張平

（承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，河北承德 067000）

開放體系中抗體- 抗原復(fù)合物生長的Monte Carlo模擬

張平

（承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，河北承德 067000）

為了研究更接近于真實的免疫反應(yīng)系統(tǒng)中抗體 抗原復(fù)合物的生長，提出了一個開放的抗體 抗原系統(tǒng)模型，在這一體系中抗體、抗原分子能以一定的方式產(chǎn)生并參與反應(yīng).通過Monte Carlo模擬方法分別考察了線性體系和支化體系的演化過程，所采用的算法包含了一個自洽的疊代方法計算等待時間，以此算法為基礎(chǔ)，研究了抗體和抗原分子不同輸入方式對復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，發(fā)現(xiàn)不同體系在演化過程中的相關(guān)統(tǒng)計特征都可以反映輸入方式的變化，因而可以通過觀測平均物理量來識別輸入方式.

抗體-抗原復(fù)合物；開放體系；Monte Carlo模擬

抗體與抗原的相互作用導(dǎo)致抗體 抗原復(fù)合物的形成和生長，這一過程在生物體的免疫機制中起著非常重要的作用［1－3］.在醫(yī)學(xué)臨床應(yīng)用上，抗體抗原反應(yīng)是免疫檢測的基礎(chǔ)［4］.因此，長期以來，人們對抗體與抗原的相互作用及抗體 抗原復(fù)合物的研究表現(xiàn)出極大的關(guān)注［5－14］.

對抗體 抗原復(fù)合物平衡性質(zhì)及時間演化的研究，一般除了采用等活性和忽略內(nèi)環(huán)化這樣的近似之外，還要求系統(tǒng)是封閉的，這使其應(yīng)用受到一定的限制.為了解抗體-抗原復(fù)合物對免疫應(yīng)答的調(diào)解作用機制，對于動態(tài)開放的抗體-抗原體系的研究是非常必要的.

對于一個更為實際的體系而言，在抗體-抗原復(fù)合物生長過程中，抗體和抗原分子往往均能以一定的方式產(chǎn)生并參與反應(yīng).例如，按照克隆選擇學(xué)說，當(dāng)有一定的抗原進入體內(nèi)時，抗原和B細胞表面受體結(jié)合可以使B細胞激活，激活的B細胞不斷繁殖并可產(chǎn)生和分泌抗體.相對于此前的“封閉”系統(tǒng)而言，這種在反應(yīng)過程中允許不斷加入抗體和抗原分子的體系可被稱作“開放”體系.為了更加直觀地說明“開放”體系的相關(guān)特征，本文以圖1示意如下：在“開放”的抗體 抗原體系中，描述抗體-抗原復(fù)合物生長的動力學(xué)方程將有別于“封閉”體系的動力學(xué)方程.因此，可以預(yù)期抗體 抗原體系相關(guān)的統(tǒng)計特征亦將有別于“封閉”體系的相應(yīng)結(jié)果.對“開放”的抗體 抗原體系而言，抗體和抗原分子的不斷輸入實際上可以視作是外界對體系的一種“刺激”.相應(yīng)地，作為對外部刺激的響應(yīng)，體系的一些相關(guān)統(tǒng)計特征應(yīng)該可以反映抗體或抗原分子輸入方式的變化.

圖1開放的抗體 抗原體系示意Fig.1 A schematic figure of the growth of Ab-Ag complexes in open system

應(yīng)該指出的是，“開放”體系模型更加接近于體內(nèi)的抗體 抗原反應(yīng)過程，因此相應(yīng)的研究更具實際意義.本文以Monte Carlo模擬方法來研究抗體和抗原分子不同輸入方式對復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，從而為相關(guān)實驗提供定量或半定量的理論依據(jù)，深化對抗體-抗原相互作用的認(rèn)知.

