魏瑞霞，山東省特級教師、齊魯名師、省教學能手，東營市專家、市功勛人民教師、市勞動模范、市為新中國成立和建設作出突出貢獻的英模人物、市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員、市“十大女杰”、市優(yōu)秀科技工作者、市青年科技獎獲得者；主持參研4項國家級、17項省市級科研課題，5次被評為全國優(yōu)秀實驗教師和實驗先進工作者，任教班級被評為省優(yōu)秀實驗班，8項研究獲全國實驗成果一等獎，2項獲山東省教育科研成果一等獎（政府獎），2項課程資源獲山東省優(yōu)秀課程資源一等獎；主編、參編國家級數(shù)學教材、教師用書及學生用書140余本，30余篇論文在省級以上教育期刊發(fā)表，30篇論文獲省級以上一等獎。

一、問題的提出

“問題解決”與“數(shù)學建?！笔菙?shù)學教育的熱點、焦點問題。在近幾屆國際數(shù)學教育大會上，“問題解決、模型化和應用”被列為幾個主要研究的問題之一，且普遍贊同：通過開展“數(shù)學建?！被顒觼硗苿訑?shù)學教育改革。

隨著我國課程改革的深入，數(shù)學建?；顒右褦U展到義務教育階段，且成為數(shù)學學習的重要目標。2011版《數(shù)學課程標準》將數(shù)學“建?！媚！眴栴}歸結為“模型思想”，成為“十大核心概念”中唯一以“思想”著稱的核心概念，強調(diào)“要讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程”。

但是，目前我國的小學數(shù)學建模研究往往從認識和理論角度論述，與教學實踐不夠貼近，這無疑給一線教師的建模教學帶來很大挑戰(zhàn)，并導致四大問題。一是建模意識淡薄。教學過分關注知識與技能目標，缺少生活原型作為支撐和背景。二是用模意識缺失。不能將生活問題進行數(shù)學化的處理過程，缺少對問題的共性分析、提煉及優(yōu)化的過程，不能形成具有穩(wěn)定性的一般算法模型。三是評價方式單一陳舊。試卷上很難看到培養(yǎng)學生建模意識、檢測學生建模能力的問題。四是廣大一線教師對數(shù)學模型、數(shù)學建模、模型思想等概念缺乏清晰而全面的理解和認識，只能“摸著石頭過河”，走一步，看一步。

由此，導致學生出現(xiàn)三大現(xiàn)象：一是面對圖文并茂、信息紛雜的問題情景時，難以篩選出有用信息，抽象成數(shù)學問題；二是面對數(shù)學問題，找不到基本的數(shù)量關系，理不清解決問題的思路；三是對一些基本數(shù)量關系模糊不清，更不會用數(shù)量關系解決問題。鑒于此，我們開展了小學數(shù)學應用問題模型構建的實踐與研究。

二、內(nèi)涵的界定

1.應用問題

所謂應用問題，是指應用數(shù)與代數(shù)的知識和方法解決生活實際問題，即數(shù)與代數(shù)領域的解決問題。解決應用問題的本質(zhì)是建立數(shù)學模型。

2.應用問題的數(shù)學模型

應用問題的數(shù)學模型，是指從實際生活原型或提供的實際背景出發(fā)，充分運用觀察與操作、分析與比較、抽象與概括等思維方式，去掉非本質(zhì)的東西，用數(shù)學語言或數(shù)學符號表述出的一種數(shù)學結構。

3.模型構建

模型構建，是建立數(shù)學模型并用它解決問題這一過程的簡稱。它是指針對某種系統(tǒng)特征或數(shù)量關系，用數(shù)學概念和符號概括或近似地表達解決同一類問題的共同數(shù)學演示模式。小學數(shù)學的模型構建主要是指在小學數(shù)學學習中運用數(shù)學思想方法、數(shù)學語言將生活實際問題抽象為數(shù)學問題，進而求解、驗證與應用，體現(xiàn)“生活—數(shù)學—生活”的發(fā)展過程。

4.應用問題的模型構建

應用問題的模型構建，是把數(shù)學內(nèi)容放在真實有趣的問題情景中，引導學生把實際問題抽象成數(shù)學問題，把生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并運用數(shù)學模型解決實際問題。這樣，在解決問題中建構數(shù)學模型，在建構模型中解決問題。

基于上述認識，我們認為應用問題模型構建教學應從學生已有的認知基礎和生活經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設與學生生活經(jīng)驗密切聯(lián)系并富有挑戰(zhàn)性的問題情景，吸引學生在問題解決中探索數(shù)學知識，經(jīng)歷建模過程，積累活動經(jīng)驗，獲得思想方法，增強建模意識和解決問題的能力。

