甘大旺

2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科末題是——已知函數(shù)f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

別為M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

預(yù)備知識(shí)追根溯源，流暢解答這道高考末題需要熟悉（可用導(dǎo)數(shù)探究或驗(yàn)證）三次函數(shù)的如下相關(guān)知識(shí)——缺二次項(xiàng)的三次函數(shù)

S（x）=ax3+px+q的圖象是關(guān)于點(diǎn)O′（0，q）對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

（?。┤鬭p≥0，則三次函數(shù)S（x）不存在極值.如圖1，當(dāng)a>0且p≥0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞增；如圖2，當(dāng)a<0且p≤0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞減.

圖1圖2

（ⅱ）若ap<0，則三次函數(shù)S（x）在x=±-p3a處取得極大值或極小值.如圖3，當(dāng)a>0且p<0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞增、在區(qū)間

--p3a，-p3a上遞減、在區(qū)間-p3a，+∞上遞增；如圖4，當(dāng)a<0且p>0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞減、在區(qū)間--p3a，-p3a上遞增、在區(qū)間-p3a，+∞上遞減.

圖3圖4

上述預(yù)備知識(shí)破解了這道末題的命題背景，下面我們對(duì)此題就可迎刃而解了（不同于命題組提供的評(píng)卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函數(shù)f（x）的絕對(duì)值符號(hào)得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放寬到R上的三次函數(shù)y=x3-3x+3a的圖象的兩個(gè)極值點(diǎn)在兩條平行線(xiàn)x=±1上滑動(dòng)）.

當(dāng)a<-1且-1≤x≤1時(shí)，x>a，函數(shù)f（x）=

x3+3x-3a在區(qū)間[-1，1]上遞增（如圖5），則

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

則M（a）-m（a）=8；

圖5圖6

當(dāng)-1≤a<0且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，a]上遞減、在[a，1]上遞增（如圖6），則M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，則M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)0≤a<1且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）也在區(qū)間[-1，a]上遞減、在區(qū)間[a，1]上遞增（如圖7），則M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

則M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

圖7圖8

當(dāng)a≥1且-1≤x≤1時(shí)，x≤a，函數(shù)f（x）=x3-3x+3a在區(qū)間[-1，1]上遞減（如圖8），則M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

則M（a）-m（a）=4；

總之根據(jù)目標(biāo)式合并條件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依題意，不等式-2≤f（x）+b≤2對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，則f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四類(lèi)得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐標(biāo)系aOb中，全體動(dòng)點(diǎn)P（a，b）所構(gòu)成的集合是如圖9所示的曲邊△ABC（含邊界）與射線(xiàn)b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，視m為平行直線(xiàn)系3a+b=m的截距參數(shù)，則當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-2）時(shí)m取得最小值-2，當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)射線(xiàn)b=-3a（a≥13）時(shí)m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范圍是[-2，0].圖9

解法2（Ⅰ）設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）-3x-a+y=x3（x≤1）.

對(duì)函數(shù)t=x3（x≤1）求導(dǎo)數(shù)t′=3x2∈[0，3]，則在直角坐標(biāo)系xOt中，定函數(shù)t=x3（x≤1）的圖象除兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1）外與動(dòng)折線(xiàn)t=-3x-a+y沒(méi)有其它切點(diǎn).該動(dòng)折線(xiàn)以直線(xiàn)x=a為對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)為V（a，y），如圖10考慮臨界情景，當(dāng)a=13、y=3時(shí)，折線(xiàn)t=-3x-13+3恰好經(jīng)過(guò)兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1），其中此時(shí)A為切點(diǎn).

圖10

當(dāng)a<-1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，則M（a）-m（a）=8.

當(dāng)-1≤a<13時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=4-3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)13≤a<1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則M（a）-m（a）=2+3a-a3；

當(dāng)a≥1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，則M（a）-m（a）=4.

綜上四類(lèi)得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后類(lèi)似于解法2.

