鄧亮章

(福建信息職業(yè)技術學院基礎教學部，福建福州350003)

1 引言

簡單地進行矩陣的特征值的求解是一件非常容易的問題，然而，將矩陣的特征值應用到其它的領域之中就變得不再是那么容易了。矩陣的特征值在眾多的領域中都存在著非常廣泛的應用，能夠解決眾多的實際問題。因此，矩陣的特征值的應用具有非常重要的意義。文章將首先簡單地概述矩陣的特征值的相關概念;然后，在此基礎上，深入地探索矩陣特征值在數(shù)學建模問題方面的應用，通過具體的例子來詳細地闡述矩陣特征值的應用。

2 矩陣的特征值的相關概念

定義1 假設Ψ是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，倘若對于數(shù)域P中的一個數(shù)λ0，存在一個非零向量ξ，使得

那么，λ0稱為Ψ的一個特征值，而ξ稱為Ψ的屬于特征值λ0的一個特征向量。

定義2 假設A是數(shù)域P上的一個n級矩陣，λ是一個數(shù)，矩陣λE-A的行列式

稱為矩陣A的特征多項式，其中矩陣A的特征多項式的根就是矩陣A的特征值。

3 矩陣的特征值的應用

在數(shù)學建模問題中，會涉及到非常復雜的高次計算，而矩陣的高次計算對于數(shù)學建模問題的解決會造成一定的困難，在這種情況下，就應該借助于矩陣的特征值及其特征值向量，來非?？茖W有效地進行解決，將看上去復雜的矩陣轉(zhuǎn)變成簡單的對角陣，保證運算變得更簡單。

Fibonacci數(shù)列是非常經(jīng)典的。在1202年，斐波那契在一本書中提出一個問題:如果一對兔子出生一個月后開始繁殖，每個月生出一對后代，現(xiàn)有一對新生兔子，假定兔子只繁殖，沒有死亡，問第K月月初會有多少兔子?

以”對”為單位，每月兔子組隊數(shù)構成一個數(shù)列，這便是著名的 Fibonacci數(shù)列{Fk}:0，1，2，3，5，…，函數(shù)數(shù)列能夠符合條件

請經(jīng)過計算得到通項Fk.

解:由Fibonacci數(shù)列能夠符合(3.1.1)式，假設

由(3.1.2)式進行遞歸能夠得到:

因此，計算Fk的問題就轉(zhuǎn)化成計算αk，也就是說，計算Ak的問題.由

得A的特征值

對應于λ1，λ2的特征向量各自是:

因此，可以得到:

因此，可以得到:

將(3.1.4)式代入(3.1.5)式，可以得到:

4 結(jié)語

綜上所述，矩陣的特征值問題是一類非常重要的高等數(shù)學問題，在眾多的領域中都取得了非常廣泛的應用，文章結(jié)合具體的實例深入地研究了矩陣特征值在數(shù)學建模問題以及一階線性常系數(shù)微分方程組方面的應用。通過研究能夠發(fā)現(xiàn)，其主要作用是將矩陣對角化，通過這種方式，進一步就能夠?qū)仃囘M行高次運算，在此基礎上，可以簡化計算的復雜度，與此同時，由于矩陣的特征值這一特性，也促使矩陣的特征值在工程設計、動力學等方面都取得了非常廣泛的應用.

［1］田應福.Schur余陣的一個不等式及其應用［J］.安順師專學報，1999，(2).

［2］李修清.關于矩陣展形的新估計及其應用［J］.四川師范學院學報(自然科學版)，1996，(4).

［3］李修清.矩陣秩的下界估計［J］.青海師范大學學報(自然科學版)，1993，(2).

［4］王其申.關于正矩陣的最大特征值的包含定理及其應用［J］.高等學校計算數(shù)學學報，2000，(2).