三、小學數(shù)學應用問題模型構建的

基本操作策略

1.在主題式教學活動中構建模型

所謂主題式教學，是指教學中將數(shù)學學習的內(nèi)容設計成一些與學生生活聯(lián)系密切且生動有趣的數(shù)學主題活動，學生在一個個喜聞樂見、生動活潑的數(shù)學主題活動中，主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學、學習數(shù)學、應用數(shù)學；在主題活動中探究知識、構建模型、發(fā)展能力，同時獲得數(shù)學學習的積極情感體驗。

開展主題式教學應遵循以下基本流程：一是創(chuàng)設主題情景，發(fā)現(xiàn)提出問題， 構建文本模型；二是運用解決策略，探索研究問題，構建數(shù)學模型；三是運用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。例如，學習一年級上冊《認識加法》時，設計如下：

①確立的活動主題：走進花果山；

②創(chuàng)設的主題情境：小朋友到花果山游玩的情境；

③解決的現(xiàn)實問題：山上有多少只猴子？天空中有多少只小鳥；

④探究的數(shù)學問題：初步認識加法的意義；

⑤建構的數(shù)學模型：初步建構加法的意義模型——合并模型。

數(shù)學建模的過程設計如下：

第一，創(chuàng)設主題情境，發(fā)現(xiàn)提出問題，構建文本模型。多媒體播放小朋友到花果山游玩的情景，學生在主題情景吸引下，展開系列探索活動：觀看主題情境，尋找數(shù)學信息；根據(jù)信息間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學問題；完成生活原型向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化。

第二，借助解題策略，自主表征問題，構建數(shù)學模型。圍繞“一共幾只小猴”等數(shù)學問題，讓學生選用打手勢表演、擺學具、畫圖畫、聯(lián)想舊知等不同的方式和策略自主表征問題，多角度體會“合并”的含義，并逐步用抽象的數(shù)學符號“+”表示，初步建立加法的算式模型，完成數(shù)學問題向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化。

第三，應用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。運用加法模型解決主題情境中“白云朵數(shù)”“桃子個數(shù)”、“游玩學生人數(shù)”等簡單問題完成數(shù)學模型向生活問題的拓展應用。

從學生熟悉的生活背景出發(fā)，確立了“來到花果山”的活動主題，創(chuàng)設了“到花果山游玩”的主題情景。一是極大地調(diào)動了學生參與的熱情，激發(fā)了自主探索的欲望；二是學生親身經(jīng)歷問題情境、建立模型、拓展應用的建模過程。

2.在自主探究教學中構建模型

自主探究教學是指在教學中，從數(shù)學學科領域或現(xiàn)實生活中選擇和確定研究主題，創(chuàng)設一種類似于學術（或科學）研究的情境，引導學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而通過觀察、操作、猜測、驗證、推理與交流等探索活動解決問題。在研究、探索、解決問題的過程中，學生自主構建新知，形成技能技巧，掌握基本的數(shù)學思想和學習方法，獲得數(shù)學學習的積極情感體驗。

自主探究教學大致經(jīng)歷以下操作流程：一是創(chuàng)設問題情景，發(fā)現(xiàn)提出問題，明確探究目標；二是自主表征問題，探究解題策略，構建數(shù)學模型；三是運用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。例如，學習“乘加問題”時，建模過程如下：

第一，創(chuàng)設問題情景，發(fā)現(xiàn)提出問題，明確探究目標。從學生喜愛的假日旅游入手，呈現(xiàn)熟悉的旅游情景：觀察情境圖，尋找數(shù)學信息；根據(jù)數(shù)學信息，發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學問題（旅游團每9人一組，已經(jīng)分了4組，還剩5人。旅游團一共有多少人？）；實現(xiàn)問題情境向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化。

第二，自主表征問題，探究解題策略，構建數(shù)學模型。圍繞“旅游團共有多少人”這一問題，展開系列探究活動：借助已有經(jīng)驗，自選擺學具、畫圖、列表等策略表征問題；交流表征策略，理清數(shù)量關系；根據(jù)數(shù)量關系，列式解決問題；分析算法異同，提煉數(shù)學本質(zhì)，構建乘加模型；完成數(shù)學問題向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化。

第三，應用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。運用乘加模型解決情境圖中“停車數(shù)量”、“停車收費”等簡單實際問題，實現(xiàn)數(shù)學模型向生活問題的拓展應用。