評(píng)析

（1）從命題組提供這道高考數(shù)學(xué)末題（滿(mǎn)分14分）的參考答案來(lái)看，此題旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用絕對(duì)值、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，以及分類(lèi)討論、遷移化歸、整合概括等數(shù)學(xué)方法，這樣說(shuō)來(lái)，此題并沒(méi)有超綱；

（2）從考后幾位學(xué)生找我面談所反映的信息來(lái)看這道題，平時(shí)請(qǐng)教過(guò)三次函數(shù)題目、琢磨過(guò)三次函數(shù)特征的考生面對(duì)這道試卷末題比較欣喜，認(rèn)為不偏、不怪、不難，而平時(shí)沒(méi)有對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行專(zhuān)題練習(xí)、研討的考生卻“望而生畏”（注：這個(gè)“生”是動(dòng)詞），其實(shí)是“望生而畏”（注：這個(gè)“生”是形容詞），這應(yīng)驗(yàn)了中科院裘宗滬老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，筆者把試題所隱含的數(shù)形結(jié)合思想顯性化，運(yùn)用不同的直角坐標(biāo)系繪出函數(shù)圖象、平面區(qū)域、平行線(xiàn)系，使原本迂回玄妙的解題思路變得相當(dāng)直觀、流暢.

2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科末題是——已知函數(shù)f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

別為M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

預(yù)備知識(shí)追根溯源，流暢解答這道高考末題需要熟悉（可用導(dǎo)數(shù)探究或驗(yàn)證）三次函數(shù)的如下相關(guān)知識(shí)——缺二次項(xiàng)的三次函數(shù)

S（x）=ax3+px+q的圖象是關(guān)于點(diǎn)O′（0，q）對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

（?。┤鬭p≥0，則三次函數(shù)S（x）不存在極值.如圖1，當(dāng)a>0且p≥0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞增；如圖2，當(dāng)a<0且p≤0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞減.

圖1圖2

（ⅱ）若ap<0，則三次函數(shù)S（x）在x=±-p3a處取得極大值或極小值.如圖3，當(dāng)a>0且p<0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞增、在區(qū)間

--p3a，-p3a上遞減、在區(qū)間-p3a，+∞上遞增；如圖4，當(dāng)a<0且p>0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞減、在區(qū)間--p3a，-p3a上遞增、在區(qū)間-p3a，+∞上遞減.

圖3圖4

上述預(yù)備知識(shí)破解了這道末題的命題背景，下面我們對(duì)此題就可迎刃而解了（不同于命題組提供的評(píng)卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函數(shù)f（x）的絕對(duì)值符號(hào)得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放寬到R上的三次函數(shù)y=x3-3x+3a的圖象的兩個(gè)極值點(diǎn)在兩條平行線(xiàn)x=±1上滑動(dòng)）.

當(dāng)a<-1且-1≤x≤1時(shí)，x>a，函數(shù)f（x）=

x3+3x-3a在區(qū)間[-1，1]上遞增（如圖5），則

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

則M（a）-m（a）=8；

圖5圖6

當(dāng)-1≤a<0且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，a]上遞減、在[a，1]上遞增（如圖6），則M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，則M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)0≤a<1且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）也在區(qū)間[-1，a]上遞減、在區(qū)間[a，1]上遞增（如圖7），則M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

則M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

圖7圖8

當(dāng)a≥1且-1≤x≤1時(shí)，x≤a，函數(shù)f（x）=x3-3x+3a在區(qū)間[-1，1]上遞減（如圖8），則M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

則M（a）-m（a）=4；

總之根據(jù)目標(biāo)式合并條件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依題意，不等式-2≤f（x）+b≤2對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，則f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四類(lèi)得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐標(biāo)系aOb中，全體動(dòng)點(diǎn)P（a，b）所構(gòu)成的集合是如圖9所示的曲邊△ABC（含邊界）與射線(xiàn)b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，視m為平行直線(xiàn)系3a+b=m的截距參數(shù)，則當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-2）時(shí)m取得最小值-2，當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)射線(xiàn)b=-3a（a≥13）時(shí)m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范圍是[-2，0].圖9

解法2（Ⅰ）設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）-3x-a+y=x3（x≤1）.

