吳燃+羅增儒

“潛在假設(shè)”是指主體對客體一種自然認可的心理狀態(tài).數(shù)學(xué)解題中的“潛在假設(shè)”，是指隱藏在解題主體心中的一種命題（參見文[1]），這種命題不是顯露地記載在課本中的概念或定理，但在解題者的潛意識里卻自動相信它的正確性，這種相信，不是來源于客觀事實或邏輯論證，而常常是來源于粗糙的直觀、部分的實例、尚未找到反例或單純的想當(dāng)然等.當(dāng)然，有的“潛在假設(shè)”是積極的，可以運用到教材編寫、或解題思路的探求之中；而有的“潛在假設(shè)”是消極的，它會造成兩個明顯的后果：把一個假命題證成一個真命題（以假為真），或?qū)σ粋€真命題的論證出現(xiàn)無效推理（虛假論據(jù)）.

在文[2]中，對于三視圖問題上的內(nèi)容開放性和認識封閉性，曾經(jīng)通過解題活動強調(diào)了兩點結(jié)論：不同的幾何體可以有相同的三視圖；同一個幾何體擺法不同可以有不同的三視圖.這其實已經(jīng)涉及到消極的“潛在假設(shè)”，本文作為續(xù)談，將再剖析關(guān)于三視圖消極“潛在假設(shè)”的一些表現(xiàn)，但視角會有兩個變化：

（1）如果說文[2]的素材重在從直觀圖到三視圖的話，那么本文的素材則注重從三視圖到直觀圖，尤其要注意逆向問題會是不惟一的.

（2）如果說文[2]的努力重在防止數(shù)學(xué)解題中消極“潛在假設(shè)”的話，那么本文的努力則還注重防止習(xí)題編擬中消極的“潛在假設(shè)”，加強習(xí)題的內(nèi)容科學(xué)性和邏輯嚴謹性.

1涉及三棱錐的消極“潛在假設(shè)”

例1一個三棱錐的三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”，請找出這樣的三棱錐.

圖1圖2

講解一個容易想到的回答是：“直角三棱錐”，如圖1，從正方體中截下的直角三棱錐D1-DAC，它的三視圖輪廓是三個全等的等腰直角三角形.

一個較難否定的回答是：“正四面體的三視圖是三個全等的正三角形”，“理由”是，正四面體的四個面都是全等的正三角形，所以，無論你從哪一角度看都是正三角形.這是由粗糙的直觀導(dǎo)致的虛假論據(jù)和錯誤

結(jié)論.其實，一個正三角形在不同方向的投影，其形狀和大小是會發(fā)生變化的，當(dāng)你著眼于更廣泛的三棱錐、努力構(gòu)造出它的兩個視圖均為“全等的正三角形”時，第三個方向即使是正三角形，也不會是全等的，就是說“三視圖是三個全等正三角形”的三棱錐并不存在.那么，正四面體就不是答案了嗎？不，由文[2]知，將正方體截去四個三棱錐，如圖1中，所得到的正四面體B1-ACD1（保持其在正方體中的位置不動），其三視圖輪廓是“三個全等的正方形”（圖2）.

這樣，我們找到了兩類三棱錐（但不知道還有沒有第三類），一類其三視圖輪廓是三個全等的等腰直角三角形；另一類其三視圖輪廓是三個全等的正方形.思考還可以繼續(xù)：

圖3

例2如果一個三棱錐的三視圖是三個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為a，求這個三棱錐的體積和表面積.

講解一個容易想到的回答是例1中的“直角三棱錐”（圖3中D1-DAC），體積為

V=16V正方體=a36，

表面積為

S=3S等腰直角三角形+S等邊三角形=3+32a2.

但是這個答案并不完整，圖3中三棱錐D1-DAB的三

視圖也是三個全等的等腰直角三角形，其體積不變V=16V正方體=a36，但表面積為

S=2S等腰直角三角形+2S直角三角形=（1+2）a2.

處理完這兩個例子之后，從試題編擬的角度還可以繼續(xù)思考如下問題.

問題1例1中三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”的三棱錐到底有幾種情況？

問題2怎樣嚴格證明“三視圖是三個全等正三角形”的三棱錐并不存在？

問題3例2中三視圖輪廓為“三個全等的等腰直角三角形”的三棱錐是不是只有兩種情況？

在這些問題未徹底解決之前，最好不要由“粗糙的直觀”導(dǎo)致“潛在假設(shè)”，我們建議例1、例2作開放性的修改：

例3如果一個三棱錐的三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”，請找出一個這樣的三棱錐，并求它的體積（或表面積）.

這時，題目是開放的，學(xué)生可以找出不同的三棱錐，求出不同的體積（或表面積），并且一道題目開辟了一個研究課題.

2涉及組合體的消極“潛在假設(shè)”

例4如果一個幾何體的三視圖如圖4（或圖5）所示，這個幾何體是怎樣構(gòu)成的？

圖4圖5

講解一個容易想到的回答是：圖4的幾何體是從一個正方體中挖去了一個圓錐（如2011年陜西文、理科第5題）.

一個意外的回答是：圖4的幾何體也可以是給一個無蓋正方體里放進了一個圓錐.

第一個回答大家很好接受，從一個幾何體中挖去了一個幾何體當(dāng)然是畫虛線了，但是反過來，畫虛線就一定是幾何體被挖去的痕跡嗎？所畫的虛線就不可能是放進了一個幾何體嗎？如圖5，從一個半球體中挖去一個圓錐與從一個半球中放進一個圓錐會有相同的三視圖.我們認為，挖去幾何體時畫虛線只是部分實例，放進了一個幾何體的可能性也是存在的，不應(yīng)該由“部分的實例”導(dǎo)致“潛在假設(shè)”，編擬試題時應(yīng)該表述清楚，排除歧義.比如，對圖4（或圖5）編擬為計算題時，可以這樣敘述：

例41從已知幾何體中挖去了一個幾何體后，其三視圖如圖4所示，則該幾何題的體積（或表面積）為.

例5（合肥市2009年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測文科第10題）用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，其主視圖、側(cè)視圖都是圖6，對這個幾何體，下列說法正確的是（）.

A.這個幾何體的體積一定是7

B.這個幾何體的體積一定是10

C.這個幾何體的體積的最小值是6，最大值是10

D.這個幾何體的體積的最小值是7，最大值是11

圖6圖7

講解這是一個開放性的題目，可以檢測學(xué)生對視圖

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進三視圖認識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點為一個點）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴謹?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點D1作平面α與棱AA1交于點E，與棱BB1交于點F，與棱CC1交于點G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點.有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點，因為線段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點，也是線段EG的中點.

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因為DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點的坐標為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計算在可行域內(nèi)任取一點，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進三視圖認識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點為一個點）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴謹?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點D1作平面α與棱AA1交于點E，與棱BB1交于點F，與棱CC1交于點G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點.有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點，因為線段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點，也是線段EG的中點.

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因為DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點的坐標為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計算在可行域內(nèi)任取一點，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進三視圖認識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點為一個點）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴謹?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點D1作平面α與棱AA1交于點E，與棱BB1交于點F，與棱CC1交于點G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點.有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點，因為線段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點，也是線段EG的中點.

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因為DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點的坐標為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計算在可行域內(nèi)任取一點，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，促進學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.