高正暉，羅李平，楊 柳

（衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 衡陽 421008）

0 引 言

隨機(jī)微分方程（SDE）理論的研究已有很長歷史，作為微分方程和隨機(jī)分析的交叉領(lǐng)域成為隨機(jī)微分方程的主要研究對(duì)象。近年來，隨機(jī)微分方程在系統(tǒng)科學(xué)、工程控制，經(jīng)濟(jì)管理與金融以及生態(tài)科學(xué)等諸多方面有著廣泛的應(yīng)用［1］。因?yàn)闀r(shí)滯隨機(jī)微分方程是用來描述一個(gè)與現(xiàn)在狀態(tài)及過去狀態(tài)有關(guān)的時(shí)間系統(tǒng)，此類方程的廣泛應(yīng)用已吸引了大量的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，如 Mao［2］，胡［3］等。但是由于在實(shí)際應(yīng)用中難以確定時(shí)間系統(tǒng)在時(shí)點(diǎn)t“記憶”所及的長度區(qū)間τ，一種自然的想法是將時(shí)滯增大至無窮，這樣便產(chǎn)生了無限時(shí)滯隨機(jī)微分方程的研究。Wei［4］得到了到無限時(shí)滯隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性，Zhou［5］在Lipchitz條件和線性增長條件下得到了無限時(shí)滯中立型隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性。

我們考慮以下無限時(shí)滯隨機(jī)泛函微分方程：

其中BC（X；Y）表示X→Y的全體有界連續(xù)映射，xt＝｛x（t＋θ）：－∞≤θ≤0｝是一個(gè)BC（（－∞，0］；Rd）值隨機(jī)過程，w（t）是一個(gè)定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P）上的m－維的布朗運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)｛｝tt≥0是滿足一般條件的σ－代數(shù)流，f：［0，T］×BC（（－∞，0］；Rd）→Rd，

g：［0，T］×BC（（－∞，0］；Rd×m）→Rd都是Borel可測和Ft－適應(yīng)的函數(shù)。我們給方程（1）如下的初始條件：

本文將運(yùn)用壓縮映像原理，僅在局部Lipschitz條件下，給出具有無限時(shí)滯的隨機(jī)泛函微分方程的局部解的存在唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中，我們簡要地給出一些預(yù)備知識(shí)。x（t）是一個(gè)BC（（－∞，T］；Rd）－值隨機(jī)過程，L2（Ω，BC）是一Banach空間，并具有范數(shù)

定義1：稱隨機(jī)過程x（t）是方程（1）的解，若具有以下性質(zhì)：

（1）x（t）連續(xù)且Ft－適應(yīng)；

（2）f（t，x（t），xt）∈L2（［0，T］；Rd），且g（t，x（t），xt）∈L2（［0，T］；Rd×m）；

（3）x0＝ξ，并對(duì)t∈ ［0，T］，依概率1成立

定義2：稱隨機(jī)過程x（t）是方程（1）的唯一解，若任意其它解x－（t），具有

引理1［6］：（Doob鞅不等式）令 ｛Mt.｝t≥0是Rd值的鞅，［a，b］是 ［0，＋∞）上有界區(qū)間，若p＞1且Mt∈LP（Ω；Rd），則

這里L(fēng)p（Ω，Rd）表示Rd值的p階矩有界的隨機(jī)變量集。

2 主要結(jié)果

（1）（Lipshcitz條件）對(duì)所有x1，x2，y1，y2∈ （－ ∞，0］｝∈Rd和t∈ ［0，T］，有

（2）（線性增長條件）對(duì)所有 （t，x，y）∈ ［0，T］×Rd×Rd，有

證明：定義映射F：

首先，證明F是從BC（（－∞，T］；Rd）到其自身的映射。對(duì)任意t∈ ［0，T］，有

這說明對(duì)任意x（t）∈BC（（－∞，T］；Rd），有 ‖F(xiàn)x（t）‖L2＜＋∞ ，因此，F(xiàn)是從BC（（－∞，T］；Rd）到其自身的映射。

其次，證明F是壓縮映射。對(duì)任意的x，y∈BC（（－∞，T］；Rd），有

由4 KT（T＋4）＜1，知F是壓縮映射。所以F在BC（（－∞，T］；Rd）中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即方程（1）在BC（（－∞，T］；Rd）上存在唯一解。

［1］胡適耕，黃乘明，吳付科.隨機(jī)微分方程［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［2］Mao X.Existence and uniqueness of the solutions of delay stochastic integral equation［J］.Sto.Anal App.，1989（7）：59－74.

［3］Hu S.，Liao X.，Mao X.Stochastic hopfield neutral networks［J］.J.Phys.A.，2003（36）：2235－2249.

［4］Wei F.，Wang K.The existence and uniqueness of the solutions for stochastic functional differential equations with infinite delay［J］.J.Math.App.，2007，331：516－531.

［5］Zhou S.，Xue M.The existence and uniqueness of the solutions for neutral stochastic functional differential equations with infinite delay［J］.Math.App.，2008（21）：75－83.

［6］Mao X R.Stochastic Differential Equations and Applications［M］.ChiChester：Harwood Publication，1997.