對(duì)函數(shù)t=x3（x≤1）求導(dǎo)數(shù)t′=3x2∈[0，3]，則在直角坐標(biāo)系xOt中，定函數(shù)t=x3（x≤1）的圖象除兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1）外與動(dòng)折線(xiàn)t=-3x-a+y沒(méi)有其它切點(diǎn).該動(dòng)折線(xiàn)以直線(xiàn)x=a為對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)為V（a，y），如圖10考慮臨界情景，當(dāng)a=13、y=3時(shí)，折線(xiàn)t=-3x-13+3恰好經(jīng)過(guò)兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1），其中此時(shí)A為切點(diǎn).

圖10

當(dāng)a<-1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，則M（a）-m（a）=8.

當(dāng)-1≤a<13時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=4-3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)13≤a<1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則M（a）-m（a）=2+3a-a3；

當(dāng)a≥1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，則M（a）-m（a）=4.

綜上四類(lèi)得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后類(lèi)似于解法2.

評(píng)析

（1）從命題組提供這道高考數(shù)學(xué)末題（滿(mǎn)分14分）的參考答案來(lái)看，此題旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用絕對(duì)值、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，以及分類(lèi)討論、遷移化歸、整合概括等數(shù)學(xué)方法，這樣說(shuō)來(lái)，此題并沒(méi)有超綱；

（2）從考后幾位學(xué)生找我面談所反映的信息來(lái)看這道題，平時(shí)請(qǐng)教過(guò)三次函數(shù)題目、琢磨過(guò)三次函數(shù)特征的考生面對(duì)這道試卷末題比較欣喜，認(rèn)為不偏、不怪、不難，而平時(shí)沒(méi)有對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行專(zhuān)題練習(xí)、研討的考生卻“望而生畏”（注：這個(gè)“生”是動(dòng)詞），其實(shí)是“望生而畏”（注：這個(gè)“生”是形容詞），這應(yīng)驗(yàn)了中科院裘宗滬老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，筆者把試題所隱含的數(shù)形結(jié)合思想顯性化，運(yùn)用不同的直角坐標(biāo)系繪出函數(shù)圖象、平面區(qū)域、平行線(xiàn)系，使原本迂回玄妙的解題思路變得相當(dāng)直觀、流暢.

2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科末題是——已知函數(shù)f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

別為M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

預(yù)備知識(shí)追根溯源，流暢解答這道高考末題需要熟悉（可用導(dǎo)數(shù)探究或驗(yàn)證）三次函數(shù)的如下相關(guān)知識(shí)——缺二次項(xiàng)的三次函數(shù)

S（x）=ax3+px+q的圖象是關(guān)于點(diǎn)O′（0，q）對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

（?。┤鬭p≥0，則三次函數(shù)S（x）不存在極值.如圖1，當(dāng)a>0且p≥0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞增；如圖2，當(dāng)a<0且p≤0時(shí)，S（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞減.

圖1圖2

（ⅱ）若ap<0，則三次函數(shù)S（x）在x=±-p3a處取得極大值或極小值.如圖3，當(dāng)a>0且p<0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞增、在區(qū)間

--p3a，-p3a上遞減、在區(qū)間-p3a，+∞上遞增；如圖4，當(dāng)a<0且p>0時(shí)，S（x）在區(qū)間-∞，--p3a上遞減、在區(qū)間--p3a，-p3a上遞增、在區(qū)間-p3a，+∞上遞減.

圖3圖4

上述預(yù)備知識(shí)破解了這道末題的命題背景，下面我們對(duì)此題就可迎刃而解了（不同于命題組提供的評(píng)卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函數(shù)f（x）的絕對(duì)值符號(hào)得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放寬到R上的三次函數(shù)y=x3-3x+3a的圖象的兩個(gè)極值點(diǎn)在兩條平行線(xiàn)x=±1上滑動(dòng)）.

