張平

（承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，河北承德 067000）

開放體系中抗體- 抗原復(fù)合物生長(zhǎng)的Monte Carlo模擬

張平

（承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，河北承德 067000）

為了研究更接近于真實(shí)的免疫反應(yīng)系統(tǒng)中抗體 抗原復(fù)合物的生長(zhǎng)，提出了一個(gè)開放的抗體 抗原系統(tǒng)模型，在這一體系中抗體、抗原分子能以一定的方式產(chǎn)生并參與反應(yīng).通過Monte Carlo模擬方法分別考察了線性體系和支化體系的演化過程，所采用的算法包含了一個(gè)自洽的疊代方法計(jì)算等待時(shí)間，以此算法為基礎(chǔ)，研究了抗體和抗原分子不同輸入方式對(duì)復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，發(fā)現(xiàn)不同體系在演化過程中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征都可以反映輸入方式的變化，因而可以通過觀測(cè)平均物理量來(lái)識(shí)別輸入方式.

抗體-抗原復(fù)合物；開放體系；Monte Carlo模擬

抗體與抗原的相互作用導(dǎo)致抗體 抗原復(fù)合物的形成和生長(zhǎng)，這一過程在生物體的免疫機(jī)制中起著非常重要的作用［1－3］.在醫(yī)學(xué)臨床應(yīng)用上，抗體抗原反應(yīng)是免疫檢測(cè)的基礎(chǔ)［4］.因此，長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)抗體與抗原的相互作用及抗體 抗原復(fù)合物的研究表現(xiàn)出極大的關(guān)注［5－14］.

對(duì)抗體 抗原復(fù)合物平衡性質(zhì)及時(shí)間演化的研究，一般除了采用等活性和忽略內(nèi)環(huán)化這樣的近似之外，還要求系統(tǒng)是封閉的，這使其應(yīng)用受到一定的限制.為了解抗體-抗原復(fù)合物對(duì)免疫應(yīng)答的調(diào)解作用機(jī)制，對(duì)于動(dòng)態(tài)開放的抗體-抗原體系的研究是非常必要的.

對(duì)于一個(gè)更為實(shí)際的體系而言，在抗體-抗原復(fù)合物生長(zhǎng)過程中，抗體和抗原分子往往均能以一定的方式產(chǎn)生并參與反應(yīng).例如，按照克隆選擇學(xué)說(shuō)，當(dāng)有一定的抗原進(jìn)入體內(nèi)時(shí)，抗原和B細(xì)胞表面受體結(jié)合可以使B細(xì)胞激活，激活的B細(xì)胞不斷繁殖并可產(chǎn)生和分泌抗體.相對(duì)于此前的“封閉”系統(tǒng)而言，這種在反應(yīng)過程中允許不斷加入抗體和抗原分子的體系可被稱作“開放”體系.為了更加直觀地說(shuō)明“開放”體系的相關(guān)特征，本文以圖1示意如下：在“開放”的抗體 抗原體系中，描述抗體-抗原復(fù)合物生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)方程將有別于“封閉”體系的動(dòng)力學(xué)方程.因此，可以預(yù)期抗體 抗原體系相關(guān)的統(tǒng)計(jì)特征亦將有別于“封閉”體系的相應(yīng)結(jié)果.對(duì)“開放”的抗體 抗原體系而言，抗體和抗原分子的不斷輸入實(shí)際上可以視作是外界對(duì)體系的一種“刺激”.相應(yīng)地，作為對(duì)外部刺激的響應(yīng)，體系的一些相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征應(yīng)該可以反映抗體或抗原分子輸入方式的變化.

圖1開放的抗體 抗原體系示意Fig.1 A schematic figure of the growth of Ab-Ag complexes in open system

應(yīng)該指出的是，“開放”體系模型更加接近于體內(nèi)的抗體 抗原反應(yīng)過程，因此相應(yīng)的研究更具實(shí)際意義.本文以Monte Carlo模擬方法來(lái)研究抗體和抗原分子不同輸入方式對(duì)復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，從而為相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供定量或半定量的理論依據(jù)，深化對(duì)抗體-抗原相互作用的認(rèn)知.

