黎才鑫等

摘 要：慣導系統(tǒng)輸出航向數(shù)據(jù)具有混沌特性，應用混沌理論對其進行分析，采用C?C方法重構(gòu)相空間，在此基礎上分別通過定性與定量方式分析其混沌特性并計算最大Lyapunov指數(shù)。以相空間重構(gòu)后的時間序列為變量輸入，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測航向數(shù)據(jù)，結(jié)果表明其預測精度優(yōu)于未經(jīng)相空間重構(gòu)的直接預測法。

關鍵詞： 航向數(shù)據(jù)； 混沌特性分析； 相空間重構(gòu)； RBF神經(jīng)網(wǎng)絡； Lyapunov指數(shù)

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）19?0128?04

Analysis and prediction for chaotic characteristics of course data

LI Cai?xin1， LI Tian?wei1， GUO Jiao2， MENG Fan?jun1

（1. Department of Navigation， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China； 2. Department of Basic， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China）

Abstract： Since the course data from INS features chaotic property， the chaos theory is applied to its analysis and C?C method is used for reconstructing the phase space of course data. Based on this， not only different methods are adopted to conduct qualitative and quantitative analyses of chaos characteristics， but also its maximum Lyapunov exponent is calculated. Taking the time sequence after phase space reconstruction as variable input， RBF neural network is used to predict course data， the test result shows that its prediction accuracy is superior to that of the traditional RBF neural network without the phase space reconstructing.

Keyword： course data； chaotic characteristic analysis； phase space reconstruction； RBF neural network； Lyapunov exponent

慣性導航系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)的準確性與艦船安全航行息息相關，其數(shù)據(jù)精度取決于陀螺儀自身的漂移誤差、結(jié)構(gòu)形變以及濕度、溫度等參量[1]，并且與之存在著顯著的非線性關系。通過分析數(shù)據(jù)，判斷系統(tǒng)運動特性，短時預測系統(tǒng)行為，進而為修正系統(tǒng)誤差提供基礎。目前以參數(shù)辨識為主的分析方法需要通過理想化部分參量的數(shù)值進而簡化原系統(tǒng)建模，顯然降低了模型對原系統(tǒng)的擬合度?；煦缣匦苑治隼碚摓榻鉀Q這類非線性問題提出了一種新方法。慣導航向輸出數(shù)據(jù)可以看作是一個多種相關量綜合作用下的非線性混沌時間序列，輸出數(shù)據(jù)通常會表現(xiàn)出極其復雜而難以長期精確預測的演化特征，利用混沌理論中的相空間重構(gòu)方法，可將輸出數(shù)據(jù)時間序列擴展到高維相空間，體現(xiàn)時間序列信息后再進行短時預測 [2?6]。

1 航向數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)

1.1 實測航向數(shù)據(jù)

本文采用慣導系統(tǒng)在航向074°的導航狀態(tài)上保持5 h，去除暫態(tài)數(shù)據(jù)后，由監(jiān)控計算機實時采集的實測航向數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的時間序列采樣間隔為5 s，采樣時間約為2.7 h。所得數(shù)據(jù)如圖1所示。

1.2 相空間重構(gòu)

復雜非線性系統(tǒng)的變量通常具有低可測行、初值敏感性、非平穩(wěn)、非線性等特征，一般只能觀測到其中某一分量的離散樣本序列，例如文中航向數(shù)據(jù)時間序列，分析這類數(shù)學模型未知的非線性動力系統(tǒng)混沌特性時，為了從時間序列中得到必要的信息，首先需要進行合理的相空間重構(gòu)。時間序列本身蘊含了組成動力系統(tǒng)全部變量的相關信息，所以根據(jù)一個變量的時間序列可以重構(gòu)系統(tǒng)的相空間，通過分析變量的分量數(shù)據(jù)，將其在固定時間延遲點的觀測量作為新坐標，可張成一個多維狀態(tài)空間，稱為重構(gòu)的相空間，即1981年Takens提出的延遲坐標法[7]。其中相空間的維數(shù)稱為嵌入維數(shù)，用[m]表示，固定的時間延遲稱為嵌入延遲，用[τ]表示，則相空間的重構(gòu)矢量[Xi]即為：

[Xi=xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+（m-1）τ， i=1，2，…，N-（m-1）τ] （1）