當(dāng)a<-1且-1≤x≤1時(shí)，x>a，函數(shù)f（x）=

x3+3x-3a在區(qū)間[-1，1]上遞增（如圖5），則

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

則M（a）-m（a）=8；

圖5圖6

當(dāng)-1≤a<0且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，a]上遞減、在[a，1]上遞增（如圖6），則M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，則M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)0≤a<1且-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）也在區(qū)間[-1，a]上遞減、在區(qū)間[a，1]上遞增（如圖7），則M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

則M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

圖7圖8

當(dāng)a≥1且-1≤x≤1時(shí)，x≤a，函數(shù)f（x）=x3-3x+3a在區(qū)間[-1，1]上遞減（如圖8），則M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

則M（a）-m（a）=4；

總之根據(jù)目標(biāo)式合并條件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依題意，不等式-2≤f（x）+b≤2對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，則f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四類(lèi)得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐標(biāo)系aOb中，全體動(dòng)點(diǎn)P（a，b）所構(gòu)成的集合是如圖9所示的曲邊△ABC（含邊界）與射線(xiàn)b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，視m為平行直線(xiàn)系3a+b=m的截距參數(shù)，則當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-2）時(shí)m取得最小值-2，當(dāng)該直線(xiàn)系經(jīng)過(guò)射線(xiàn)b=-3a（a≥13）時(shí)m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范圍是[-2，0].圖9

解法2（Ⅰ）設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）-3x-a+y=x3（x≤1）.

對(duì)函數(shù)t=x3（x≤1）求導(dǎo)數(shù)t′=3x2∈[0，3]，則在直角坐標(biāo)系xOt中，定函數(shù)t=x3（x≤1）的圖象除兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1）外與動(dòng)折線(xiàn)t=-3x-a+y沒(méi)有其它切點(diǎn).該動(dòng)折線(xiàn)以直線(xiàn)x=a為對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)為V（a，y），如圖10考慮臨界情景，當(dāng)a=13、y=3時(shí)，折線(xiàn)t=-3x-13+3恰好經(jīng)過(guò)兩端點(diǎn)A（-1，-1）、B（1，1），其中此時(shí)A為切點(diǎn).

圖10

當(dāng)a<-1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，則M（a）-m（a）=8.

當(dāng)-1≤a<13時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得M（a）=4-3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

當(dāng)13≤a<1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由頂點(diǎn)V（a，y）在曲線(xiàn)段t=x3（x≤1）時(shí)求得m（a）=a3，則M（a）-m（a）=2+3a-a3；

當(dāng)a≥1時(shí)，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由動(dòng)折線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，則M（a）-m（a）=4.

綜上四類(lèi)得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：設(shè)y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），則移項(xiàng)得到關(guān)于x的方程（視y為參數(shù)）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后類(lèi)似于解法2.

評(píng)析

（1）從命題組提供這道高考數(shù)學(xué)末題（滿(mǎn)分14分）的參考答案來(lái)看，此題旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用絕對(duì)值、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，以及分類(lèi)討論、遷移化歸、整合概括等數(shù)學(xué)方法，這樣說(shuō)來(lái)，此題并沒(méi)有超綱；

（2）從考后幾位學(xué)生找我面談所反映的信息來(lái)看這道題，平時(shí)請(qǐng)教過(guò)三次函數(shù)題目、琢磨過(guò)三次函數(shù)特征的考生面對(duì)這道試卷末題比較欣喜，認(rèn)為不偏、不怪、不難，而平時(shí)沒(méi)有對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行專(zhuān)題練習(xí)、研討的考生卻“望而生畏”（注：這個(gè)“生”是動(dòng)詞），其實(shí)是“望生而畏”（注：這個(gè)“生”是形容詞），這應(yīng)驗(yàn)了中科院裘宗滬老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，筆者把試題所隱含的數(shù)形結(jié)合思想顯性化，運(yùn)用不同的直角坐標(biāo)系繪出函數(shù)圖象、平面區(qū)域、平行線(xiàn)系，使原本迂回玄妙的解題思路變得相當(dāng)直觀、流暢.