由于“開放”體系中抗體、抗原分子不斷以不同方式輸入，因此在確定等待時間tW的問題上必須謹(jǐn)慎對待，這同時也是“開放”體系Monte Carlo模擬算法的關(guān)鍵所在.為此，在模擬中采用了一種自洽迭代計算的方式來確定等待時間tW.進一步，為了考察不同輸入方式對復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，模擬中人為地設(shè)定了正弦輸入、方波輸入、三角波輸入和勻速輸入等幾種連續(xù)輸入方式.模擬結(jié)果正如所期待的那樣，通過考察體系的數(shù)均和重均聚合度隨時間的變化情況的確可以區(qū)分不同的輸入方式，從而實現(xiàn)了確定體系“刺激-響應(yīng)”因果關(guān)系的目的.

1 模擬方法

考慮一個動態(tài)開放的抗體 抗原相互作用系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)最初包括一定數(shù)目的價性為b的抗體分子和價性為g的抗原分子，此后，抗體、抗原單體分子按一定方式輸入.顯然，這樣動態(tài)開放體系中的抗體 抗原復(fù)合物的生長動力學(xué)必然與輸入方式直接相關(guān).為了探討輸入方式的影響，需要對體系的平均特征予以研究.不失一般性，以Cm，l（t）表示t時刻由m個抗體分子和l個抗原分子形成的復(fù)合物，則抗體 抗原復(fù)合物生長過程可表示為

上面各式描述了體系中各種成分的確定性的時間演化方式，其中f0，1（t）和f1，0（t）分別是抗體和抗原單體輸入速率函數(shù)表示Cm，l（t）和Ci，j（t）間的結(jié)合方式數(shù)，而km，l；i，j是相應(yīng)的結(jié)合速率常數(shù).一般情況下，各個km，l；i，j值并不相等，為此可以引入反應(yīng)活性參數(shù)R＝k1，1／kP，P，其中k1，1表示單體-單體的結(jié)合常數(shù)，kP，P表示單體-多聚體及多聚體-多聚體的結(jié)合常數(shù).當(dāng)R＝1時，系統(tǒng)中各成分的結(jié)合速率常數(shù)都相等，此時各km，l；i，j可以統(tǒng)一用k表示.本文中為了使問題簡化，筆者只就R＝1的情況進行研究.

對于開放體系，由于抗體、抗原分子不斷輸入，通過微分動力學(xué)方程一般無法獲得體系數(shù)量分布函數(shù)的解析解，因此通過隨機模擬方法［16－17］來研究體系的演化過程便充分顯示出其必要性和有效性.本文中所用的Monte Carlo模擬算法較此前我們的方法［18］有了較大的突破，即在確定等待時間tW的問題上給予了特別的考慮，對不同的輸入方式進行了區(qū)別對待.下面對模擬算法予以簡要說明.

假定體系最初僅存在抗體和抗原分子（單體），此后抗體-抗原復(fù)合物按照方程（2）所示的方式演化.若以｛Pm，l（t）｝表示t 時刻系統(tǒng)中抗體-抗原復(fù)合物的狀態(tài)，則此后dt 時間內(nèi)抗體 抗原復(fù)合物形成的轉(zhuǎn)變概率為

由此可知，等待時間tW是滿足指數(shù)分布的一個隨機變量，此即反應(yīng)時間的隨機性.通過直接抽樣方法，可將等待時間tW與一個隨機數(shù)r1通過下式關(guān)聯(lián)在一起：

對于有單體不斷輸入的動態(tài)體系，如何確定tW的問題變得比靜態(tài)封閉體系復(fù)雜得多，因為在tW間隔內(nèi)可能會有一定數(shù)量的抗體、抗原單體加入體系，使Q發(fā)生改變，進而又對等待時間產(chǎn)生影響.為此，在模擬中采用了一種自洽迭代計算的方式來確定等待時間tW.在這種情況下，通過直接抽樣方法可以得到如下方程：

然后通過用迭代方法求方程近似解便可以得到tW，同時也得到了調(diào)整后系統(tǒng)中的抗體和抗原的單體數(shù)目.一旦tW被確定，便可以獲得Q（tW），則該次反應(yīng)發(fā)生在Cm，l（t）和Ci，j（t）之間的概率可表示為＝Q（tW）－1.在此基礎(chǔ)上確定反應(yīng)類型，此時可通過另一個單位區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)r2對樣本空間中隨機事件進行直接抽樣來決定.