重構(gòu)后的相空間即為：[X=X1X2…XMT， M=N-（m-1）τ] （2）

重構(gòu)后的相空間[Xi]為一個[M×m]的矩陣，根據(jù)Takens定理，可以在拓撲等價的意義下恢復吸引子的動力學特征，從而識別原動力學系統(tǒng)的基本特性。

1.3 C?C方法

相空間重構(gòu)有多種方法，1999年Kim H.S.等人提出了基于統(tǒng)計學理論的 C?C方法[8]，該方法易于操作，計算量小，在實際使用中有較好的效果，本文采用該方法進行相空間重構(gòu)。對于重構(gòu)后的相空間[X]（如式2），其關聯(lián)積分定義為：

[C（m，N，r，t）=2M（M-1）1≤i≤j≤MMθ（r-Xi-Xj）， M=N-（m-1）t] （3）

式中：[t]為序列拆分數(shù)；[N]為時間序列長度；[r]為半徑。用一個線性區(qū)域的斜率近似表示關聯(lián)維，當[N=tl]時，[l=Nt]是子序列長度，將長度為[N]的時間序列分為[t]個不相交的子序列，令[N→∞，]每個子序列[S（m，N，r，t）]可化為[S（m，r，t）：]

[S（m，r，t）=1tS=1tCs（m，r，t）-CmS（1，r，t）， m=2，3，…] （4）

式中：[Cs（m，r，t）]表示計算以嵌入維數(shù)[m]重構(gòu)拆分后的子序列的關聯(lián)積分，子序列時間延遲為1；[CmS（1，r，t）]表示計算拆分后子序列關聯(lián)積分的[m]次方，[S]表示拆分后的子序列。選取最大和最小兩個半徑[r，]計算差量為：

[ΔS（m，t）=maxS（m，rj，t）-minS（m，rj，t）] （5）

應用統(tǒng)計學BDS理論[9]可以得到[N，][m]和[r]的值，Brock等人所做的關于幾種重要漸進分布的數(shù)學統(tǒng)計結(jié)果表明，當[2≤m≤5， σ2≤r≤2σ， N≥500]時，漸進分布可以通過有限序列得到很好的近似，并且[S（m，N，r，1）]能有效的代表序列的相關性，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)論，取[m=2，3，4，5， ][rj=iσ2，][ i=1，2，3，4， ][σ]為時間序列標準差[10]，計算：

[S（t）=116m=25j=14S（m，r，t）] （6）

[ΔS（t）=14m=25ΔS（m，t）] （7）

[Scor（t）=ΔS（t）+S（t）] （8）

航向數(shù)據(jù)時間序列的[ΔS（t），][Scor（t）]變化曲線如圖2所示。計算可得到航向數(shù)據(jù)時間序列的時間延遲[τ]=16，嵌入維數(shù)[m=6。]

2 航向數(shù)據(jù)混沌特性分析

由于測量原理及工具的限制，使得時間序列不可避免地帶有噪聲。因此如何將服從一定規(guī)律的信號（如混沌信號）與無規(guī)律的噪聲相區(qū)分是分析時間序列特性的關鍵。分析混沌時間序列的方法主要有主分量分析方法、功率譜分析方法、最大Lyapunov指數(shù)法、龐加萊截面法、飽和關聯(lián)維數(shù)法等，由于這些方法都是從某一方面對序列進行判別，是判斷序列是否混沌的必要條件，因此需要采取多種方法結(jié)合的方式，以確保判別的準確性。本文采用功率譜分析方法、主分量分析方法和最大Lyapunov指數(shù)方法分別分析航向數(shù)據(jù)時間序列的特性。

2.1 功率譜分析

在一些物理現(xiàn)象中，頻率[f]與相應的功率[E（f）]之間具有指數(shù)關系，功率譜的冪函數(shù)形式表明，雖然頻率[f]在空間中跨越很寬的尺度，但其結(jié)構(gòu)卻有自相似的特征[10]，因此，看上去不規(guī)則的時間序列圖像，其功率譜卻可能呈現(xiàn)出規(guī)則性。一般地，功率譜具有單峰（或多個峰）的譜圖對應于周期序列（或擬周期序列）；無明顯的峰值或峰連成一片，則對應于湍流或混沌序列。所以，可用功率譜分析作為判斷序列混沌的一種方法[11?12]。