由于“開放”體系中抗體、抗原分子不斷以不同方式輸入，因此在確定等待時(shí)間tW的問題上必須謹(jǐn)慎對(duì)待，這同時(shí)也是“開放”體系Monte Carlo模擬算法的關(guān)鍵所在.為此，在模擬中采用了一種自洽迭代計(jì)算的方式來(lái)確定等待時(shí)間tW.進(jìn)一步，為了考察不同輸入方式對(duì)復(fù)合物數(shù)均和重均聚合度的影響，模擬中人為地設(shè)定了正弦輸入、方波輸入、三角波輸入和勻速輸入等幾種連續(xù)輸入方式.模擬結(jié)果正如所期待的那樣，通過考察體系的數(shù)均和重均聚合度隨時(shí)間的變化情況的確可以區(qū)分不同的輸入方式，從而實(shí)現(xiàn)了確定體系“刺激-響應(yīng)”因果關(guān)系的目的.

1 模擬方法

考慮一個(gè)動(dòng)態(tài)開放的抗體 抗原相互作用系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)最初包括一定數(shù)目的價(jià)性為b的抗體分子和價(jià)性為g的抗原分子，此后，抗體、抗原單體分子按一定方式輸入.顯然，這樣動(dòng)態(tài)開放體系中的抗體 抗原復(fù)合物的生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)必然與輸入方式直接相關(guān).為了探討輸入方式的影響，需要對(duì)體系的平均特征予以研究.不失一般性，以Cm，l（t）表示t時(shí)刻由m個(gè)抗體分子和l個(gè)抗原分子形成的復(fù)合物，則抗體 抗原復(fù)合物生長(zhǎng)過程可表示為

上面各式描述了體系中各種成分的確定性的時(shí)間演化方式，其中f0，1（t）和f1，0（t）分別是抗體和抗原單體輸入速率函數(shù)表示Cm，l（t）和Ci，j（t）間的結(jié)合方式數(shù)，而km，l；i，j是相應(yīng)的結(jié)合速率常數(shù).一般情況下，各個(gè)km，l；i，j值并不相等，為此可以引入反應(yīng)活性參數(shù)R＝k1，1／kP，P，其中k1，1表示單體-單體的結(jié)合常數(shù)，kP，P表示單體-多聚體及多聚體-多聚體的結(jié)合常數(shù).當(dāng)R＝1時(shí)，系統(tǒng)中各成分的結(jié)合速率常數(shù)都相等，此時(shí)各km，l；i，j可以統(tǒng)一用k表示.本文中為了使問題簡(jiǎn)化，筆者只就R＝1的情況進(jìn)行研究.

對(duì)于開放體系，由于抗體、抗原分子不斷輸入，通過微分動(dòng)力學(xué)方程一般無(wú)法獲得體系數(shù)量分布函數(shù)的解析解，因此通過隨機(jī)模擬方法［16－17］來(lái)研究體系的演化過程便充分顯示出其必要性和有效性.本文中所用的Monte Carlo模擬算法較此前我們的方法［18］有了較大的突破，即在確定等待時(shí)間tW的問題上給予了特別的考慮，對(duì)不同的輸入方式進(jìn)行了區(qū)別對(duì)待.下面對(duì)模擬算法予以簡(jiǎn)要說(shuō)明.

假定體系最初僅存在抗體和抗原分子（單體），此后抗體-抗原復(fù)合物按照方程（2）所示的方式演化.若以｛Pm，l（t）｝表示t 時(shí)刻系統(tǒng)中抗體-抗原復(fù)合物的狀態(tài)，則此后dt 時(shí)間內(nèi)抗體 抗原復(fù)合物形成的轉(zhuǎn)變概率為

由此可知，等待時(shí)間tW是滿足指數(shù)分布的一個(gè)隨機(jī)變量，此即反應(yīng)時(shí)間的隨機(jī)性.通過直接抽樣方法，可將等待時(shí)間tW與一個(gè)隨機(jī)數(shù)r1通過下式關(guān)聯(lián)在一起：

對(duì)于有單體不斷輸入的動(dòng)態(tài)體系，如何確定tW的問題變得比靜態(tài)封閉體系復(fù)雜得多，因?yàn)樵趖W間隔內(nèi)可能會(huì)有一定數(shù)量的抗體、抗原單體加入體系，使Q發(fā)生改變，進(jìn)而又對(duì)等待時(shí)間產(chǎn)生影響.為此，在模擬中采用了一種自洽迭代計(jì)算的方式來(lái)確定等待時(shí)間tW.在這種情況下，通過直接抽樣方法可以得到如下方程：

然后通過用迭代方法求方程近似解便可以得到tW，同時(shí)也得到了調(diào)整后系統(tǒng)中的抗體和抗原的單體數(shù)目.一旦tW被確定，便可以獲得Q（tW），則該次反應(yīng)發(fā)生在Cm，l（t）和Ci，j（t）之間的概率可表示為＝Q（tW）－1.在此基礎(chǔ)上確定反應(yīng)類型，此時(shí)可通過另一個(gè)單位區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)r2對(duì)樣本空間中隨機(jī)事件進(jìn)行直接抽樣來(lái)決定.

