理。角度信息改變后，逐點(diǎn)的計(jì)算 ，再計(jì)算x、y。顯然x、y的計(jì)算結(jié)果受到前面點(diǎn)的影響，前面如果出現(xiàn)誤差并且這些誤差的方向不是隨機(jī)的，這些誤差會(huì)積累，最終影響曲線的重構(gòu)精度。

3 結(jié)論

在實(shí)驗(yàn)中，我把這段曲線共分解11，在各個(gè)級(jí)別中，有小的信息被刪除了，經(jīng)過仔細(xì)觀察，很明顯的看到不少細(xì)節(jié)信息沒有了，曲線變得很光滑，兩條曲線結(jié)合的很好，在曲線中小的彎曲的確是被刪除了，綜合的效果很好；如果刪除更多級(jí)別的信息，曲線變形很大，和制圖綜合的理論也是吻合的；模型對(duì)數(shù)據(jù)的壓縮能力，當(dāng)使用小波壓縮時(shí)，下一級(jí)的細(xì)部信息僅使用了上一級(jí)一般的記錄點(diǎn)。計(jì)算小波重構(gòu)中使用數(shù)據(jù)的數(shù)量，相對(duì)于原曲線還是有一定的壓縮力。也可以把經(jīng)典的曲線壓縮的方法作用于這兩個(gè)級(jí)別的曲線，能獲得更好的壓縮比和綜合效果；更多的分級(jí)曲線，可以通過使用不同的相對(duì)閾值系數(shù)來獲取。

結(jié)合小波分析和長(zhǎng)周期信號(hào)的提取與線狀要素?cái)?shù)據(jù)建立起聯(lián)系。從微分弧段的角度重新看待了原始數(shù)據(jù)，使用小波的方法進(jìn)行曲線綜合。小波分析把線狀要素的不同長(zhǎng)度、不同曲率的彎曲分解到了不同等級(jí)的小波系數(shù)里面，且滿足李氏指數(shù)的規(guī)律。使用小波系數(shù)的閾值壓抑技術(shù)，壓抑絕對(duì)值較小的小波系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了壓抑線狀要素的彎曲效果，解決了綜合中曲線問題，并且能夠根據(jù)人們的需要，使用不同的閾值，能夠生產(chǎn)出不同復(fù)雜程度的曲線，還保持了原始地圖的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

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