鄧小華

（四川廣播電視大學(xué)，四川成都610073）

Menelauss定理在解析幾何中的應(yīng)用

鄧小華

（四川廣播電視大學(xué)，四川成都610073）

Menelauss定理往往應(yīng)用在平面幾何和立體幾何中，在解析幾何中的應(yīng)用卻很少見。作者介紹了Menelauss定理，并將其應(yīng)用到解析幾何中，使解析幾何問題得到大大簡化，體現(xiàn)了該定理應(yīng)用的針對性與廣泛性。

解析幾何；Menelauss定理;圓錐曲線.

早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家梅涅勞斯（Menelauss）解決了初等幾何和近世幾何中一個(gè)非常重要的問題——共線點(diǎn)問題。他提出了一個(gè)應(yīng)用非常廣泛的古典定理——Menelauss定理。但隨著希臘奴隸社會的崩潰,歐洲封建宗教的殘酷統(tǒng)治使梅涅勞斯定理被世人遺忘了一千多年，直到十七世紀(jì)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，才被意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師塞瓦重新發(fā)現(xiàn)而流傳于世。該定理不僅敘述簡單，而且形式優(yōu)美，曾吸引了不少人的興趣。

近年來，對Menelauss定理及其變形的證明和應(yīng)用在競賽數(shù)學(xué)中研究非常廣泛。趙衛(wèi)東研究了Menelauss定理的推廣及其應(yīng)用[1]，他將Menelauss定理推廣到三角形內(nèi)線段之比，并舉例應(yīng)用于解有關(guān)三角形內(nèi)線段之比的中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題；湖北省武穴師范的洪凰翔、楊利民分析了四面體中的Menelaus定理；臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系的焦圣華研究了Menelauss定理在平面幾何中的應(yīng)用，他舉例說明了用Menelauss定理來解決平面幾何中的有關(guān)問題，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的三點(diǎn)共線、兩角相等、直線平行等題目，能使解答簡化。

人們對于Menelauss定理的應(yīng)用往往都在平面幾何和立體幾何方面，在解析幾何中的應(yīng)用卻很少。其實(shí)，Menelauss定理也可以應(yīng)用于解析幾何中，運(yùn)用恰當(dāng)，在解決問題時(shí)可達(dá)到事半功倍的效果。

1 準(zhǔn)備知識

1.1 Menelauss定理

1.2 Menelauss定理的逆定理

2 Menelauss定理在解析幾何中的應(yīng)用

首先，用Menelauss定理證明解析幾何中圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)[2]：

定理：P為橢圓外一點(diǎn)，過P任意作兩條直線，分別與橢圓相交于A、B和C、D，直線AD、BC和AC、BD分別相交于T、S兩點(diǎn)，橢圓的弦AB、CD（及其延長線）與TS分別相交于G、H兩點(diǎn)。過P點(diǎn)作直線TS的平行線PMN與直線AD、BC相交于M、N兩點(diǎn)，與直線AC、BD相交于M′、N′兩點(diǎn)。則：P點(diǎn)與G點(diǎn)、P點(diǎn)與H點(diǎn)分別調(diào)和分割橢圓的弦AB、CD，且PM=PN，PM′=PN′。

下面，用Menelauss定理證明此結(jié)論。

圖1

以上結(jié)論是P點(diǎn)在橢圓外的情形，同理可以證明P點(diǎn)在橢圓內(nèi)也有同樣的結(jié)論。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論可以推廣到雙曲線和拋物線，用Menelauss定理證明，過程類似。

下面我們研究兩個(gè)具體的問題：

（1）求橢圓C的方程；

（2）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M.

1)求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

圖2

下面我們著重分析第二問：這也是一道十分具有幾何特色的圓錐曲線問題，背景是橢圓的幾何性質(zhì)。題目中直線l是橢圓的準(zhǔn)線，要證明點(diǎn)M恒在橢圓 C上，只要證明其符合橢圓定義即可。三角形ABM中的三邊及其延長線交x軸于點(diǎn)K、F、N，由Menelauss定理

故點(diǎn)M恒在橢圓C上。

運(yùn)用Menelauss定理解決點(diǎn)恒在曲線上的問題，避開了大量的計(jì)算，給解題帶來了極大方便。下面再通過一個(gè)例子說明定理的妙用。

圖3

上述方法是解答本題的常規(guī)方法，但計(jì)算量大，容易出錯(cuò)。一般地，容易想到的方法，解答的過程和計(jì)算量都會很大，而巧解的方法卻能大大地減少計(jì)算量，節(jié)約做題的時(shí)間。下面用Menelauss定理解答本題。

又B1、B2關(guān)于x軸對稱，則

又|HB1|=|HB2|，那么

設(shè)B(x1,y1)、B2(x2,y2)到左準(zhǔn)線的距離分別為d1= a+ex1、d2=a+ex2，過H作直線l垂直于x軸，垂足H，B、B2到直線l的距離分別為d3、d4，則d1+d2=d3+d4=| x1-x2|,

即雙曲線的左準(zhǔn)線與直線l重合。于是，點(diǎn)H為左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)。故點(diǎn)H的橫坐標(biāo)

從上面的解法不難看出，應(yīng)用Menelauss定理解答本題可以避開大量的運(yùn)算，很容易操作。

3 小結(jié)

總之，Menelauss定理不僅在解決有關(guān)“點(diǎn)的共線性”時(shí)是一個(gè)有力的工具，在研究解析幾何中的問題時(shí)，它也會給我們帶來許多方便。由于定理本身的種種優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用它并不困難，所以介紹給中學(xué)生能給中學(xué)生解題帶來很大的方便。

[1]洪凰翔,楊利民.四面體中的Menelaus定理[J].中學(xué)數(shù)學(xué), 1999,(10):21.

[2]姜坤崇.圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2005,(10):11.

[3]趙衛(wèi)東.梅涅勞(Menelaus)定理的推廣及其應(yīng)用[J].咸寧師專學(xué)報(bào),2001,(10):58.

[4]焦圣華.梅涅勞斯定理在平面幾何中的應(yīng)用[J].科技資訊科技資訊,2008,(20):40.

[5]仉晉平.梅涅勞斯定理的等價(jià)三角形式及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考,1996,(11):23.

[6]朱家海.梅涅勞斯定理的變形在解競賽題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1996,(6):35.

Application of Menelauss Theorem in Analytic Geometry

DENG Xiao-hua

(Sichuan Radio and TV University,Chengdu 610073,China)

The Menelauss theorem often occurs in the plane geometry and solid geometry,but it may be seldom applied in analytic geometry.In the paper,the Menelauss theorem was introduced and applied in analytic geometry,which simplify the way to solve the relevant questions in analytic geometry.It is indicated that the Menelauss theorem can be applied specifically and widely.

analytic geometry;Menelauss theorem;conic curve

G633.6

C

1009-3583（2014）01-0084-03

2013-11-13

鄧小華，女，四川遂寧人，四川廣播電視大學(xué)教師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

朱 彬）