圖3是航向數(shù)據(jù)時間序列功率譜分析圖，從圖中可以看出，航向數(shù)據(jù)時間序列的功率譜圖無明顯峰值，表明該時間序列具有混沌特性。

2.2 主分量分析

主分量分析（PCA分布）方法是近年來提出的一種能有效識別與分析混沌和噪聲的方法[13]，由于混沌信號和噪聲的主分量分布之間存在著顯著差異，混沌信號的主分量譜圖是一條近似直線（或含有類似直線的部分），其斜率為負值且過定點，而噪聲信號的主分量譜圖是一條與[x]軸接近平行的直線，所以可用于判斷所采集的航向數(shù)據(jù)時間序列是否為混沌時間序列。

對所采集的航向數(shù)據(jù)繪制時間序列的主分量譜圖，如圖4所示，從圖中可以看出，對所得到的嵌入維數(shù)[m]（m=6）進行相空間重構(gòu)后，繪制的主分量譜圖存在斜率為負值的直線部分，這個結(jié)果可以作為一個必要條件證明航向數(shù)據(jù)時間序列具有混沌特性的。

2.3 最大Lyapunov指數(shù)

以上兩種方法是通過定性分析判斷混沌特性的，而最大Lyapunov指數(shù)方法則通過定量分析判斷混沌特性?；煦邕\動具有初值敏感性的特點，因此即使兩個初值較為靠近，隨著時間的推移，其產(chǎn)生的軌道仍會按指數(shù)方式分離，這一現(xiàn)象可采用Lyapunov指數(shù)定量描述[14]。若最大Lyapunov小于零，意味著初始相鄰點經(jīng)迭代后最終要靠攏合并成一點，對應于穩(wěn)定的不動點或周期運動；若最大Lyapunov大于零，意味著相鄰點最終要分離，對應于軌道的局部不穩(wěn)定，或在整體穩(wěn)定因素作用下反復折疊形成混沌吸引子。因此，最大Lyapunov指數(shù)可作為判斷時間序列混沌特性的一個條件。

本文采用小數(shù)據(jù)量算法[15]計算航向數(shù)據(jù)時間序列的最大Lyapunov指數(shù)（用[λ1]表示），通過小數(shù)據(jù)量算法計算經(jīng)過C?C方法重構(gòu)相空間的航向數(shù)據(jù)時間序列，得到[λ1=0.001 278 2，][λ1]>0，即最大Lyapunov指數(shù)大于零，說明所采集的航向數(shù)據(jù)時間序列具有混沌特性。

對于一個混沌系統(tǒng)，通常將最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)作為該系統(tǒng)確定性預測時間的上界，即：

[T=1λ1] （9）

當預測時間在該時間尺度內(nèi)時，預測誤差會隨著預測步長平穩(wěn)增大；當超過該界限時，誤差會倍增，使預測結(jié)果失去意義。利用上文計算結(jié)果，可得預測時間尺度為[T=782。]

3 航向數(shù)據(jù)時間序列預測

由于混沌系統(tǒng)的運動狀態(tài)會受到初值的影響，難以對其進行長期預測，但是在短時間內(nèi)系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定，且混沌時間序列內(nèi)部有一定的規(guī)律性，因此可利用神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性擬合能力、自組織、自學習特點，對混沌系統(tǒng)進行短時預測，本文采用具有較好的收斂速度、擬合能力以及更高預測精度的徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡預測航向數(shù)據(jù)時間序列[16]，將相空間重構(gòu)后的矢量作為輸入數(shù)據(jù)，神經(jīng)元數(shù)目與嵌入維數(shù)[m]相等。采用圖1中1 700點樣本序列進行分析，前1 500點用于訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，后200點用于校驗神經(jīng)網(wǎng)絡精度。使用前面的計算結(jié)果，取時間延遲[τ]=16，嵌入維數(shù)[m=6。]將基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測航向和實測航向?qū)Ρ龋ㄟ^均方根誤差（Root Mean Square Error of Prediction，RMSE）衡量預測效果。

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經(jīng)計算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.052 1?？梢?，經(jīng)過相空間重構(gòu)后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時間序列用于訓練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡并進行數(shù)據(jù)預測，與傳統(tǒng)的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

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[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經(jīng)計算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.052 1?？梢?，經(jīng)過相空間重構(gòu)后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時間序列用于訓練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡并進行數(shù)據(jù)預測，與傳統(tǒng)的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

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式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經(jīng)計算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測數(shù)據(jù)的RMSE標準差為0.052 1。可見，經(jīng)過相空間重構(gòu)后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時間序列用于訓練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡并進行數(shù)據(jù)預測，與傳統(tǒng)的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

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