根據(jù)以上分析，可得開放體系的抗體-抗原復(fù)合物生長(zhǎng)過程的Monte Carlo算法如下：

1）系統(tǒng)初始化（輸入初始分子數(shù)、價(jià)性和確定單體輸入方式等）；2）給出隨機(jī)數(shù)r1，通過迭代方法計(jì)算tW，調(diào)整單體數(shù)，確定和Q；3）通過隨機(jī)數(shù)r2確定反應(yīng)事件類型；4）按照反應(yīng)事件類型更新系統(tǒng)狀態(tài)；5）回到步驟（2），直至體系滿足預(yù)定條件.

2 結(jié)果和討論

2.1 對(duì)［Ab］2－［Ag］2體系的模擬

在［Ab］2－［Ag］2體系中，忽略環(huán)化反應(yīng)并設(shè)定初始反應(yīng)條件：在一定體積V中，初始單體數(shù)Nb＝1 000，Ng＝1 000；反應(yīng)速率常數(shù)k＝10－6.

模擬中所用各種連續(xù)輸入方式的函數(shù)形式和參數(shù)分別為

a）正弦輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v［1＋sin（ωt）］，抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝1 000，輸入周期為T＝2π／ω＝10；

c）三角波輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v（t－nT）（n＝0，1，2，…），抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝200，T＝10；

d）勻速輸入方式：設(shè)定其函數(shù)形式為f（t）＝v，抗體、抗原單體的輸入速率皆為v＝1 000.

以上各種輸入方式和參數(shù)的選擇已經(jīng)考慮到了簡(jiǎn)單性和清晰性，為此已使各種輸入方式在1個(gè)周期內(nèi)平均輸入速率相同，從而便于對(duì)比輸入方式對(duì)體系演化的影響.根據(jù)不同的輸入方式，并依據(jù)相應(yīng)的Monte Carlo模擬算法可對(duì)所研究的體系進(jìn)行模擬.模擬中主要考察了體系數(shù)均聚合度（Dn）和重均聚合度（Dw）的變化，所得結(jié)果分別如圖2中a，b，c，d各圖所示，相應(yīng)插圖是各種輸入方式的速率波形.

圖2 ［Ab］2－［Ag］2體系各種連續(xù)輸入方式下數(shù)均、重均聚合度的演化Fig.2 Evolution of number-and weight-average binding degrees of［Ab］2－［Ag］2 system under the continuous input patterns

由于以上各種輸入方式的平均輸入速率相同，從圖2中可以看到在各種輸入方式下體系的數(shù)均聚合度和重均聚合度演化曲線總體上具有相似性.然而，在圖中一個(gè)有趣的特征是平均聚合度隨著輸入方式的不同而表現(xiàn)出明顯不同的波動(dòng)特性，這說(shuō)明平均聚合度的演化在一定程度上反映了輸入方式的變化，在抗體、抗原的輸入和平均聚合度的演化之間，存在著“刺激-響應(yīng)”因果關(guān)系，因而可以通過對(duì)平均聚合度的觀測(cè)來(lái)了解、并區(qū)分抗體、抗原分子加入體系的不同輸入方式.此外，在明確了輸入方式和平均聚合度演化的“刺激-響應(yīng)”關(guān)系后，可以據(jù)此對(duì)體系演化特點(diǎn)的細(xì)節(jié)加以觀察和分析.在以上各圖中平均聚合度的波動(dòng)周期與演化時(shí)間相對(duì)應(yīng)，而Monte Carlo Steps 與體系中的抗體-抗原結(jié)合對(duì)數(shù)量相對(duì)應(yīng).

在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)圖2中模擬結(jié)果的細(xì)節(jié)進(jìn)行觀察可知，在體系演化進(jìn)程中，最初形成抗體-抗原結(jié)合對(duì)的速率較慢，隨后速率逐漸增加并趨于平穩(wěn).在整體上，線性體系重均聚合度的增長(zhǎng)趨勢(shì)平緩，且對(duì)輸入單體數(shù)量變化的響應(yīng)有相對(duì)減弱的趨勢(shì).而對(duì)于數(shù)均聚合度而言，其對(duì)單體輸入變化的響應(yīng)卻隨體系中結(jié)合對(duì)的增加而顯著.這是由于隨著演化的進(jìn)行，體系中出現(xiàn)越來(lái)越多高聚合度的復(fù)合物，同時(shí)總的結(jié)構(gòu)單元數(shù)增多，從而使單體的輸入對(duì)重均聚合度演化的影響相對(duì)降低；而數(shù)均聚合度取決于總分子數(shù)和總的結(jié)構(gòu)單元數(shù)的比值，因而受單體數(shù)變化的影響較明顯.

