史阿蘭
美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞說:“如果一個學生從來就沒有機會去解決一個他自己所發(fā)明創(chuàng)造的問題,那么他的經(jīng)驗是不完整的,教師可以向學生示范如何從一個剛剛解決的問題引出新問題,這樣做可以引起學生的好奇心,教師也可以留一部分創(chuàng)造發(fā)明給學生?!睌?shù)學課堂上給學生留一些發(fā)揮的余地,讓學生自己設法解決問題,可能是一題多解,還可以在問題解決方案的設計中鍛煉思維能力,甚至可以把這樣的方案遷移至新的問題上。教師不能預設課堂中即將發(fā)生的一切,但是必須學會應對一切的技巧,以下是筆者在動態(tài)生成觀指導下,實施課堂教學的一個案例及其思考。
教學實錄
某建筑工程使用大理石鋪地面時,設計出對同種規(guī)格的大理石用量規(guī)則:第一層用全部大理石的一半多一塊,第二層用去剩下的一半多一塊,第三層再用去剩下的一半多一塊,第四層又用去剩下的一半多一塊,這樣第五層恰好將剩余的370塊全部用完,問原有大理石多少塊?
像這樣求解起來不那么省力,但想通了又不那么難的題目,恰是鍛煉學生思維的一個好機會。如果教師見題目有點難馬上給予提示,就會使學生養(yǎng)成依賴性。一直缺少思考的空間,就一直學不會思考,稍難一點的題就會懶得思考,空著不做。這道題筆者留了大段時間讓學生思考計算,然后請學生交流方法。
生1:“設原有x塊大理石。第一次鋪掉,還剩下;第二次鋪掉=,還剩下;第三次鋪掉,還剩下;第四次鋪掉,還剩下。鋪第五層時剩余的=370,解一元一次方程得 x=5950,故原有大理石5950塊。”同學們點頭,贊成他的推理,推理和計算都很成功。
這時,生2舉手:“老師,每次鋪完一層所剩下的塊數(shù)是有規(guī)律的:,,我可以求出第n次鋪完所剩下的塊數(shù),如果題目再鋪下去鋪到九層十層,我就不需要一個一個算了。”
生2通過自己的思考,聯(lián)系前一階段學習的規(guī)律探索知識,進一步看到了這一題中的規(guī)律。筆者繼續(xù)題為:“還有別的方法嗎?”
生3舉手:“其實不用那么復雜,鋪第一層時一共x塊,用掉一半多一,反過來說,剩下的就是一半少一,不用計算就知道是,那么第二次剩下它的一半少一,即,第三次剩下,第四次剩下,則,算得x=5950?!?/p>
生3經(jīng)過思考,充分理解了題目的意思,發(fā)掘出題目隱藏的聯(lián)系,能用自己的話概括。
生4迫不及待地舉手:“老師,從最后的370倒過來想更簡單……”很多同學表示贊同,不用方程也能方便地做出來。這是一種逆向思維,是一種比較好的思維方式。學生在思考和交流的過程中得到了不同的方法,鍛煉了思維能力。
幾點思考
“預設”與“生成”和諧統(tǒng)一 教師預設中的方法未必是最好的,當學生的思維參與進來時,就會相互對比,可能老師的方法最終被淘汰,這時候的課堂就會煥發(fā)出旺盛的生命力。
避免思維慣性中的負作用 學習數(shù)學離不開直覺,同時也離不開思維的慣性,思維的慣性很多時候提高了解題的速度。所謂思維的慣性,主要表現(xiàn)在習慣于某種自己認為理所當然的思路、解法。堅持自己的方法固然好,但是如果鉆到了牛角尖里,就會阻礙大家去尋求別的解法。以初二全等三角形習題講解為例。如圖一,正方形ABCD中,M是DC的中點,點E在DC的延長線上,MN⊥AM,MN交∠BCE的平分線于N,試說明:AM=MN。
思路分析:想到利用證明三角形全等得到對應邊相等時,很容易過N作DE的垂線段,如圖二所示,然后證明△ADM≌△MFN。但是這樣做比較困難,為什么不找一個和△NMC全等的三角形呢?可以取AD的中點P,連接MP,證明△MAP≌△NMC。學生習慣于直角三角形,所以去證明兩個直角三角形全等,而沒有看到兩個鈍角三角形全等。
教學案例:初二勾股定理與平方根習題講解為例。某直角三角形的兩邊長分別為5、12,試求第三邊的長。
教學現(xiàn)象:學生非常熟悉5、12、13這一組勾股數(shù),所以得出第三邊長為13。這就是思維的慣性,已經(jīng)知道的知識通常會促進學習,但有時也會阻礙學習。這個問題中的第三邊不一定就是斜邊,還有可能是一條直角邊,12可作為斜邊,這個時候第三邊長度就是。教師要幫助學生總結自己的錯誤,這些錯通常不只是個別同學會犯的,在幫助一位學生的同時,別的學生也會獲益。
(作者單位:江蘇省蘇州市吳江區(qū)桃源中學)