吳麗嬌，王全義

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

脈沖微分方程是微分方程中一個新的分支，它在物理、化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)機(jī)器人技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中都有很好的應(yīng)用.脈沖微分方程邊值問題的正解的存在性問題受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-10］.例如，文獻(xiàn)［5］運(yùn)用錐壓縮與不動點(diǎn)定理，研究以下一類具有脈沖的一階微分方程邊值問題

正解的存在性問題.其中：0＝t0＜t1＜…＜tp＜tp+1＝T，f∶［0，T］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個脈沖Caratheodory函數(shù)，Ik∶［0，+∞）→［0，+∞）是連續(xù)的.

文獻(xiàn)［10］運(yùn)用錐壓縮與不動點(diǎn)定理，研究具有脈沖的一階非線性微分方程邊值問題

的正解存在性問題.其中：0＝t0＜t1＜…＜tp＜tp+1＝ω；a∶［0，ω］×［0，+∞）→R連續(xù)；Ik∶［0，+∞）→［0，+∞）（k＝1，…，p）是連續(xù)的；f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）；ω＞0是常數(shù).所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］的相關(guān)結(jié)果.本文利用Avery-Henderson不動點(diǎn)定理以及一些分析技巧，得出了該脈沖非線性微分方程的邊值問題存在多個正解的一些充分條件的新結(jié)果.

1 預(yù)備知識及引理

定義1 設(shè)X是一個Banach空間，K是X中的一個非空子集，且滿足：1）對任意的x，y∈K和實數(shù)α，β≥0，有αx+βy∈K；2）若x，-x∈K，則x＝0.那么稱K為X中的一個錐.

定義2 設(shè)X是一個Banach空間，K是X中的一個錐.定義K上的偏序：如果對任意的x，y∈K，x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈K.

定義3 設(shè)X是一個Banach空間，K是X中的一個錐.如果映射φ∶K→［0，+∞）滿足對任意的x，y∈K，x≤y，就有φ（x）≤φ（y），則稱映射φ是錐K上的一個非負(fù)連續(xù)的增泛函.

假設(shè)φ是錐K上的一個非負(fù)連續(xù)的增泛函，K?X，?d＞0，記集合K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）＜d｝；?K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）＝d｝；K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）≤d｝.

引理1［11］（Avery-Henderson）設(shè)K是X中的一個錐.令γ，φ是K上的非負(fù)連續(xù)增泛函，θ是K上的非負(fù)連續(xù)泛函，其中θ（0）＝0.存在常數(shù)c＞0和M＞0，對?x∈K（γ，c），使得γ（x）≤θ（x）≤φ（x），‖x‖≤Mγ（x）.假設(shè)存在一個全連續(xù)算子T∶K（γ，c）→K，對常數(shù)0＜a＜b＜c，0＜λ＜1及x∈?K（θ，b）滿足θ（λx）≤λθ（x），且

1）γ（Tx）＞c，當(dāng)x∈?K（γ，c）時；

2）θ（Tx）＜b，當(dāng)x∈?K（θ，b）時；

3）φ（Tx）＞a及K（φ，a）≠φ，當(dāng)x∈?K（φ，a）時，則算子T在K上至少存在兩個不動點(diǎn)x1，x2∈K（γ，c）使得a＜φ（x1），θ（x1）＜b，b＜θ（x2），γ（x2）＜c.

引理2［11］（Avery-Henderson）設(shè)K是X中的一個錐.令γ，φ是K上的非負(fù)連續(xù)增泛函，θ是K上的非負(fù)連續(xù)泛函，其中θ（0）＝0.存在常數(shù)c＞0和M＞0，對?x∈K（γ，c），使得γ（x）≤θ（x）≤φ（x），‖x‖≤Mγ（x）.假設(shè)存在一個全連續(xù)算子T∶K（γ，c）→K，對常數(shù)0＜a＜b＜c，0＜λ＜1及x∈?K（θ，b）滿足θ（λx）≤λθ（x），且

1）γ（Tx）＜c，當(dāng)x∈?K（γ，c）時；

2）θ（Tx）＞b，當(dāng)x∈?K（θ，b）時；

3）φ（Tx）＜a及K（φ，a）≠φ，當(dāng)x∈?K（φ，a）時，則算子T在K上至少存在兩個不動點(diǎn)x1，x2∈K（γ，c）使得a＜φ（x1），θ（x1）＜b，b＜θ（x2），γ（x2）＜c.

