霍良平

（旬陽(yáng)中學(xué)，陜西 旬陽(yáng) 725700）

牛頓第二定律是研究質(zhì)點(diǎn)在合力作用下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何變化的問(wèn)題.在大學(xué)物理教程和高中物理教材中都是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)總結(jié)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，對(duì)研究力和運(yùn)動(dòng)起到了決定性的作用，由于在高中教材中對(duì)牛頓第二定律的推導(dǎo)過(guò)程主要是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上以國(guó)際單位為主線得出結(jié)論或F∝ma，而在具體的做題當(dāng)中都是以F∝ma的形式出現(xiàn)，不寫成的原因究竟是為什么？本文結(jié)合大學(xué)物理教程和高中物理教材做一比對(duì)分析.

大學(xué)教程［1］中：設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，某時(shí)刻的速度為v，動(dòng)量為mv，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于該時(shí)刻作用在質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力R＝∑iFi實(shí)驗(yàn)表明：

牛頓第二定律給出了力和動(dòng)量變化之間的定量關(guān)系.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量可以看做是常量時(shí)，上式可寫為

這就是大家熟悉的牛頓第二定律的表示形式.實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量隨時(shí)間變化時(shí)，式（2）已不再成立，但式（1）仍然成立，說(shuō)明用動(dòng)量形式表示的牛頓第二定律具有更大的普遍性.

高中教材［2］中：分別采用控制質(zhì)量和力的前提下，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論：物體的加速度跟受到的作用力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比.數(shù)學(xué)公式表示為

將上式寫成等式，得

式中的k是比例系數(shù)，取國(guó)際單位（規(guī)定1N是使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2加速度的力），k＝1，上式可寫為F合＝ma.

（1）從單位制角度講，最早物理學(xué)中使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力叫做千克力，后來(lái)將千克力改用為牛，即使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力為1牛.從單位分類來(lái)看牛是導(dǎo)出單位，可表示為1N＝1kg·m／s2，因此將牛頓第二定律表示為F＝ma體現(xiàn)了單位的導(dǎo)出過(guò)程.

（3）牛頓第二定律的內(nèi)容當(dāng)中并沒有具體要求研究對(duì)象只能為一個(gè)質(zhì)量一定的物體或加速度相同的物體系，即可理解為對(duì)變質(zhì)量的物體、加速度不同的多個(gè)物體系也應(yīng)在它的研究范圍內(nèi).

設(shè)有n個(gè)相互作用的物體質(zhì)量一定，分別為m1、m2、..mn，產(chǎn)生的加速度分別為a1、a2、..an，m1受到的作用力分為F1內(nèi)（m2，..mn對(duì)m1施加的力的合力）、F1外（除m2，..mn對(duì)m1施加力之外的力的合力），同理m2受到的作用力分為F2內(nèi)、F2外，mn受到的作用力分為Fn內(nèi)、Fn外.根據(jù)牛頓第二定律得

F1外＋F1內(nèi)＝m1a1. （1）

F2外＋F2內(nèi)＝m2a2. （2）

……

Fn外＋Fn內(nèi)＝mnan. （n）

據(jù)牛頓第三定律得F1內(nèi)＋F2內(nèi)＋…＋Fn內(nèi)＝0，則式（1）＋式（2）＋…＋式（n）得

F1外＋F2外＋…＋Fn外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

如果取m1，m2，…mn系統(tǒng)為研究對(duì)象，有

F合外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

結(jié)合力的正交分解思想，上式可寫為

Fx＝m1a1x＋m2a2x＋…＋mnanx，

Fy＝m1a1y＋m2a2y＋…＋mnany，

式中的Fx和Fy是系統(tǒng)在x軸、y軸方向上的合外力.若牛頓第二定律寫成將無(wú)法列出系統(tǒng)的牛頓第二定律方程，即只能局限于解決單個(gè)物體或可視為單體的多個(gè)物體系（加速度相同）的力學(xué)問(wèn)題，在學(xué)生應(yīng)用牛頓第二定律解決力學(xué)問(wèn)題時(shí)存在很大的局限性，甚至?xí)箤W(xué)生曲解為牛頓第二定律只能解決單體定質(zhì)量問(wèn)題.

例題.一個(gè)斜面光滑質(zhì)量為M的三角劈放在粗糙的地面上，一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端靜止釋放，在滑塊的下滑過(guò)程中，三角劈始終不動(dòng)，那么三角劈所受地面的摩擦力的大小和方向怎樣？支持力又有多大？

解析：分別以三角劈和滑塊為研究對(duì)象作受力分析，如圖2（a）、（b）所示.

圖1

圖2

x軸方向：當(dāng)M和m一定時(shí)，取水平向左為正方向，滑塊的加速度為a1＝gsinθ，三角劈的加速度為a2＝0.

對(duì)滑塊：

FNx＝FNsinθ＝ma1x. （1）

對(duì)三角劈：

f-FN′sinθ＝Ma2x. （2）

y軸方向：取豎直向下為正方向.

對(duì)滑塊：

mg-FNcosθ＝ma1y. （3）

對(duì)三角劈：

Mg＋FN′cosθ-N＝Ma2y. （4）

FN＝FN′.（數(shù)值相等） （5）

如果采用單體分析法，先有（1）式算出FN＝mgcosθ，代入（2）式得出f＝mgsinθcosθ，代入（4）式得出

N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

系統(tǒng)分析法.

x軸方向：f＝ma1x＋Ma2x.

y軸方向：mg＋Mg-N＝ma1y＋Ma2y.于是直接可得f＝mgsinθcosθ，且方向水平向左，N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

1 吳百詩(shī).大學(xué)物理（新版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

2 束炳如，何潤(rùn)偉.物理（共同必修1）［M］.上海：上?？萍汲霭嫔?，2004.