不難看出，探究問題的過程即建構模型的過程。學生在探究解決“旅游人數(shù)”、“停車輛數(shù)”等問題中，親身經(jīng)歷觀察問題情境、發(fā)現(xiàn)提出問題，探究解決問題、構建乘加模型；運用乘加模型、解決實際問題的建模過程。

3.在問題解決教學中構建模型

所謂問題解決教學是指教學過程中以數(shù)學問題情境為載體，以解決問題為框架，以數(shù)學知識的學習為媒介，通過創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生主動發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，運用已有的知識、方法和經(jīng)驗解決問題，學生在研究、探索、解決問題的過程中學習知識、獲取方法、體驗成功。

問題解決教學大致經(jīng)歷以下操作程序：創(chuàng)設問題情景，發(fā)現(xiàn)提出問題，構建文本模型；借助解題策略，分析數(shù)量關系，構建數(shù)學模型；運用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。下面以“連乘問題”為例加以說明。

第一，創(chuàng)設現(xiàn)實情境，發(fā)現(xiàn)提出問題，構建文本模型。從學生熟悉的校園生活入手，創(chuàng)設排列方陣的情景：觀察情境圖，尋找數(shù)學信息；根據(jù)數(shù)學信息，發(fā)現(xiàn)提出問題，構建文本模型（同學們做操，每個方陣8行，每行10人，3個這樣的方陣共有多少人？）；完成數(shù)學建模第一步，即問題情境向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化。

第二，借助解題策略，分析數(shù)量關系，構建數(shù)學模型。解決“3個方陣共有多少人”這一問題：自主選擇擺圖片、畫圖形、列算式等策略表征問題，理清數(shù)量關系；交流解題方法和表征策略，明確解題思路（可以從橫向、縱向和豎向三個角度分析問題）；分析三種算法的異同，提煉數(shù)學本質(zhì)，構建連乘模型；完成數(shù)學建模的關鍵一步，即數(shù)學問題向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化。

第三，應用數(shù)學模型，解決實際問題，體驗數(shù)學價值。運用連乘模型解決現(xiàn)實生活中“礦泉水瓶數(shù)”、“雞蛋個數(shù)”等連乘問題，實現(xiàn)數(shù)學模型向生活問題的拓展應用。

由此可知，問題解決的過程即數(shù)學建模的過程。在解決“方陣人數(shù)”等系列問題中，學生親身經(jīng)歷問題情景—建立模型—解釋、應用和拓展的過程，親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，經(jīng)歷運用解題策略、自主表征問題、分析數(shù)量關系、列式計算求解的過程，經(jīng)歷來源于生活、提升為數(shù)學、應用于實際的過程。

4.運用數(shù)學模型思想，經(jīng)歷數(shù)學建模過程

2011版《數(shù)學課程標準》中指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程等表示數(shù)學問題的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。例如，學習“除法的初步認識”時，設計如下：

第一，創(chuàng)設生活情景，發(fā)現(xiàn)提出問題——生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。媒體播放《動物宴會》的動畫情景，在動畫情景吸引下，學生展開了一系列的探索活動：觀看動畫，找數(shù)學信息，根據(jù)信息，提數(shù)學問題，教師定向，明確目標：幫小動物們解決分食物的問題。

第二，借助操作策略，自主表征問題——解決策略理解數(shù)學問題。學生在問題情景的吸引下，利用學具操作，自主探索解決問題的方法和策略：分竹筍，感悟“平均分”的含義；分蘿卜，探索“平均分”的方法；分松果、桃子等，經(jīng)歷“平均分”的過程，體會“平均分”的意義。

第三，歸納具體分法，列式解決問題——數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。結合平均分食物的過程，引導學生分別用除法算式表示出來，從而建立平均分和除法的聯(lián)系，初步認識除法。在此基礎上，介紹除法算式的讀法、寫法和各部分的名稱。

第四，運用已學知識，解決實際問題——數(shù)學模型應用于生活問題。媒體播放同學們在郊外會餐的情景畫面，大致如下：一個3人小組正準備分3罐可樂、6個面包、12個桔子；一個4人小組正準備分4瓶礦泉水、12個火腿腸、20個小西紅柿……引導學生用新學除法知識解決生活中簡單實際問題。

這樣，學生親自經(jīng)歷了從實際問題抽象出數(shù)學問題，借助解題策略、自主表征問題，分析數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，應用模型解決實際問題的建模過程，從中體會到“平均分”的意義，感悟到生活中平分現(xiàn)象和除法的內(nèi)在聯(lián)系，積累了將現(xiàn)實問題數(shù)學化的經(jīng)驗，領略到數(shù)學模型的思想和方法，增強了數(shù)學應用意識和問題解決能力。