2.2 對(duì)［Ab］2－［Ag］3體系的模擬

根據(jù)上節(jié)提到的相應(yīng)輸入方式，也可以［Ab］2－［Ag］3體系為例對(duì)抗體-抗原復(fù)合物支化生長(zhǎng)過程進(jìn)行模擬.同樣地，模擬中也忽略環(huán)化反應(yīng)并令各種連續(xù)輸入方式下的反應(yīng)條件與［Ab］2－［Ag］2體系中相對(duì)應(yīng)的情況完全相同.對(duì)于各種瞬時(shí)輸入方式，為了便于觀察其特點(diǎn)，輸入量和輸入間隔的選取與［Ab］2－［Ag］2體系中對(duì)應(yīng)的情況相比減小一半.各種連續(xù)輸入方式下系統(tǒng)的數(shù)均、重均聚合度的演化模擬結(jié)果分別如圖3中a，b，c，d各圖所示.

圖3 ［Ab］2－［Ag］3體系各種連續(xù)輸入方式下數(shù)均、重均聚合度的演化Fig.3 Evolution of number-and weight-average binding degrees of［Ab］2－［Ag］3 system under the continuous input patterns

對(duì)于非線性的抗體-抗原體系而言，平均聚合度的演化同樣也在一定程度上反映出輸入方式的影響，亦即通過對(duì)平均聚合度的觀測(cè)可以區(qū)分不同的輸入方式，如圖3所示.然而，與線性生長(zhǎng)體系相比顯著的不同之處在于支化生長(zhǎng)體系中復(fù)合物的重均聚合度增長(zhǎng)較快，在結(jié)合對(duì)數(shù)量相對(duì)較少時(shí)，重均聚合度已經(jīng)較大且隨著結(jié)合對(duì)數(shù)量的增加有發(fā)散趨勢(shì).相對(duì)而言，在抗體 抗原支化體系的演化過程中，其重均聚合度對(duì)單體輸入方式的響應(yīng)弱于線性體系，這是由于對(duì)支化生長(zhǎng)過程而言，較大的復(fù)合物更容易生成，由此產(chǎn)生的結(jié)果就是重均聚合度增加較快并且隨機(jī)性增加，因而體系對(duì)單體輸入這種刺激所產(chǎn)生的響應(yīng)隨即減弱.

通過考察不同體系及不同輸入方式下的平均聚合度演化曲線，可知抗體、抗原分子的輸入對(duì)體系的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征產(chǎn)生了影響，因而可以通過觀測(cè)平均物理量來(lái)識(shí)別輸入方式.鑒于體內(nèi)環(huán)境的復(fù)雜性，抗體 抗原體系的開放模型更為接近實(shí)際情況.本文所提出的Monte Carlo模擬方法對(duì)于深入認(rèn)識(shí)體內(nèi)抗體與抗原反應(yīng)形成復(fù)合物的過程提供了有益的線索，為了解實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)的抗體-抗原體系提供了一種研究工具.

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（責(zé)任編輯：梁俊紅）

Monte Carlo simulation on growth of antibody-antigen complexes in open system

ZHANG Ping
（Biomedical Engineering Department，Chengde Medical College，Chengde 067000，China）

A model of open antibody-antigen system close to the real immune reaction system is put forward，in which antibody（Ab）and antigen（Ag）molecules can be produced someway to take part in the reaction.The growth of antibody-antigen complexes in the linear and branched open systems is studied by the Monte Carlo simulation method，in particular，the algorithm adopted involves a self-consistent iteration method to calculate the waiting time.Then the influence of various input patterns on the number-and weight-average binding degrees of the antibody-antigen complexes is investigated，and it is found that the input pattern can be reflected by the average binding degrees.

antibody-antigen complex；open system；Monte Carlo simulation

O641

A

1000 -1565（2014）05 -0502 -06

10.3969／j.issn.1000 -1565.2014.05.011

2014 -05 -10

河北省教育廳資助項(xiàng)目（z2011136）

張平（1968-），男，河北承德人，承德醫(yī)學(xué)院副教授，主要從事生物物理及高分子化學(xué)與物理方向研究.E＿mail：zhangping6810＠126.com