根據(jù)以上分析，可得開放體系的抗體-抗原復(fù)合物生長過程的Monte Carlo算法如下：

1）系統(tǒng)初始化（輸入初始分子數(shù)、價性和確定單體輸入方式等）；2）給出隨機數(shù)r1，通過迭代方法計算tW，調(diào)整單體數(shù)，確定和Q；3）通過隨機數(shù)r2確定反應(yīng)事件類型；4）按照反應(yīng)事件類型更新系統(tǒng)狀態(tài)；5）回到步驟（2），直至體系滿足預(yù)定條件.

2 結(jié)果和討論

2.1 對［Ab］2－［Ag］2體系的模擬

在［Ab］2－［Ag］2體系中，忽略環(huán)化反應(yīng)并設(shè)定初始反應(yīng)條件：在一定體積V中，初始單體數(shù)Nb＝1 000，Ng＝1 000；反應(yīng)速率常數(shù)k＝10－6.

模擬中所用各種連續(xù)輸入方式的函數(shù)形式和參數(shù)分別為

a）正弦輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v［1＋sin（ωt）］，抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝1 000，輸入周期為T＝2π／ω＝10；

c）三角波輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v（t－nT）（n＝0，1，2，…），抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝200，T＝10；

d）勻速輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v，抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝1 000.

以上各種輸入方式和參數(shù)的選擇已經(jīng)考慮到了簡單性和清晰性，為此已使各種輸入方式在1個周期內(nèi)平均輸入速率相同，從而便于對比輸入方式對體系演化的影響.根據(jù)不同的輸入方式，并依據(jù)相應(yīng)的Monte Carlo模擬算法可對所研究的體系進行模擬.模擬中主要考察了體系數(shù)均聚合度（Dn）和重均聚合度（Dw）的變化，所得結(jié)果分別如圖2中a，b，c，d各圖所示，相應(yīng)插圖是各種輸入方式的速率波形.

圖2 ［Ab］2－［Ag］2體系各種連續(xù)輸入方式下數(shù)均、重均聚合度的演化Fig.2 Evolution of number-and weight-average binding degrees of［Ab］2－［Ag］2 system under the continuous input patterns

由于以上各種輸入方式的平均輸入速率相同，從圖2中可以看到在各種輸入方式下體系的數(shù)均聚合度和重均聚合度演化曲線總體上具有相似性.然而，在圖中一個有趣的特征是平均聚合度隨著輸入方式的不同而表現(xiàn)出明顯不同的波動特性，這說明平均聚合度的演化在一定程度上反映了輸入方式的變化，在抗體、抗原的輸入和平均聚合度的演化之間，存在著“刺激-響應(yīng)”因果關(guān)系，因而可以通過對平均聚合度的觀測來了解、并區(qū)分抗體、抗原分子加入體系的不同輸入方式.此外，在明確了輸入方式和平均聚合度演化的“刺激-響應(yīng)”關(guān)系后，可以據(jù)此對體系演化特點的細節(jié)加以觀察和分析.在以上各圖中平均聚合度的波動周期與演化時間相對應(yīng)，而Monte Carlo Steps 與體系中的抗體-抗原結(jié)合對數(shù)量相對應(yīng).

在此基礎(chǔ)上，通過對圖2中模擬結(jié)果的細節(jié)進行觀察可知，在體系演化進程中，最初形成抗體-抗原結(jié)合對的速率較慢，隨后速率逐漸增加并趨于平穩(wěn).在整體上，線性體系重均聚合度的增長趨勢平緩，且對輸入單體數(shù)量變化的響應(yīng)有相對減弱的趨勢.而對于數(shù)均聚合度而言，其對單體輸入變化的響應(yīng)卻隨體系中結(jié)合對的增加而顯著.這是由于隨著演化的進行，體系中出現(xiàn)越來越多高聚合度的復(fù)合物，同時總的結(jié)構(gòu)單元數(shù)增多，從而使單體的輸入對重均聚合度演化的影響相對降低；而數(shù)均聚合度取決于總分子數(shù)和總的結(jié)構(gòu)單元數(shù)的比值，因而受單體數(shù)變化的影響較明顯.

