翟金成

（鄭州幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校，河南 鄭州 450000）

不等式是高等數(shù)學(xué)研究中的重要工具，證明不等式也是高等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型。針對(duì)不等式證明的方法較多，而對(duì)不等式證明方法的系統(tǒng)研究較少。本文將對(duì)不等式證明的具體方法進(jìn)行闡述，并就幾種常見(jiàn)的證明方法進(jìn)行探討，以擴(kuò)展學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

1 利用微分學(xué)方法來(lái)解題

在微分學(xué)方法的探討與應(yīng)用中，常用的方法有函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極限、函數(shù)的凹凸性，以及微分中值定理等，現(xiàn)就其應(yīng)用及約束條件進(jìn)行闡述。

1.1 利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解題

函數(shù)的單調(diào)性是最常見(jiàn)的證明不等式的方法之一，其方法主要有：在證明不等式 f（x）＞g（x）時(shí)，通常需要對(duì)之進(jìn)行變形操作，使之轉(zhuǎn)變?yōu)?f（x）-g（x）＞0 或，或者引入構(gòu)造函數(shù) F，由此得出F（x）在區(qū)間上的單調(diào)性。例如：當(dāng) x＞0 時(shí)，求證。對(duì)于該題在證明過(guò)程中，首先設(shè)定，當(dāng) F（0）=0 時(shí)，得出 F’（x），再由 F’（x）來(lái)判定在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式F（x）成立。在對(duì)本例題進(jìn)行歸納時(shí)，需要從兩個(gè)方面來(lái)考慮，一是將不等式進(jìn)行作差轉(zhuǎn)化；二是當(dāng)作差不成立時(shí)可以做商處理，并利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)推導(dǎo)出不等式成立。

1.2 利用函數(shù)的極限法來(lái)求證

當(dāng)構(gòu)造函數(shù)在給定區(qū)間不單調(diào)，或是遇到 f（x）≥a或 f（x）≤b（a，b為常數(shù)）類(lèi)型的不等式時(shí)，可以利用極限法來(lái)求解。例如：當(dāng) p＞1，試求證對(duì)于任意 x∈[0，1]都有不等式（1-x）p≤1 成立。 從上題可知，對(duì)于函數(shù) f（x）=xp+（1-x）p，可以從導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中得出在區(qū)間[0，1]中的最大值為1，最小值為從而得出不等式成立。

1.3 利用函數(shù)的凹凸性來(lái)求證

凹凸性是函數(shù)性質(zhì)之一，涉及同一函數(shù)在不同點(diǎn)處的函數(shù)值時(shí)，往往利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明。例如：對(duì)于某三角形ΔABC的 三 個(gè) 內(nèi) 角 A、B、C來(lái) 說(shuō) ，試 求 證 sinA+sinB+sinC≤在求證該不等式成立時(shí)，需要先構(gòu)造凹函數(shù)f（x）=-sinx。 當(dāng) f（x）=-sinx，0＜x＜π，則有 f″（x）=sinx＞0。 根據(jù)函數(shù)的凹凸性，很容易得出不等式成立。

1.4 利用拉格朗日中值定理來(lái)求證

對(duì)含有增量的不等式進(jìn)行求證時(shí)，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形。當(dāng)函數(shù) f（x）在[a，b]區(qū)間可以生成增量 f（b）-f（a）或者時(shí)，則滿足拉格朗日中值定理。例如：求證當(dāng)x＞0時(shí)，不等式＜ln（1+x）＜x 成立。 在證明過(guò)程中，首先借助構(gòu)造函數(shù)得出 f（t）=lnt，當(dāng) f（t）滿足[1，1+x]（x＞0）時(shí)，利用拉格朗日中值定理得出不等式成立。

2 利用積分學(xué)方法來(lái)解題

積分學(xué)方法主要有定積分和重積分兩種。當(dāng)證明與自然數(shù)n相關(guān)的不等式時(shí)，多采用定積分方法來(lái)求證。例如：當(dāng)存在某一正常數(shù)A＜1時(shí)，對(duì)于任意的n＞0，都有不等式成立。在求證中，我們利用定積分方法，可以得出A=，從而得出不等式成立。

在利用定積分求證不等式過(guò)程中，還可以利用定積分中值定理來(lái)消去不等式的積分號(hào)，從其他項(xiàng)的大小比較中來(lái)求證。例如：當(dāng)函數(shù) f（x）是連續(xù)且單調(diào)遞減時(shí)，求證當(dāng) 0＜λ＜1時(shí)，存在首先對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)，轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

當(dāng)不等式包含兩個(gè)定積分之積時(shí)，可以利用重積分來(lái)進(jìn)行證明。例如：證明不等式在證明過(guò)程中，可以利用則假設(shè) D1：0≤即可以得出成立。

3 利用其他方法來(lái)解題

對(duì)于不等式的求證方法，比較常見(jiàn)的還有泰勒公式法，此方法適用于有函數(shù)的一階、二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上、下界可知的命題。例如且滿足 f″（x）≥0，試求證f（x）≥x。對(duì)于該題在求證時(shí)，從已知中可以得出，則有 f（x）=f（0）+f′（0）x+代入得到其中 ξ∈（0，x）。 由題設(shè) f″（x）≥0，可知，f（x）≥x。

另外，在不等式的證明過(guò)程中，還可以利用概率論方法來(lái)求解。如當(dāng)取值范圍在0和1之間時(shí)，可以將不等式轉(zhuǎn)化為若干獨(dú)立的事件概率，以便于求證。例如：當(dāng) 0＜a＜1，0＜b＜1 時(shí)，試求證0≤a+b-ab≤1。對(duì)于題設(shè)中的a，b來(lái)說(shuō)，可以看作是兩個(gè)獨(dú)立的事件，當(dāng) P（A）=a，P（B）=b 時(shí)，很容易得出 0≤a+b-ab≤1。

4 結(jié)語(yǔ)

不等式證明的方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較多，在實(shí)際解題中應(yīng)該根據(jù)具體情況來(lái)具體分析。掌握必要的不等式解題方法和技巧，可以更好地在高等數(shù)學(xué)的理論運(yùn)用中擴(kuò)散思維，把握問(wèn)題的本質(zhì)，有助于不等式的求證。

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[3]馬伊麗.不等式的幾種證明方法[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（08）.