下面令

定義4 函數(shù)f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個L1-Caratheodory函數(shù)，如果1）對于?u∈R，f（·，u）∈X；2）對于t∈［0，ω］，f（t，·）是連續(xù)的；3）對于每個q＞0，都存在hq∈L1［0，ω］，使得對于t∈［0，ω］，0≤u≤q，有｜f（t，u）｜≤hq（t）.

假設(shè)條件 H2）函數(shù)f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個L1-Caratheodory函數(shù)成立.

引理3［10］如果條件H2）成立，則對于任意的u∈X且u（t）≥0，θk∈R，下列脈沖微分方程的邊值問題

有一個解，即

其中

假設(shè)函數(shù)a1（t），a2（t）滿足條件 H1），現(xiàn)在定義函數(shù)

令

由a1（t），a2（t），a（t，x），G1（t，s），G2（t，s）的定義即得到如下引理4.

引理4 如果條件 H1），H2）成立，則對任意x∈X，（t，s）∈［0，ω］×［0，ω］，有

定義算子T∶K→X為

顯然有T∶K→X.

引理5 如果條件H1）成立，則算子T∶K→K.

由于文中的錐K是文獻(xiàn)［10］中的錐K的一個子集，且文中的算子T與文獻(xiàn)［10］中的算子T的表達(dá)式相同，故由文獻(xiàn)［10］中的引理6立即得到如下的引理.

引理6 如果條件H1），H2）成立，則算子T∶K→K是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果及證明

首先，取正數(shù)l1，l2滿足0＜l1＜t1＜l2＜t2＜ω，再取下列正數(shù)

并定義如下一些泛函，即

其中，x∈K.則顯然如下命題成立.

命題1 i）γ，θ，φ是關(guān)于x∈K的非負(fù)連續(xù)增泛函；

iii）對λ∈［0，1］，有θ（λx）≤θλ（x）.

證明 考慮由式（4）定義的算子T∶K→X.由引理5和引理6易知T∶K（γ，c）→K且T是全連續(xù)的.再考慮由式（5）～（7）定義的K上的3個非負(fù)連續(xù)增泛函γ（x），θ（x），φ（x）.

下面證明算子T滿足引理1中的所有條件.

由命題1的結(jié)論ii）可知：當(dāng)x∈?K（γ，c）時，可以得到

其中，x∈?K（γ，c）.即引理1的條件1被滿足.

①分娩方式：統(tǒng)計兩組產(chǎn)婦自然分娩率、難產(chǎn)率和剖宮產(chǎn)率。②產(chǎn)程進(jìn)展：比較兩組產(chǎn)婦第一產(chǎn)程、第二產(chǎn)程時間。③分娩結(jié)局：比較兩組產(chǎn)后出血、新生兒窒息、早產(chǎn)、新生兒死亡發(fā)生率。其中，產(chǎn)后出血指胎兒娩出后2 h產(chǎn)婦陰道出血量>500 mL；新生兒窒息指新生兒出生后1 min Apgar評分<7分。

其中，x∈?K（θ，b）.即引理1的條件2被滿足.

其中，?x∈?K（φ，a）.即引理1的條件3被滿足.

為了得到另一個新結(jié)果，取正數(shù)l1，l2滿足0＜l1＜t1＜l2＜t2＜ω，并定義如下一些新泛函（為簡單起見，仍然采用前面的符號）.即有

其中，x∈K.則顯然如下命題成立.

命題2 i）γ，θ，φ是關(guān)于?x∈K的非負(fù)連續(xù)增泛函；

iii）對λ∈［0，1］有θ（λx）≤λθ（x）.

那么脈沖邊值問題（1）至少存在兩個正解x1，x2∈K（γ，c），使得x1（l2）＞aη2，x1（l1）＜bη1，x2（l1）＞bη1，x2（l1）＜cη1（因篇幅限制，證略）.

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