2.2 對［Ab］2－［Ag］3體系的模擬

根據(jù)上節(jié)提到的相應(yīng)輸入方式，也可以［Ab］2－［Ag］3體系為例對抗體-抗原復(fù)合物支化生長過程進行模擬.同樣地，模擬中也忽略環(huán)化反應(yīng)并令各種連續(xù)輸入方式下的反應(yīng)條件與［Ab］2－［Ag］2體系中相對應(yīng)的情況完全相同.對于各種瞬時輸入方式，為了便于觀察其特點，輸入量和輸入間隔的選取與［Ab］2－［Ag］2體系中對應(yīng)的情況相比減小一半.各種連續(xù)輸入方式下系統(tǒng)的數(shù)均、重均聚合度的演化模擬結(jié)果分別如圖3中a，b，c，d各圖所示.

圖3 ［Ab］2－［Ag］3體系各種連續(xù)輸入方式下數(shù)均、重均聚合度的演化Fig.3 Evolution of number-and weight-average binding degrees of［Ab］2－［Ag］3 system under the continuous input patterns

對于非線性的抗體-抗原體系而言，平均聚合度的演化同樣也在一定程度上反映出輸入方式的影響，亦即通過對平均聚合度的觀測可以區(qū)分不同的輸入方式，如圖3所示.然而，與線性生長體系相比顯著的不同之處在于支化生長體系中復(fù)合物的重均聚合度增長較快，在結(jié)合對數(shù)量相對較少時，重均聚合度已經(jīng)較大且隨著結(jié)合對數(shù)量的增加有發(fā)散趨勢.相對而言，在抗體 抗原支化體系的演化過程中，其重均聚合度對單體輸入方式的響應(yīng)弱于線性體系，這是由于對支化生長過程而言，較大的復(fù)合物更容易生成，由此產(chǎn)生的結(jié)果就是重均聚合度增加較快并且隨機性增加，因而體系對單體輸入這種刺激所產(chǎn)生的響應(yīng)隨即減弱.

通過考察不同體系及不同輸入方式下的平均聚合度演化曲線，可知抗體、抗原分子的輸入對體系的相關(guān)統(tǒng)計特征產(chǎn)生了影響，因而可以通過觀測平均物理量來識別輸入方式.鑒于體內(nèi)環(huán)境的復(fù)雜性，抗體 抗原體系的開放模型更為接近實際情況.本文所提出的Monte Carlo模擬方法對于深入認(rèn)識體內(nèi)抗體與抗原反應(yīng)形成復(fù)合物的過程提供了有益的線索，為了解實時動態(tài)的抗體-抗原體系提供了一種研究工具.

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（責(zé)任編輯：梁俊紅）

Monte Carlo simulation on growth of antibody-antigen complexes in open system

ZHANG Ping
（Biomedical Engineering Department，Chengde Medical College，Chengde 067000，China）

A model of open antibody-antigen system close to the real immune reaction system is put forward，in which antibody（Ab）and antigen（Ag）molecules can be produced someway to take part in the reaction.The growth of antibody-antigen complexes in the linear and branched open systems is studied by the Monte Carlo simulation method，in particular，the algorithm adopted involves a self-consistent iteration method to calculate the waiting time.Then the influence of various input patterns on the number-and weight-average binding degrees of the antibody-antigen complexes is investigated，and it is found that the input pattern can be reflected by the average binding degrees.

antibody-antigen complex；open system；Monte Carlo simulation

O641

A

1000 -1565（2014）05 -0502 -06

10.3969／j.issn.1000 -1565.2014.05.011

2014 -05 -10

河北省教育廳資助項目（z2011136）

張平（1968-），男，河北承德人，承德醫(yī)學(xué)院副教授，主要從事生物物理及高分子化學(xué)與物理方向研究.E＿mail：zhangping6810＠126.com