向華

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數(shù)兼顧了常函數(shù)與一般函數(shù)的特征，是常函數(shù)與一般函數(shù)的過渡，由于它的存在，函數(shù)王國更加豐富多彩.

定義設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù)，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數(shù)部分，稱x-[x]為x的小數(shù)部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數(shù)是很簡單的，其實不然，它具有函數(shù)的簡捷美，又有它獨特的應(yīng)用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數(shù)學競賽中也?？汲Ｐ?，它也是現(xiàn)實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數(shù)學模型.關(guān)于它的應(yīng)用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應(yīng)用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數(shù)除以10的可能余數(shù)是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數(shù)只可能是7，8，9，因為當余數(shù)大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉(zhuǎn)化，正確使用了取整函數(shù).

2在方程中的應(yīng)用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設(shè)[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關(guān)于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關(guān)于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設(shè)為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉(zhuǎn)化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數(shù)的性質(zhì)以及取整函數(shù)的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應(yīng)用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點的個數(shù)有.

解析設(shè)直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內(nèi)部整數(shù)點的個數(shù)為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數(shù)點的個數(shù)為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構(gòu)成的線段上的整點數(shù)（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數(shù)，使問題圓滿解決.

4現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關(guān)是這樣設(shè)計的，接上電源即出現(xiàn)紅色，拉第一次開關(guān)時，燈色由紅變黃，拉第二次開關(guān)時，燈色由黃變藍，拉第三次開關(guān)時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復(fù)，現(xiàn)對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數(shù)有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數(shù)的燈}，B={編號為3的倍數(shù)的燈}，C={編號為5的倍數(shù)的燈}，

D={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)的燈}，

E={編號既為3的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

F={編號既為2的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

G={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)還為5的倍數(shù)的燈}，被拉過的燈的盞數(shù)是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數(shù)是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數(shù)是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數(shù)是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結(jié)論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數(shù)中n的倍數(shù)有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數(shù)y=[x]的應(yīng)用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數(shù)王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎(chǔ).

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數(shù)兼顧了常函數(shù)與一般函數(shù)的特征，是常函數(shù)與一般函數(shù)的過渡，由于它的存在，函數(shù)王國更加豐富多彩.

定義設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù)，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數(shù)部分，稱x-[x]為x的小數(shù)部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數(shù)是很簡單的，其實不然，它具有函數(shù)的簡捷美，又有它獨特的應(yīng)用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數(shù)學競賽中也?？汲Ｐ拢彩乾F(xiàn)實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數(shù)學模型.關(guān)于它的應(yīng)用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應(yīng)用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數(shù)除以10的可能余數(shù)是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數(shù)只可能是7，8，9，因為當余數(shù)大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉(zhuǎn)化，正確使用了取整函數(shù).

2在方程中的應(yīng)用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設(shè)[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關(guān)于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關(guān)于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設(shè)為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉(zhuǎn)化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數(shù)的性質(zhì)以及取整函數(shù)的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應(yīng)用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點的個數(shù)有.

解析設(shè)直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內(nèi)部整數(shù)點的個數(shù)為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數(shù)點的個數(shù)為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構(gòu)成的線段上的整點數(shù)（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數(shù)，使問題圓滿解決.

4現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關(guān)是這樣設(shè)計的，接上電源即出現(xiàn)紅色，拉第一次開關(guān)時，燈色由紅變黃，拉第二次開關(guān)時，燈色由黃變藍，拉第三次開關(guān)時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復(fù)，現(xiàn)對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數(shù)有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數(shù)的燈}，B={編號為3的倍數(shù)的燈}，C={編號為5的倍數(shù)的燈}，

D={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)的燈}，

E={編號既為3的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

F={編號既為2的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

G={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)還為5的倍數(shù)的燈}，被拉過的燈的盞數(shù)是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數(shù)是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數(shù)是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數(shù)是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結(jié)論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數(shù)中n的倍數(shù)有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數(shù)y=[x]的應(yīng)用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數(shù)王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎(chǔ).

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數(shù)兼顧了常函數(shù)與一般函數(shù)的特征，是常函數(shù)與一般函數(shù)的過渡，由于它的存在，函數(shù)王國更加豐富多彩.

定義設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù)，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數(shù)部分，稱x-[x]為x的小數(shù)部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數(shù)是很簡單的，其實不然，它具有函數(shù)的簡捷美，又有它獨特的應(yīng)用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數(shù)學競賽中也?？汲Ｐ?，它也是現(xiàn)實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數(shù)學模型.關(guān)于它的應(yīng)用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應(yīng)用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數(shù)除以10的可能余數(shù)是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數(shù)只可能是7，8，9，因為當余數(shù)大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉(zhuǎn)化，正確使用了取整函數(shù).

2在方程中的應(yīng)用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設(shè)[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關(guān)于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關(guān)于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設(shè)為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉(zhuǎn)化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數(shù)的性質(zhì)以及取整函數(shù)的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應(yīng)用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點的個數(shù)有.

解析設(shè)直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內(nèi)部整數(shù)點的個數(shù)為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數(shù)點的個數(shù)為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構(gòu)成的線段上的整點數(shù)（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數(shù)，使問題圓滿解決.

4現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關(guān)是這樣設(shè)計的，接上電源即出現(xiàn)紅色，拉第一次開關(guān)時，燈色由紅變黃，拉第二次開關(guān)時，燈色由黃變藍，拉第三次開關(guān)時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復(fù)，現(xiàn)對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數(shù)有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數(shù)的燈}，B={編號為3的倍數(shù)的燈}，C={編號為5的倍數(shù)的燈}，

D={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)的燈}，

E={編號既為3的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

F={編號既為2的倍數(shù)又為5的倍數(shù)的燈}，

G={編號既為2的倍數(shù)又為3的倍數(shù)還為5的倍數(shù)的燈}，被拉過的燈的盞數(shù)是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數(shù)是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數(shù)是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數(shù)是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結(jié)論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數(shù)中n的倍數(shù)有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數(shù)y=[x]的應(yīng)用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數(shù)王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎(chǔ).