喬金靜，高紅亞

（河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

接近凸雙調(diào)和多項(xiàng)式的構(gòu)造

喬金靜，高紅亞

（河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

主要介紹單位圓盤上一類保向接近凸的雙調(diào)和多項(xiàng)式.令上述雙調(diào)和多項(xiàng)式的次數(shù)趨于無窮，取極限，進(jìn)而得到一類接近凸的雙調(diào)和映射.

雙調(diào)和映射；接近凸；雙調(diào)和多項(xiàng)式

MSC2010：30C45

解析函數(shù)是復(fù)分析中的主要研究對(duì)象.作為解析函數(shù)的推廣，復(fù)平面上的調(diào)和映射也越來越得到人們的關(guān)注.而作為調(diào)和映射的推廣，雙調(diào)和映射來源于許多物理問題，特別是流體力學(xué)和彈性問題，它在工程學(xué)和生物學(xué)都有許多重要的應(yīng)用［13］，故它的研究具有明顯的應(yīng)用特色.本文主要研究單位圓盤上的雙調(diào)和映射.

單葉（解析）多項(xiàng)式在驗(yàn)證幾何函數(shù)論中的諸多猜測(cè)中發(fā)揮了作用，構(gòu)造此類多項(xiàng)式的方法是經(jīng)典的.而構(gòu)造調(diào)和多項(xiàng)式和雙調(diào)和多項(xiàng)式的相關(guān)文獻(xiàn)很少.多項(xiàng)式的單葉性與其零點(diǎn)的位置關(guān)系密切.文獻(xiàn)［4］考慮了調(diào)和多項(xiàng)式解析部分的導(dǎo)數(shù)Q在單位圓盤無零點(diǎn)的情形，給出了一類保向的調(diào)和多項(xiàng)式.如果進(jìn)一步規(guī)定該導(dǎo)數(shù)Q的零點(diǎn)都在單位圓周上，可得一類接近凸的調(diào)和多項(xiàng)式［5］.本文的主要目的是把上述結(jié)果推廣到雙調(diào)和映射的情形，構(gòu)造一類接近凸的雙調(diào)和多項(xiàng)式.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)f是定義在單位圓盤D＝｛z：｜z｜＜1｝上的復(fù)值調(diào)和函數(shù)，則f可表示為f＝h＋g，其中h，g在D上

解析.調(diào)和映射f局部單葉且保向的充分必要條件是JacobJf（z）是正的［67］，其中

單位圓盤D上的4次連續(xù)可微函數(shù)F是雙調(diào)和的當(dāng)且僅當(dāng)ΔF是調(diào)和的，即Δ（ΔF）＝0，且雙調(diào)和映射F具有表達(dá)式其中G和H是D上的復(fù)值調(diào)和映射.如果對(duì)于z∈D／｛0｝，F(xiàn)的Jacob

就稱雙調(diào)和映射F是保向的［89］.

在文獻(xiàn)［8，10］中，作者討論了形如式（1）的雙調(diào)和映射的性質(zhì)，如單葉性和星形性，這里H（z）≡0.從而引出了形如F＝｜z｜2G的單葉保向的雙調(diào)和映射類.本文討論形如F＝｜z｜2G的雙調(diào)和映射.

如果區(qū)域Ω的補(bǔ)集可以由閉的半直線覆蓋，這里閉的半直線對(duì)應(yīng)的開的半直線是不相交的，就稱區(qū)域Ω是接近凸的.如果單葉雙調(diào)和映射（或調(diào)和映射）映D到一個(gè)接近凸區(qū)域，就稱此雙調(diào)和映射（或調(diào)和映射）是接近凸的.

2 主要結(jié)果

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（責(zé)任編輯：王蘭英）

Construction of certain close-to-convex biharmonic polynomials

QIAO Jinjing，GAO Hongya
（College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

A family of sense-preserving biharmonic polynomials that are close-to-convex on the unit disk is introduced.By taking limits as the degree of the polynomials tends to infinity，a family of close-toconvex biharmonic mappings is also obtained.

biharmonic mapping；close-to-convexity；biharmonic polynomial

O174

A

1000 -1565（2014）05 -0467 04

10.3969／j.issn.1000 -1565.2014.05.004

2013 06 -20

河北省自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（A2013201104）

喬金靜（1980-），女，河北館陶人，河北大學(xué)講師，博士，主要從事函數(shù)論研究.E-mail：mathqiao＠126.com