四、效果與反思

1.根植教學實踐，研究成果大面積推廣應用和廣泛交流

小學數(shù)學應用問題模型構建的實踐研究，立足于解決問題，扎根在課堂教學，關注的是學生學習方式的改革和實踐能力的提高。因此，研究受到了一線教師的青睞，得到了省市教育部門的重視和支持，成果在省內(nèi)外大面積推廣應用和交流。一是通過國培計劃——工作坊高端研修項目和全國建模研討會等，在全國推廣和交流；二是自2011年連續(xù)3年為山東省中小學新課程遠程研修研發(fā)資源，并通過網(wǎng)絡視頻對山東、四川、云南等省教師大面積培訓；三是立足本市，積極開展建模研討、多校聯(lián)誼、送課下鄉(xiāng)等活動，對促進我市基礎教育課程改革和城鄉(xiāng)義務教育均衡發(fā)展均產(chǎn)生積極而深遠的影響。

2.研發(fā)建模教程，創(chuàng)立建模模式，豐富和完善了建模理論

通過多年的實踐研究，我們對數(shù)與代數(shù)領域中“解決問題”的內(nèi)容體系進行梳理，構建了應用問題八橫四縱建模體系，研發(fā)了40個建模教程。針對應用問題模型構建的建模流程、建模策略等進行系統(tǒng)研究和探討，創(chuàng)立了應用問題五環(huán)節(jié)建模模式，生發(fā)11種個性化子模式，研發(fā)出16個建模策略，系統(tǒng)規(guī)劃了數(shù)學建模方法，豐富和完善了應用問題建模理論，對于幫助教師有效引導學生構建數(shù)學模型具有重要意義。

3.立足教學實際，學生的建模意識和解決問題能力明顯增強

研究中，情境素材的精心創(chuàng)設、活動方式的巧妙設計、建模策略的專項指導，不僅大大激發(fā)了學生的學習興趣，建模意識和解決問題能力也明顯增強。通常，我們利用前測和后測等形式從研讀問題情境、發(fā)現(xiàn)提出問題，運用建模策略、抽出數(shù)量關系，運用數(shù)學模型、解決實際問題三方面進行測評（見表1、表2）。

表1數(shù)據(jù)表明：學生能夠選擇自己喜歡的方法自主整理信息，且100%的學生有辦法解決問題，說明學生對已有解題方法、策略運用自如。其中，借助直觀策略（操作和畫圖）分析較復雜問題的約占64%。

表2數(shù)據(jù)表明：實驗班和對照班比較，前測平均分差異不顯著（Z=-0.29，P>0.05），而后測平均分差異極其顯著（Z=4.54，P<0.01），說明該實驗在提高小學生發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題能力方面效果比較明顯。

4.教師的科研能力顯著提高，教科研成果豐碩

我們將課題研究和校本教研融合，每位教師均經(jīng)歷研究的全過程，教科研能力大幅度提高，研究型團隊已現(xiàn)雛形。近三年，主持和參研9項省市級課題，參研率95%以上；8人次獲得全國、省、市優(yōu)質(zhì)課大賽一等獎；主編、參編100多本課標教材、教輔，在全國推廣使用；《構建數(shù)學模型，凸顯應用意識》等30余篇論文在《基礎教育參考》等省級以上期刊發(fā)表；《小學數(shù)學“主題式”教學的實驗研究》等2項成果獲省教育科研成果一等獎（政府獎）；研發(fā)了《如何構建應用問題的數(shù)學模型》等8項資源，2項獲省課程資源一等獎；《小學數(shù)學“應用問題·模型構建”的實踐與研究》被評為東營市2013年度教育創(chuàng)新優(yōu)秀項目，獲山東省基礎教育教學成果一等獎；涌現(xiàn)出國家級骨干教師3人，省特級教師1人，齊魯名師1人，省市級教學能手8人；1人被教育部聘為國培計劃“工作坊”高端研修專家，3人被省教育廳聘為山東省中小學新課程遠程研修課程專家。

總之，本研究尚處初步探討和實驗階段，仍有許多不足之處。今后還需在以下幾方面深入研究：一是關注數(shù)學建模的分層教學。由于學生個體差異較大，探索適合每個學生發(fā)展的建模模式，將伴隨每位教師的終身專業(yè)發(fā)展；二是加強小課題研究。在前期研究的基礎上，做到研究主題系列化，針對有效構建數(shù)學模型的某一個成功點或困惑進行研究，并形成小論文；三是注重建模能力的評價研究。建立健全學生建模過程檔案，記錄并研究不同層次學生發(fā)展的全過程，探索一種科學有效、測評學生建模能力的考評方案。

（責任編輯 劉 穎）